【同步辅导】2021高中数学北师大版选修1-1学案：《充分必要条件的综合应用》

第3课时充分必要条件的综合应用1.能够分清充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的关系.2.利用充分必要条件的学问解决与集合、函数、三角函数、平面对量、数列、不等式、立体几何等问题.上一节课我们共同学习了充分条件、必要条件和充要条件的基本概念,并能简洁地进行论证,充分必要条件是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列、平面对量等学问的综合交汇点,地位重要,本节课我们将共同探究充分必要条件的综合应用,我们先思考并回答下面几个问题.问题1:充分条件与必要条件的定义:(1)若p⇒q,则p是q的条件;

(2)若q⇒p,则p是q的条件;

(3)若p⇒q且q⇒p,则p是q的条件;

(4)若p⇒q且q⇒/p,则p是q的条件;

(5)若p⇒/q且q⇒p,则p是q的条件;

(6)若p⇒/q且q⇒/p,则p是q的条件.

问题2:充分必要条件与集合间的关系记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若A⊆B,则p是q的条件;

若A⫋B,则p是q的条件;

若B⊆A,则p是q的条件;

若B⫋A,则p是q的条件;

若A=B,则p是q的条件;

若A⊈B,且A⊉B,则p是q的条件.

问题3:四种命题间的充分必要关系:把p与q分别记作命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下:(1)假如原命题真,逆命题假,那么p是q的条件;

(2)假如原命题假,逆命题真,那么p是q的条件;

(3)假如原命题与逆命题都真,那么p是q的条件;

(4)假如原命题与逆命题都假,那么p是q的条件.

1.不等式2x2+x-3<0成立的一个充分条件是().A.{x|x>3或x<-2} B.{x|-2<x<3}C.{x|-12<x<3} D.{x|0<x<12.已知a、b∈R,则“a>b”是“a3>b3”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=1”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充分必要”4.已知集合A={y|y=x2-32x+1,x∈[34,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m充分必要条件的判定已知数列{an},“对任意的n∈N+,点P(n,an)都在直线y=2x+1上”是“数列{an}为等差数列”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件充要条件的探求已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m).(1)求点A、B、C能构成三角形的充要条件;(2)求∠A为直角的充要条件.充要条件的证明设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|=2”是“S6=7S2”的().A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件已知关于x的一元二次方程(m∈Z),mx2-4x+4=0,①x2-4mx+4m2-4m-5=0, ②求方程①和②的根都是整数的充要条件.设p是不为0和1的实数,Sn=pn+q(n∈N+)是数列an的前n项和求证:数列an是等比数列的充要条件是q=-11.“α=π3”是“cosα=12”的(A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知函数y=f(x)的定义域为D,且D关于坐标原点对称,则“f(0)=0”是“y=f(x)为奇函数”的().A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.已知条件p:函数g(x)=logm(x-1)为减函数,条件q:关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有解,则p是q的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充分必要”4.求一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分必要条件.(2021年·天津卷)设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的().A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考题变式(我来改编):

第3课时充分必要条件的综合应用学问体系梳理问题1:(1)充分(2)必要(3)充要(4)充分不必要(5)必要不充分(6)既不充分也不必要问题2:充分充分不必要必要必要不充分充要既不充分也不必要问题3:(1)充分不必要(2)必要不充分(3)充要(4)既不充分也不必要基础学习沟通1.D解不等式2x2+x-3<0得-32<x<1,∴集合{x|-32<x<1}的一个子集就是不等式2x2+x-3<0成立的一个充分条件,故选2.C由于y=x3是奇函数且为递增函数,所以由a3>b3得a>b,所以“a>b”是“a3>b3”的充要条件,选C.3.充分不必要由tanx=1得x=kπ+π4(k∈Z),所以“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=14.解:y=x2-32x+1=(x-34)2+∵x∈[34,2],∴716≤y≤∴A={y|716≤y≤2由x+m2≥1得x≥1-m2,∴B={x|x≥1-m2},∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B,∴1-m2≤716,解得m≥34或m≤-故实数m的取值范围是(-∞,-34]∪[34,+∞重点难点探究探究一:【解析】由于Pn(n,an)在直线y=2x+1上,所以an=2n+1(n∈N+),当n≥2时,an-1=2(n-1)+1=2n-1,于是an-an-1=2(常数).又a1=3,所以数列an是首项为3,公差为2的等差数列反过来,令an=n(n∈N+),则an为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上【答案】A【小结】在条件和结论的相互推理过程中,肯定要留意大前提是什么.探究二:【解析】(1)由于OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),所以AB=(3,1),AC=(2-m,1-m).点A、B、C能构成三角形⇔A、B、C三点不共线⇔2-m3≠1-m1,即m≠12.所以点A、B、(2)∠A为直角的充要条件是AB.AC=0,所以3(2-m)+(1-m)=0,解得m=74【小结】查找命题的充分必要条件在推导过程中每一步必需是等价可逆的,这样才能确保所得到的结论是原命题的充要条件.探究三:【解析】充分性:由于∠A=90°,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0,所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,该方程有两根为x1=-(a+c),x2=-(a-c).同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(a+c)][x+(c-a)]=0,也有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以发觉x1=x3,所以方程有公共根.必要性:设x0是方程的公共根,则x由①+②得x0=-(a+c),代入①中并整理可得a2=b2+c2.所以∠A=90°.证明完毕.思维拓展应用应用一:A若q=1,则S6=7S2明显不成立.由S6=7S2得a1(1-q6)1-q=7×a1(1-q2)1-q,即1-q6=7(1-q2),所以q6-7q2+6=0.若|q|=2,则q2=2,满足q6-7q2+6=0.当q=-1时,满足q6-7q2+6=0,但应用二:方程①有实数根的充要条件是Δ=16-4×4×m≥0且m≠0,解得m≤1,且m≠0,方程②有实数根的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,解得m≥-54所以-54≤m<0且0<m≤1,而m∈Z,故m=-1或m=1当m=-1时,方程①为x2+4x-4=0,无整数根;当m=1时,方程①为x2-4x+4=0,方程②为x2-4x-5=0,①和②均有整数根.从而,①和②均有整数根⇒m=1.反之,m=1,方程①为x2-4x+4=0,方程②为x2-4x-5=0,①和②均有整数根,所以①和②均有整数根的充要条件是m=1.应用三:先证充分性:当q=-1时,Sn=pn-1,S1=p-1;当n≥2,n∈N+时,an=Sn-Sn-1=(p-1则an-1=(p-1)pn-所以an是等比数列再证必要性:依题意易知a1=S1=p+q,an=(p-1)pn-1(n≥2,n∈N明显,当n≥2时,an是等比数列,其公比为∴a2=pa1,即p2-p=p2+pq,得q=-1.证明完毕.基础智能检测1.B由cosα=12,得α=π3+2kπ或α=-π3+2kπ,k∈Z,所以“α=π3”是“cosα=122.D若f(x)=x2,则满足f(0)=0,但f(x)是偶函数;若f(x)=1x,则函数f(x)是奇函数,但f(0)没有意义,故选D3.充分不必要函数g(x)=logm(x-1)为减函数,则有0<m<1,