2024-2025学年河北省保定市高二上册12月联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年河北省保定市高二上学期12月联考数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为直线的倾斜角，则（）A. B. C. D.【正确答案】A解析：∵为直线的倾斜角，∴直线斜率，∴.故选：A.2.在正三棱锥中，为外接圆圆心，则（）A. B.C. D.【正确答案】D解析：如图，在正三棱锥中，取中点，连接，则点为底面中心，且在上，则.故选：D.3.已知等比数列的公比q为整数，且，，则（）A.2 B.3 C.-2 D.-3【正确答案】A解析：因为，，且q为整数，所以，，即q=2.所以.故选：A4.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】D解析：设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为．∵直线过点，∴，化简得．∵切线有2条，∴，则的取值范围是，故选：D5.已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（）A. B. C. D.【正确答案】C解析：由题意可设直线：，将点的坐标代入，得，则，则.不妨假设在轴上，则，记为坐标原点，因为线段与的长度分别为，，所以的面积，当且仅当，即时，等号成立.故选：C.6.已知为的导函数，则的大致图象是（）A B.C. D.【正确答案】A解析：由题意知，，定义域为，又，所以为奇函数，排除BD；又，排除C；结合选项，A符合题意.故选：A7.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（）A. B. C. D.【正确答案】C解析：根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为，易知，一个周期内的三个数字之和为；所以数列的前项的和为.故选：C8.曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（）A.曲线关于对称 B.的最大值为C.该椭圆的离心率为 D.的最大值为【正确答案】C解析：由方程可以看出其关于，对称，A正确；由题意知，，，，，B正确：联立方程，解得顶点坐标为和，所以椭圆长轴长为；同理可得另外两个顶点坐标为和，所以椭圆的短轴长为，所以，所以该椭圆的离心率为：，C错误；看作关于的一元二次方程，，解得，D正确，故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（）A.的坐标为 B.若，则C.若，则的最小值为3 D.面积的最小值为2【正确答案】ACD解析：由题设有，直线的斜率不为零，故设直线，则由可得，，所以，所以而，当且仅当时等号成立，故，故，故，故A正确；若，则，故，故的斜率为，其倾斜角为或，故B错误；若，则过作准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当三点共线时等号成立，故的最小值为3，故C正确；，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立.故选：ACD.10.已知数列满足，关于数列有下述四个结论：其中正确的是（）A.数列为等比数列B.C.D.若为数列的前项和，则【正确答案】ACD解析：因为，所以，所以，所以，所以数列为公比为3的等比数列,所以A正确;又因为，所以，因为，所以，所以,故C正确；由累加法得,所以B错误；由分组求和得,所以D正确.故选：ACD11.如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（）A.存点P，使得B.的最小值为有C.面积的最小值为D.三棱锥与三棱锥的体积之和为定值【正确答案】ACD解析：由题意得，，即，又在直三棱柱中，底面，平面，平面，，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为，，所以，，，，，，，则，，设（），则，解得，，，所以，对于A选项，，，要使，即，解得，当，即在中点时，，故A选项正确；对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示，连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值，由题意得，，，，，，所以，，，，则，在中，由余弦定理得，，则，所以的最小值为，故B选项错误；对于C选项，，，设（），则，即，所以，则，因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确；对于D选项，，故D选项正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和为，且满足，则_______．【正确答案】解析：根据题意，数列满足，当时，有；当时，有，不符合，故故13.已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为_____.【正确答案】##解析：设为坐标原点，则，从而.设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案为.14.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．【正确答案】##解析：由得，即，设，则，，当时，，所以在上单调递增．因为x，y均为正实数，所以，由，可得，即．由知，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以．则．令，则，所以上单调递减，所以，所以，即的最小值为．故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.15.如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点.（1）求点到直线的距离；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）【小问1解析】因为线段是底面圆的直径，所以，所以，以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则所以，设点到直线的距离为，则，故点到直线的距离为；【小问2解析】由（1）可知，，设为平面的一个法向量，则由，可取，设为平面的一个法向量，则由，可取，设平面与平面所成角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.16.已知圆上一点（1）求圆在点处的切线方程；（2）过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）或【小问1解析】由题意，点在圆上，可得，因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为，故切线方程为，即；【小问2解析】如图，由（1）知圆，又点，，当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，，点到的距离为3，则，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线，即，代入中，整理得：，设，由韦达定理，，即，代入，可得，即，于是，则得，点到直线的距离为：，则，解得或，故直线的方程为或.17.若数列的前项和为，且，等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【正确答案】（1），（2）【小问1解析】因为①，所以②，，①②得，又所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列，，，等差数列的公差为.【小问2解析】由（1）可得，，两式相减得，18.已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，（1）求的方程；（2）证明：为定值；（3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．【正确答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【小问1解析】由已知，得，解得，则椭圆的方程为；【小问2解析】依题意，可设点，且，点关于原点的对称点为，点在上，，作差得，直线的斜率为，直线的斜率为，，即为定值；【小问3解析】设弦的中点，点重心,，由，得，，且，的重心在轴上，，，则，在上的投影向量相等，则，且，则直线的方程为，，得，又点在上，，即又，则直线的方程为19.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）（2）【小问1解析】由题意可得，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为；【小问2解析】有两个不同的解可化为有两个不同的解，令，则，（ⅰ）若，则，由得．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．①当时，，即，故没有零点，不满足题意．②当时，，只有一个零点，不满足题意．③当时，，即，当时，，，又，故，所以，又，故在上有一个零点．