工科基础数学第六章级数教学讲义

第六章级数

高等数学

安徽电气工程学院1/13/20251本章安排10课时，每节2学时，习题课2学时。具体如下：

第1,2课时：

6.1常数项级数的概念与性质1/13/20252

教学目的：理解级数的定义，掌握级数收敛、发散的概念及其性质，熟悉几何级数、调和级数的敛散性，会用级数收敛的必要条件判断某些级数的发散。

教学重点：级数收敛发散的定义，级数收敛的必要条件。教学难点：数项级数的性质。1/13/20253

4.

通过对例1的讲解，要求学生掌握等比级数的审敛法；例2,3都是拆项化简的方法，类似题还可举1，2个，或让学生练习。（18）5.

给出并配以简例说明数项级数的三个性质。（10）6.叙述并推出级数收敛的必要条件。（10）1/13/202557.举例4,5，例5的结论说明通项趋于零不是级数收敛的充分条件，要学生记住调和级数是发散的。再适当补充举例1，2。（15）

8.课堂练习：判别级数的敛散性：

1）2）（15）

9.小结，布置作业。（10）

1/13/20256第3,4课时：

6.2常数项级数的审敛法

1/13/20257

教学目的：掌握正项级数的比较和比值判别法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法，会判别绝对收敛和条件收敛。

教学重点：正项级数的比较审敛法和

比值审敛法。

教学难点：正项级数的比较审敛法。

1/13/20258

教学过程：1．叙述正项级数定义，分析引出定理1，举例1说明。（10）2.给出并说明比较审敛法，注意用一般项作比较，强调“小于收敛则收敛，大于发散则发散”〔学生往往用错），指出比较对象：几何级数，调和级数，P-级数等等；举例2—5，要求学生掌握P-级数的审敛法。可补充2个例题，先让学生思考，再与学生一起分析解答。（25）

1/13/202593．给出比值审敛法，复习一下两个重要极限公式，罗必塔法则，再举例7—9（ρ的三种不同情况），可补充1,2个例题，或让学生练习。（25）4．举例说明什么是交错级数，说明莱布尼兹审敛法。举例10，指出条件（2）是收敛的必要条件，但条件（1）不满足，不能讲该级数就一定发散。判别条件（1）有三种方法：差与0比较、比与1比较、一般项对n的导数与0比较。可适当增加例题或让学生练习。（15）1/13/2025105．先举例说明定理5，再叙述绝对收敛和条件收敛的定义，然后举相关例题。可补充交错级数是绝对收敛的例题，也为判别某些收敛的交错级数多了一个思路。（15）6．小结：判别级数敛散性有哪些方法，一般使用的先后次序。布置作业。（10）1/13/202511第5,6课时：

6.3幂级数1/13/202512

教学目的：掌握幂级数的概念及收敛半径和收敛区间的求法，了解幂级数的性质，会求简单幂级数的和函数。

教学重点：幂级数的概念及收敛半径和收敛区间的求法。教学难点：求幂级数的和函数。1/13/202513教学过程：1.先说明什么是幂级数及其一般形式，讲清收敛（发散）点、域的概念；再讲和函数的概念，用常见的等比级数举例。（15）2.给出并说明阿贝尔定理，讲叙幂级数收敛性的三种情形，指出收敛区间和收敛域的区别。（15）3.求收敛半径的方法，定理2及证明。（10）.1/13/2025144.先举例1,说明求收敛域的方法，可补充简单的例题巩固〔专升本考试范围〕。其它例题求收敛区间为主，当幂级数缺奇（偶）次项可用取绝对值，由比值审敛法求出其收敛区间，除例3外还可补充缺偶次项的例题。举例4后让学生记住：对的幂级数是如何求收敛区间的。

（20）

5.讲解幂级数的性质。（10）

1/13/202515

6.说明如何用逐项求导或逐项积分的方法求幂级数的和函数，举例。使学生明白通过逐项求导或积分将级数转化为可求和的几何级数，再用逆运算求出和函数。习题中有二次逐项积分的情形说明一下。（15）7．补充例题或练习。（10）8．本课小结，布置作业。（5）

1/13/202516

第7,8课时：

6.4函数展开成幂级数1/13/202517

教学目的：了解泰勒级数的有关概念，熟悉几个初等函数的幂级数展开式，会用间接法求较简单函数的泰勒级数。

教学重点：用间接法将函数展开为幂级数。教学难点：将函数展开为幂级数。

1/13/202518教学过程：1．表叙泰勒公式和马克劳林公式，举例（15）2．说明什么是泰勒级数和马克劳林级数，f（x）在点x处的泰勒级数与在点x处的泰勒展开式有什么不同。（本书提法与其它教材有异，参见同济等教材）（10）3.如何把函数f（x）直接展开成x的幂级数，举例。记住常用的展开式。（20）

1/13/2025194．举例用间接法将函数展开成泰勒级数，提醒不要忘写收敛域。适当补充例题，与习题中累似的题如：展开为（x—1）的幂级数：5.

练习：（25）

1）将f（x）=展开成x—3的幂级数；2）将f（x）=展开成x的幂级数。

（15）6．本次课小结。布置作业。

（10）

1/13/202520第9,10课时：

6.5周期为2π的函数展开成傅里叶级数1/13/202521教学目的：掌握傅里叶系数及傅里叶级数公式和收敛定理，会将2π为周期的函数展开成傅里叶级数。

教学重点：2π为周期的函数展开成傅里叶级数。教学难点：2π为周期的函数展开成傅里叶级数。1/13/202522教学过程：1．内容筒单介绍，学习要求；复习积分有关公式，再推证三角函数系的正交性。（20）2．用逐项积分及三角函数系的正交性推出傅里叶系数的公式。（20）

3．在复习间断点类型的基础上，给出并解释收敛定理。说明f（x）的傅里叶级数与傅里叶展开式不是一回事。（10）1/13/2025234．举例1，2后强调解题步骤，要求作出图形、解题过程不查积分表、展开式后的收敛区间一定要写。（30）课堂练习：将函数展为余弦级数。