【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题2(函数与基本初等函数)

阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1,lgx，x>1))，则f(f(10))＝()A．lg101 B．2C．1 D．0[答案]B[解析]利用“分段”求值．由题意知f(10)＝lg10＝1，f(1)＝1＋1＝2，故f(f(10))＝f(1)＝2.2．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是()A．[－4,4] B．[－2,2]C．[－4，－2] D．[2,4][答案]B[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤4，,－2≤－x≤4，))得－2≤x≤2.3．函数y＝lgeq\f(1,|x＋1|)的大致图像为()[答案]D[解析]函数的定义域为{x|x≠－1}，排解A，C．取特殊值x＝9，则y＝－1<0，排解B，选D．4．(文)(2022·广东高考)下列函数为奇函数的是()A．2x－eq\f(1,2x) B．x3sinxC．2cosx＋1 D．x2＋2x[答案]A[解析]本题考查函数奇偶性的推断．设函数为f(x)，则A中f(－x)＝2－x－eq\f(1,2－x)＝eq\f(1,2x)－2x＝－f(x)为奇函数；B中f(－x)＝2cosx＋1＝f(x)为偶函数；C中f(－x)＝x3sinx＝f(x)为偶函数；D中f(－x)＝x2＋2－x≠±f(x)，非奇非偶，选A．(理)(2022·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]C[解析]分别令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1－g1＝3,f1＋g1＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2,g1＝－1))⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C．5．(文)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－eq\s\up7(\f(1,2))等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),6)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),4)[答案]D[解析]由log7[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，即log2x＝3，解得x＝8，所以x－eq\s\up7(\f(1,2))＝8－eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，选D．(理)已知集合A＝{x∈R|2x<e}，B＝{x∈R|eq\f(1,x)>1}，则A∩B＝()A．{x|x∈R|0<x<log2e} B．{x∈R|0<x<1}C．{x∈R|1<x<log2e} D．{x∈R|x<log2e}[答案]B[解析]由于集合A＝{x∈R|2x<e}＝{x∈R|x<log2e}．B＝{x∈R|eq\f(1,x)>1}＝{x∈R|0<x<1}，所以A∩B＝{x∈R|0<x<1}．6．已知函数f(x)＝ln(eq\f(2,1－x)＋a)(a为常数)是奇函数，则实数a为()A．1 B．－3C．3 D．－1[答案]D[解析]函数在x＝0处有意义，所以f(0)＝ln(2＋a)＝0，得a＝－1.7．设P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则()A．Q<R<P B．R<Q<PC．Q<P<R D．R<P<Q[答案]B[解析]题设是三个对数比较大小，因此我们考察相应的对数函数，如y＝log2x，y＝log3x，它们都是增函数，从而知0<log32<1，log23>1，log2(log32)<0，因此选B．8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≥0,1，x<0))，若f(4)＝f(0)，f(2)＝2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]由于f(4)＝f(0)，f(2)＝2，所以16＋4b＋c＝c且4＋2b＋c＝2，解得b＝－4，c＝6，即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0,1，x<0)).当x≥0时，由g(x)＝f(x)－x＝0得x2－4x＋6－x＝0，即x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.当x<0时，由g(x)＝f(x)－x＝0得1－x＝0，解得x＝1，不成立，舍去．所以函数的零点个数为2个，选C．9．(文)(2022·全国大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1C．0 D．1[答案]D[解析]本题考查了抽象函数的性质与图像．∵f(x)是奇函数，f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．∴f(x)的对称轴为x＝2，结合图像知x＝－2也是f(x)的对称轴．∴f(8)＝f(－4)＝f(0)＝0f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝f(1)＝1.∴f(8)＋f(9)＝1，由函数的奇偶性得出对称轴，从而求出结论．(理)(2022·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4.00分钟 D．4.25分钟[答案]B[解析]由试验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图像过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B．10．(文)(2022·东北三校联考)能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A．f(x)＝ex＋e－x B．f(x)＝lneq\f(5－x,5＋x)C．f(x)＝taneq\f(x,2) D．f(x)＝4x3＋x[答案]A[解析]由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为图像过原点的奇函数，A中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图像不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不为“和谐函数”；B中，f(0)＝lneq\f(5－0,5＋0)ln1＝0，且f(－x)＝lneq\f(5＋x,5－x)＝－lneq\f(5－x,5＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝lneq\f(5－x,5＋x)为“和谐函数”；C中f(0)＝tan0＝0，且f(－x)＝taneq\f(－x,2)＝－taneq\f(x,2)＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝taneq\f(x,2)为“和谐函数”；D中，f(0)＝0，且f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”；故选A．(理)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为()A．γ>α>β B．β>α>γC．α>β>γ D．β>γ>α[答案]A[解析]g′(x)＝1，所以由g(α)＝g′(α)得α＝1.h′(x)＝eq\f(1,x＋1)，所以由h(β)＝h′(β)得ln(β＋1)＝eq\f(1,β＋1)，由图像可知0<β<1，φ′(x)＝3x2，由φ(γ)＝φ′(γ)得γ3－1＝3γ2，当γ＝0时，不成立．所以γ3－1＝3γ2>0，即γ>1，所以γ>α>β，选A．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．(文)计算3log32＋lgeq\f(1,2)－lg5的结果为________．[答案]1[解析]由对数恒等式知3log32＝2，依据对数运算法则知lgeq\f(1,2)－lg5＝lg(eq\f(1,2)÷5)＝lgeq\f(1,10)＝－1，∴3log32＋lgeq\f(1,2)－lg5＝2－1＝1.(理)方程eq\f(3,3x－1)＋eq\f(1,3)＝3x－1的实数解为________．[答案]x＝log34[解析]两边同乘以3(3x－1)，整理得：(3x)2－2·3x－8＝0，解得x＝log34.12．(2021·常德模拟)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图像与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝[答案]2[解析]由题意知m2－2m－3为奇数且m2－2m－3<0，由m2－2m－3<0，得－1<m<3，又m∈N*，故m当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去当m＝2时，m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3.符合要求13．已知函数f(x)＝x2－|x|，若f(－m2－1)<f(2)，则实数m的取值范围是________．[答案](－1,1)[解析]依据已知函数f(x)＝x2－|x|，那么可知f(－x)＝x2－|x|＝f(x)，因此是偶函数，同时可知在对称轴的右侧是递增的，在对称轴的左侧是递减的，那么可知f(－m2－1)<f(2)等价于|－m2－1|<2，∴－2<m2＋1<2解得m的范围是(－1,1)．14．(文)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0,\f(1,3)x，x≤0))，则满足方程f(a)＝1的全部a的值为________．[答案]0或3[解析]当a>0时，f(a)＝log3a＝1，解得a当a≤0时，f(a)＝(eq\f(1,3))a＝1，解得a＝0.综上a＝0或3.(理)已知方程x2＋2x＋2a－1＝0在(1,3]上有解，则实数a的取值范围为________[答案][－7，－1)[解析]由x2＋2x＋2a2a＝－(x＋1)2记f(x)＝－(x＋1)2＋2，且x∈(1,3]，所以－14≤f(x)≤－2，即－14≤2a故实数a的取值范围为[－7，－1)．15．(文)(2022·天津高考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x2＋5x＋4|，x≤0，,2|x－2|，x>0.))若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．[答案]1<a<2[解析]本题考查确定值函数与分段函数的零点，接受数形结合思想．如图，f(x)图像为当y＝ax与y＝2(x－2)(x>2)平行时，a＝2，f(x)与y＝a|x|，共3个交点，∴a<2.当y＝－2x与y＝x2－5x－4相切时，令Δ＝0，a＝1，此时f(x)与y＝|a|x有5个交点，则当1<a<2时，两函数图像有4个交点．∴1<a<2.(理)(2022·天津高考)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．[答案](0,1)∪(9，＋∞)[解析]解法一：明显有a>0，(ⅰ)当y＝－a(x－1)与y＝－x2－3x相切时，a＝1，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有3个互异的实数根．(ⅱ)当直线y＝a(x－1)与函数y＝x2＋3x相切时，a＝9，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有2个互异的实数根．结合图像可知0<a<1或a>9.解法二：明显x≠1，所以a＝|eq\f(x2＋3x,x－1)|，令t＝x－1，则a＝|t＋eq\f(4,t)＋5|.由于t＋eq\f(4,t)∈(－∞，－4])∪[4，＋∞)，所以t＋eq\f(4,t)＋5∈(－∞，1]∪[9，＋∞)．令t＋eq\f(4,t)＝－5得t＝－1或－4，结合图像可得0<a<1或a>9.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)用定义证明函数f(x)＝x2＋2x－1在(0,1]上是削减的．[解析]证明一个函数为单调函数，依据定义设x1，x2为所给区间上的任意两个实数，且x1<x2，然后作差f(x1)－f(x2)，但确定要留意的是，对差f(x1)－f(x2)，我们一般是进行因式分解，把它变成几个因式之积，实际上是要得到几个简洁推断正负的因式之积，从而很快可以得出差f(x1)－f(x2)是正是负．证明：设x1<x2，且x1，x2∈(0,1]，则x2－x1>0,0<x1x2<1，x1＋x2<2，eq\f(2,x1x2)－(x1＋x2)>0，∴f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋2xeq\o\al(－1,1)－xeq\o\al(2,2)－2xeq\o\al(－1,2)＝(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋2(eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2))＝(x2－x1)[eq\f(2,x1x2)－(x1＋x2)]>0.∴函数f(x)＝x2＋2x－1在(0,1]上是削减的．17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(eq\f(1,2))ax，a为常数，且函数的图像过点(－1,2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．[解析](1)由已知得(eq\f(1,2))－a＝2，解得a＝1.(2)由(1)知f(x)＝(eq\f(1,2))x，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝(eq\f(1,2))x，即(eq\f(1,4))x－(eq\f(1,2))x－2＝0，即[(eq\f(1,2))x]2－(eq\f(1,2))x－2＝0.令(eq\f(1,2))x＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0.又t>0，故t＝2，即(eq\f(1,2))x＝2，解得x＝－1.18．(本小题满分12分)函数f(x)＝x2－2x，x∈[0，b]，且该函数的值域为[－1,3]，求b的值．[解析]作出函数f(x)＝x2－2x，x∈[0，b]的图像如图．由图可知，区间右端点必为函数最大值的对应点的横坐标．∴f(b)＝3，即b2－2b＝3，∴b＝－1或b＝3.又－1∉[0，b]，∴b＝3.19．(本小题满分12分)已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a>0，a≠(1)求a，k的值；(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？并求出该最小值．[解析](1)由题得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＋k＝4①,log2a2－log2a＋k＝k②))由②得log2a＝0或log2解得a＝1(舍去)或a＝2，由a＝2得k＝2.(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(lg2x－eq\f(1,2))2＋eq\f(7,4)，当log2x＝eq\f(1,2)即x＝eq\r(2)时，f(logax)有最小值，最小值为eq\f(7,4).(理)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，试确定实数m的范围．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图像的对称轴为直线x＝eq\f(3,2)，∴g(x)在[－1,1]上递减．即只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1.所以m的取值范围为m∈(－∞，－1)．20．(本小题满分13分)某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜想，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么支配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？[解析]设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).由已知得f(1)＝eq\f(1,8)＝k1，g(1)＝eq\f(1,2)＝k2，所以f(x)＝eq\f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq\f(1,2)eq\r(x)(x