云南省巧家县第二中学2021届人教版高三数学专题复习：数列综合

高三数学复习之数列综合1.遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用使用这个结论的程序是：写出Sn的表达式，再“后退”一步（降标）得Sn-1的表达式，作差；得an的表达式。留意：n≥2的要求切不行疏忽！若Sn的表达式无法写出，亦可将an表示成Sn-Sn-1，得到一个关于Sn的递推关系后，进一步求解。数列的前n项和=an+b,(a0,且a1),则数列成等比数列的充要条件是__________解析：降标得：=an-1+b,(n≥2),作差得：an=an-an-1=an-1(a-1),(n≥2)再“升标”得：an+1=an(a-1)；∴，(n≥2)，∴数列成等比数列的充要条件是：，即b=–1。数列中，a1=1，Sn为数列{}的前n项和，n≥2时=3Sn，则Sn=。解析：思路一：同得：an–an-1=3an(n≥3)(n≥3)∴数列从其次项开头成等比数列（留意：不是从第三项开头），又a2=3（a1+a2）得a2=,∴n≥2时=a2qn-2=()()n-2(这个地方极简洁出错)，即=∴Sn==，留意到n=1和n≥2可以统一，∴Sn=。（冗长烦琐，步步荆棘！）思路二：要求的不是而是Sn，可以考虑在=3Sn中用Sn-Sn-1代换（体现的是“消元”的思想，思路一是加减消元，消去Sn；思路二是代入消元，消去）得：Sn-Sn-1=3Sn，（n≥2），即，（n≥2），又S1=1，∴Sn=。数列{an}的前n项和，数列{bn}满足：.（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。等差数列的首项a1=1，公差d＞0，且其次项、第五项、第十四项分别为等比数列的其次项、第三项、第四项求数列与的通项公式；设数列对任意整数n都有成立,求c1+c2+…+c2007的值.2.形如：+的递推数列，求通项时先“移项”得=后，再用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法；形如：an+1=qan+p(a1=a，p、q为常数)的递推数列求通项公式可以逐项递推出通项（在递推的过程中把握规律）或用待定系数法构造等比数列（公比为q）；形如：（为常数）的递推数列求通项，先“取倒数”，可得数列{}是等差数列（公差为）。①已知数列an满足a1=1,an+1=an+2n-1,则a10；解析：an+1-an=2n-1，分别取n=1，2，…9，叠加得：a10-a1=（2+22+…+29）-9=210-11a10=210-10.②若数列an满足a1=，（n≥2）,则an=；解析：“取倒数”得：（n≥2），记数列{+}为等比数列，且公比为2，（为常数），则+=2（+）（n≥2），可见=-1，而-1=2∴-1=2n,=2n+1,an=。注：（ⅰ）有时能够看、猜、试出来，未必非要“待定系数”。（ⅱ）数列{+}为等比数列，其首项是+而不是a1，同样，通项是+而不是an，这是很简洁出错的一个地方。（ⅲ）若递推关系变为an+1=qan+pn,则也相应变为pn，其他做法不变。③已知数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=an+1且a2=2，则an。解析：“降标”得a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=an，（n≥2）作差得(n+1)an=an+1（n≥2）（n≥2）分别取n=2，3，…，n-1,连乘得：，又a2=2得an=n!（n≥2）而a1=a2,∴an=。某顾客购买一件售价为1万元的商品，拟接受分期付款的方式在一年内分12次等额付清，即在购买后1个月第一次付款，以后每月付款一次，若商场按0.8%的月利率受取利息(计复利),则该顾客每月付款的数额为______3.应把握数列求和的常用方法：应用公式（必需要记住几个常见数列的前n项和）、折项分组（几个数列的和、差）、裂项相消（“裂”成某个数列的相邻两项差后叠加）、错位相减（适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列）、倒序相加等，要依据不同数列的特点合理选择求和方法（其中最重要、最常见的是裂项）。①数列中，若，数列满足，则数列的前项和为。解析：求的过程请读者自己完成。=，∴数列的前项和为：。一般地：通项为分式的数列求和多用“裂项”，“裂项”是“通分”的逆运算，可以先“裂开”再回头通分“凑”系数。②已知=，Sn为数列{}的前n项和，=nSn，求数列{}的前n项和Tn；解析：Sn=-2=n×-2n,Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×-2（1+2+3+…+n）(视数列{}的前n项和为两个数列的前n项和的差，此即“分组求和”)记：Rn=1×22+2×23+3×24+…+n×-）2Rn=1×23+2×2Rn=1×22+2×23+3×24+…+n×-）2Rn=1×23+2×24+…+（n-1）×+n×-Rn=1×22+1×23+1×24+…+1×-n×-Rn=2n+2-4-n×2n+2=-(n-1)2n+2-4,∴Rn=(n-1)2n+2+4Tn=(n-1)2n+2+4-n(n+1)。注：“错位相减”法在中学数学中除推倒等比数列的求和公式外就仅此一用。“相减”后的n+1项中，“掐头去尾”中间的n-1项成等比数列。③=解析：S==用“倒序相加”：得2S==n2n,∴S=n2n-1。设数列是公差不为零的等差数列，其前项之和为，已知与的等比中项为，且与的等差中项为1。(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项之和为，其中，问是否存在实数M，使得对任意正整数都成立？若存在，试求出实数M的范围；若不存在，试说明理由。4.与数列相关的不等式问题多用“放缩法”或数列的单调性解决。在数列中，已知，，（Ⅰ）证明数列{-1}是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：解析：（Ⅰ）留给读者自己完成（参看第2条②），；（Ⅱ）（≥2）∴=2+<2+1-<3.已知在数列的前n和为Sn,且对一切正整数n都有Sn=n2+an,（Ⅰ）求证：an+1+an=4n+2;（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。5．在解以数列为数学模型的应用题时，要选择好争辩对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简洁的问题可直接查找“项”与“项数”的关系，对较简单的问题可先争辩前后项之间的关系（即数列的递推关系），然后再求通项。从盛满729升纯酒精的容器里倒出a升，然后用水填满，再倒出a升混合溶液，用水填满，这样连续进行，一共倒了6次，这时容器里还含有64升纯酒精，则a的值为.解析：记：倒了n次后容器里还含有an升纯酒精,则a=，数列为等比数列，公比为，a1=729-a,∴64×7295=(729-a)6,2×35=729-aa=343。在占地3250亩的荒山上建筑森林公园,2000年春季植树100亩,以后每年春季植树面积都比上一年多植树50亩,直到荒山全部绿化为止.到哪一年春季才能将荒山全部绿化完?假如新植树木的每亩木材量为2m3,树木每年自然增长率为20%,到全部绿化完的那年春季,该森林公园的木材总量是多少?(精确到1m3,1.29≈1.56)简答1.bn=2n-1+2,Tn=2n+2n-1,(1)an=2n-1,bn=3n-1,(2)32007,2.记每次还款x万元，则第一次还款后尚欠商场1.008-x万元,其次次还款后尚欠商场(1.008-x)1.008-x=1.0082-1.008x-x万元,…,第12次还款后尚欠商场1.00812-1.00811x-1.00810x-…-1.008x-x=0,得x=,3.an=,对数列{bn}“裂项”求得=）（）max==