2024学年北师大万宁附中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析

学年北师大万宁附中高三数学上学期第三次月考试卷（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.设复数，则等于（）A. B. C. D.2.设集合，，若，则（）．A.2 B.1 C. D.3.掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（）A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等4.在中，点D在边AB上，．记，则（）A. B. C. D.5.下列选项中，与不相等的是（）A. B. C. D.6.已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，，它们的终边分别与单位圆交于点，，设线段的中点的纵坐标为，若，则角的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（）A80 B.75 C.70 D.65二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分）9.以下四个命题表述正确的是（）A.圆的圆心到直线的距离为2B.直线恒过定点C.圆与圆恰有三条公切线D.圆与的公共弦所在直线方程为10.某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（）A.乙组同学恰好命中2次的概率为B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率C.甲组同学命中次数方差为D.乙组同学命中次数的数学期望为11.如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（）A.B.C. D.三、填空题12.函数的单调递增区间是_____________.13.盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．14.已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，要求有必要的解答过程）15.已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记，求．16.已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）判断的形状；（2）若，且的面积为，求角．17.已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，.（1）求的离心率；（2）已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积.18.如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.19.函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线的斜率记为.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）求证：.（3）盒子中有编号为1-100的100个小球（除编号外无区别），有放回地随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为，求证：.【答案】1.C解析：，.故选：C.2.B解析：因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：故选：B.3.C解析：由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个，其中事件有，共12个，事件有，共12个，事件有，共4个基本事件，所以,所以，故相互独立，答选：C4.B解析：因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．5.D解析：，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：D6.C解析：过点作于点，连接，因为三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，，，，平面，且，平面，平面，，易知，，，，，则，设外接圆圆心为，外接圆圆心为，则，即，且三棱柱外接球球心为中点，则外接球半径，表面积为，故选：.7.B解析：由题意可得，，则，由可得，即，解得，即，又，则时，.故选：B8.B解析：因为为偶函数，则，求导可得，因为，，则，可得，且，则，可得，即，可得，可知8为的一个周期，且，对于，，令，可得，，可得，所以.故选：B.9.BC解析：对于A，由圆得圆心，所以圆心到直线的距离为，故A错误；对于B，因为直线，令，则，所以该直线恒过定点，故B正确；对于C，由圆得，故，；由圆得，故，；所以，故圆与圆外切，恰有三条公切线，故C正确；对于D，由减，得，即，故两圆的公共弦所在直线方程为，故D错误.故选：BC.10.BCD解析：对于A中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，所以A错误；对于B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则，因为，所以B正确；对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，可得，所以C正确；对于D中，设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为，所以，，，故，所以D正确.故选：BCD.11.CD解析：设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.12.解析：由对数函数的定义域可得，解得或，由于是单调递增函数，所以要求的递增区间，只需求二次函数的递增区间即可，由二次函数的性质可得的递增区间为，结合函数定义域可得的递增区间为，故答案为：.13.##解析：记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；，；，，.故答案为：.14.解析：由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：15.（1）（2）【小问1解析】设数列的公差为，由题意可知：，所以.小问2解析】由（1）可知：，显然为等比数列，且公比，设，因为，所以数列是以首项，公比为的等比数列，所以.16.（1）等腰三角形（2）【小问1解析】由正弦定理，，因，则，，则为等腰三角形；【小问2解析】由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x，则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为，则，即为等边三角形，则角为.17.（1）2；（2）.【小问1解析】设，将代入双曲线方程得，此时，所以，即，，则，所以（负值舍去），故的离心率为2.【小问2解析】因为，由（1）知，双曲线方程为：，渐近线方程为，设，则，所以，又在双曲线上，所以，整理得：，由渐近线方程为得，所以的面积为.18.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【小问1解析】连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.【小问2解析】法一：由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面.法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，在中，，在中，，设，所以由可得：，可得：，所以，则，所以，，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，，所以平面平面BEF；【小问3解析】法一：过点作交于点，设，由，得，且，又由（2）知，，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，则，从而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值为.法二：平面的法向量为，平面的法向量为，所以，因为，所以，故二面角的正弦值为.19.（1）递增区间为：和，递减区间为：（2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析（3）证明见解析【小问1解析】当时，函数，∴函数的定义域为，.令，解得或；令