【核按钮】2021高考新课标数学(理)配套文档：8.3-空间点、线、面之间的位置关系

§8.3空间点、线、面之间的位置关系1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简洁命题．本节内容在高考中常以几何体为载体，考查平面的基本性质、空间两直线的位置关系的判定及运用，特殊是异面直线的概念、所成角的计算等．题型多以选择、填空的形式消灭，有时也消灭在解答题中，以此考查同学的空间想象力量、规律推理力量．1．平面的基本性质(1)公理1：假如一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面．公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．(3)公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．2．空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不行能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，经常需要以帮助平面作为衬托，以加强直观性．③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．3．平行公理公理4：平行于____________的两条直线相互平行(空间平行线的传递性)．它给出了推断空间两条直线平行的依据．4．等角定理等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．【自查自纠】1．(1)两点直线在平面内(2)不在一条直线(3)有且只有一条2．(1)一个公共点没有公共点没有公共点(2)③eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))相互垂直异面垂直3．同一条直线4．相等或互补(eq\a\vs4\al(2021·安徽))在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同始终线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解：公理是不需要证明的原始命题，而选项A是面面平行的性质定理，故选A.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不肯定平行解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不肯定平行，如圆锥的母线与轴的夹角．故选D.若点P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且Rm，PQ∩m＝M，过P，Q，R三点确定一个平面γ，则β∩γ是()A．直线QR B．直线PRC．直线RM D．以上均不正确解：∵PQ∩m＝M，m⊂β，∴M∈β.又M∈平面PQR，即M∈γ，故M是β与γ的公共点．又R∈β，R∈平面PQR，即R∈γ，∴R是β与γ的公共点．∴β∩γ＝MR.故选C.给出下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确命题的序号是____________．解：易知②③正确．故填②③.在空间四边形ABCD中，已知E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝5，又AD＝6，BC＝8，则AD与BC所成角的大小是____________．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，GF，依据题意有EG∥AD，GF∥BC，∴直线AD与BC所成的角与直线EG与GF的夹角相等，即∠EGF.又∵AD＝6，BC＝8，∴EG＝eq\f(1,2)AD＝3，GF＝eq\f(1,2)BC＝4，在△EGF中，EF＝5，∴EF2＝EG2＋GF2.∴∠EGF＝90°，则异面直线AD与BC所成的角为90°.故填90°.类型一基本概念与性质问题如图，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解：由线面垂直关系知AC⊥SB.由线面平行判定知AB∥平面SCD.由图形对称性知C也正确．对于选项D，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB＝90°，∴D错．故选D.【评析】此题虽是小题，但对空间中的线与线和线与面的关系的考查却很深刻，除用常规的方法证明垂直与平行外，对运用线面角、异面直线所成角和二面角的定义证题的方法也要娴熟把握，否则此题若建系求解，就会造成“小题大作”，铺张时间．如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′与CC′的夹角为45°.(3)直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分别与直线AA′垂直．类型二点共线、线共点问题如图，E，F，G，H分别是空间四边形内AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．证明：∵点E∈平面ABD，点H∈平面ABD，∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴点O∈平面ABD.同理可证点O∈平面BCD.∴点O∈平面ABD∩平面BCD＝BD.即B，D，O三点共线．【评析】(1)本题是一道经典的点共线问题，它体现了证明点共线的基本思路：首先由其中的两个点B和D确定一条直线，然后证明点O也是直线BD上的点，也就是证明点O是两个平面的交线上的点．在证明点O也是直线BD上的点时，运用了公理1以及公理3，这种方法是证明点共线的通用方法．(2)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：(1)EF∥D1C(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)连接A1B，则EF∥A1B，A1B∥D1C.∴EF∥D1(2)∵面D1A∩面CA＝DA且EF∥D1C，EF＝eq\f(1,2)D1C，∴D1F与CE又D1F⊂面D1A，CE⊂面∴D1F与CE的交点必在DA∴CE，D1F，DA类型三共面问题如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：∵GH是△AFD的中位线，∴GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由：BE綊eq\f(1,2)AF，又由G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．【评析】点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的点或者在该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面．无论是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内．下列如图所示的正方体和正四周体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是____________．(填全部满足条件图形的序号)解：易知①③中PS∥QR，∴四点共面．在②中构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面．在④中，由点P，R，Q确定平面α，由图象观看知点S在平面α外，因此四点不共面．综上知，故填①②③.类型四异面直线问题如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成的角的余弦值．解：(1)在四棱锥P­ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，且PO⊥OB.在Rt△AOB中，∵AB＝2，∴BO＝AB·sin30°＝1.在Rt△POB中，PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形面积S＝2eq\r(3)，∴四棱锥P­ABCD的体积VP­ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中点F，连结EF，DF.∵E为PB中点，∴EF∥PA.∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，由余弦定理得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(（\r(3)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)－（\r(3)）2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4).【评析】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要机敏，如常选择“端点，中点，等分点”，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等．这是争辩空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(5),4) C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)解：设BC的中点为D，连接A1D，AD，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角或其补角．在△A1AB内，由A1在底面ABC上的射影为BC的中点，得Rt△A1ADRt△BAD，从而A1D＝BD＝eq\f(1,2)AB，所以A1B＝eq\f(\r(2),2)AB，在△A1AB中，设AB长为a，则A1B＝eq\f(\r(2),2)a.由余弦定理得：cos∠A1AB＝eq\f(a2＋a2－\f(1,2)a2,2a2)＝eq\f(3,4).故选D.1．公理1，2，3是进一步学习和争辩立体几何的基石，也是解题中进行规律推理和演绎推理的基础，在这些公理基础之上，我们产生了直线和平面平行、垂直以及平面和平面平行、垂直的一些判定定理和性质定理，这些判定定理和性质定理是我们将立体几何转化为平面几何的桥梁，特殊是公理2的三个推论，是实现立体问题平面化的重要工具．2．推断两条直线为异面直线的方法有：(1)定义法；(2)反证法：要证明两条直线是异面直线，只需证明它们既不相交，也不平行即可；(3)判定定理：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．3．求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算．作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，假如计算出来的角度是钝角，则需要转化为相应的锐角，由于异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4．证明“线共面”或者“点共面”问题时，运用同一法，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余