数学-山东省淄博市2024-2025学年第一学期高三期末摸底质量检测试题和答案

在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项2.已知向量a=(-6,2),b=(mm+2),若a⊥b,则5个数为口口为A.1:2:3B.2:1:3C.3:1:26.已知函数(a>0,a≠1)是(0,+o0)上的单调函三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13.已知数列{a,}中，a₁=1,,则四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步(2)如图，点D在边BC的延长线上，且AB=BC=2,AC=2√2,BB₁=4,点M,N分别为18.(17分)已知函数f(x)=alnx-x(a<2),曲线(1)求a;(ii)写出数列{a,}通项公式(不证明).参照秘密级管理★启用前2024-2025学年度第一学期高三摸底质量检测数学参考答案一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分.三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.(13分)同时由余弦定理得：分,所以△ABC为等边三角形；………………7分由于a²,b²,c²成等差数列，高三数学试题第1页(共18页)因为,所以b²=a²+c²-ac;所以,所以△ABC为等边三角形；………………7分高三数学试题第2页(共18页)又∵,∴△ABC为等边三角形.……………7分(2)方法(一)因为△ABC是等边三角形，BC=2CD,AD²=AC²+CD²-2AC·CDcos∠ACD,9分解得CD=1,AC=2,(两个数值有一个正确即可得2分)…………11分方法(二)因为△ABC是等边三角形，BC=2CD,AD²=AC²+CD²-2AC·CDcos解得CD=1,AC=2,(两个数值有一个正确即可得2分)…………11分…………12分高三数学试题第3页(共18页)方法(三)因为△ABC是等边三角形，BC=2CD,,AD=√7,,AD=√7,…………13分AD²=AC²+CD²-2AC·CDcos∠ACD,9分解得CD=1,AC=2,(两个数值有一个正确即可得2分)…………11分…………12分…………13分方法(四)因为△ABC是等边三角形，BC=2CD,AD²=AC²+CD²-2AC·CDcos∠ACD,9分高三数学试题第4页(共18页)解得CD=1,AC=2,(两个数值有一个正确即可得2分)…………11分…………12分…………方法(五)AD²=AC²+CD²-2AC·CDcos∠ACD,9分解得CD=1,AC=2,(两个数值有一个正确即可得2分)…………11分…………12分…………13分方法(六)过点A作AE⊥BC,交BC于点E,因为△ABC是等边三角形，E是边BC的中点，所以………………9分又因为BC=2CD,所以ED=2CD解得：CD=1………….……………13分16.(15分)解：(1)法1:记事件A=“甲正确回答第i个的问题”(i=1,2,3),则 则P(A)=PA₁+AA₂+A₂A₂A₃)=P(A)+P(A)P(A)+P(A₁)P(A₂)P(A₃)………4分法2:记事件A=“甲正确回答第i个的问题”(i=1,2,3), 记事件A=“甲没有获得“智慧星”称号(以上三个概率对1个得1分)所以.…………………4分法3:记事件A,=“甲正确回答第i个的问题”(i=1,2,3),事件A=“甲没有获得‘智慧星’称号”,则A=“甲获得‘智慧星’称号”(合为一步写且结果正确得4分)(2)法1:设乙在此次竞赛活动中正确回答问题的个数为ξ,(不写不扣分)所以乙获得“智慧星”称号的概率……8分法2:设乙在此次竞赛活动中正确回答问题的个数为ε,则(以上两个概率对1个得1分)所以乙获得“智慧星”称号的概率……8分(3)法1:设甲乙两人在此次竞赛活动中正确回答问题的个数分别为η和ξ,………………11分(以上三个概率值对1个得1分)(没有不扣分)……………14分(以上三个概率值对1个得1分)P(M)=P(ξ-η=3)=P(ξ=3)·P(η=0)+P(ξ=4)·P(η=1)+P(ξ=5)·P(η=2)(合为一步写且结果正确得7分)设B₁:乙正确回答3题且甲正确回答0题，B₂:乙正确回答4题且甲正确回答1题，B₃:乙正确回答5题且甲正确回答2题，则M=B₁UB₂UB₃,高三数学试题第8页(共18页)解证：(1)由AB=BC=2,AC=2√2AB∩MN=N,分则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),M(1,1,0),B₁(1,1,则N(0,0,0),A(-1,0,0),C(1,2,0)则M(0,0,0),A(0,-√2,0),C0,√2,0),B(√………9分(点或向量的坐标，只要有坐标正确即可得1分)则由,可得∵BB₁c平面BMB₁∴AC⊥BB₁过A作A₁H⊥MC₁,垂足为H,连接HB₁,分B₁H⊥MC₁,∴∠A₁HB₁是平面B₁MN与平面ACC₁A₁的夹角，…………12分18.(17分)解：(1),f'(1)=a-1………2分∵它与y=x²+2x相切，联立得：x²+(3-a)x+a=, 3分△=0解得a=9或1, 4分设y=x²+2x在点(x₀,yo)处的切线为y-yo=(2x₀+2)(x-x₀)yo=x。²+2x₀=(a-1)x₀-a 3分 5分∴h(1)>0,即t>1时…………16分当t1时得到：从而原命题得证.……17分…………14分即,即证,即证t>1,∴h(1)在(1,+x)上单调递增，当t时得到：…………14分∴∴h(t)在(2,+00)上单调递减，高三数学试题第15页(共18页)t→+,h(t)→0t→+,h(t)→0……16分……16分……17分19.(17分)或2,7,9或2,5,9或4,7,9或4,5,9…………2分(写出1个即可得分)长度为4的递增子列2,4,7,9或2,4,5,9.………5分(写出1个即可得分)(2)设{a,}的长度为q的一个递增子列为a,a…,a且a,=y,由p<q,得a<a,…………7分法2:(反证法)长度为p的一个递增子列为a,a₂,…,a,且a,=x因为a,<a/<…<a,<…<a所以aA,a₂…a也是一个长度为p的递增子列这与x是子列末项的最小值矛