2023-2024学年上海市某中学九年级上学期期中数学试题及解析

九年级数学

（满分100分，考试时间90分钟）

一、选择题（本大题有6小题，每题4分，满分24分）

1.如果5x=3y（X、y均不为零），那么的值是（）

5335

A.-B.-C.-D.一

3588

【答案】B

【解析】

【分析】等式两边同除以5y即可得到答案.

513vx3

【详解】解：等式两边同除以5y,可得：—=即一=、，

5y5yy5

故选B.

【点睛】本题考查比例式的性质，熟练掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题关键.

2.已知Rt^ABC中，ZC=90°,ZCAB=a,AC=7,那么BC为（）

A.7sinaB.7cosaC.7tanaD.7cota

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可.

【详解】

解：:白△ABC中，ZC=90°,ZCAB=a,AC=7,

BCBC

tana=----=------

AC7

BC=7tana.

故选c.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边

比斜边，正切为对边比邻边.

3.在..ABC中，点E分别在A3、AC上，如果AD=2,3。=3,那么由下列条件能够判定DE〃3C

的是（）

DE2DE2AE2AE2

A.----——B.——C.=一D.---=—

BC3BC5AC3AC5

【答案】D

【解析】

【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于

三角形的第三边可对各选项进行判断即可.

【详解】解：A£>=2,BD=3,

.AD2

••—,

AB5

AE2

理由是：----ZA=ZA，

ABAC5

：.ADE^..ABC,

/.NADE=ZB,

/.DE//BC,

而其它选项都不能推出ABC,即不能推出=或=,即不能推出

DE//BC,

即选项A、B、C都错误，只有选项D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

4.下列命题正确的是（）

A.如果la|=|。I，那么a=Z?

B.如果口、b都是单位向量，那么a=b

如果（左*0）,那么口〃匕

D.如果"2=0或4=0，那么加q=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断.

【详解】解：A.向量是既有大小又有方向，la|=@|表示有向线段的长度，a=b表示长度相等，方向相

同，所以A选项不正确；

B.长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；

C.a=kb(4#0)0aHb，所以C选项正确；

D.如果加=0或£=0，那么加。=0，不正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.

5.如图,。、E分别是A4BC的边AB、8c上的点，且。E〃AC,AE,CD相交于点。，若以以祖SACOA=1：25,

则SABDE马SACDE的比是()

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25

【答案】B

【解析】

【详解】I?：'JDE//AC,

:.△DDEs△CON,

又SA_DOE：SACOA=1：25,

.DE1

••—―,

AC5

\'DE//AC,

.♦.△BDEsABAC,

•BEDE_1

"BC-AC-5)

.BE

"~EC~^

；•SABDE与SACDE的比是1：4,

故选B.

6.如图，。是ABC边上的一点，NB4D=NC,NA5C的平分线交边AC于点E,交A。于点尸，

则图中一定相似三角形有（）

B.2对C.3对D.4对

【答案】C

【解析】

【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成.

【详解】在.ABC与一。氏4中,

,:NABD=NABD,ZBAD=ZC,

：.ABCs&DBA,

△AB歹与△CBE中,

5/平分NABC,

ZABF=ZCBE,

又NBAF=NBCE,

：.ABF^CBE.

•：ABCsaDBA,

ABAC=ZADB,

•?ZABF=ZCBE,

：.△ABEs/\DBF,

所以图形中共有3对相似三角形.

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点.

二、填空题（本大题有12小题，每题4分，满48分）

x-y

7.如果x:y=5:3,那么

y

2

【答案】|

【解析】

【分析】根据x：y=5:3得到x=把它代入后面的式子求出比值.

3-

【详解】解：•••x：y=5:3,

3x=5y,即%=2y,

3

5

x—y_3，_2.

yj3

2

故答案是：j.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质.

8.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A,B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离

是千米.

【答案】16

【解析】

【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离.

【详解】解：根据题意，1.6十一1一=1600000厘米=16千米.

1000000

即实际距离是16千米.

故答案为：16.

【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意

单位的转换.

9.若。是线段延长线上一点，已知MN=。，QN=b，则MQ=.（用含4、表示）

【答案】a—b

【解析】

【分析】根据向量的线性运算法则进行计算即可.

【详解】解：,••QN=8,

NQ=-QN—~b，

又MN=a,

MQ=MN+NQ=a-b

故答案为：a—b

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

10.设点尸是线段A8的黄金分割点（4尸<2尸），A3=2厘米，那么线段BP的长是_________厘米.

【答案】（石-1）##（-1+君）

【解析】

【分析】根据黄金分割点的定义可知BP?由此列出一元二次方程，即可求解.

【详解】解：-点P是线段A3的黄金分割点，

BP2=ABAP>HPBP2=AB（AB-BP）,

令BP=x,则X2=2X（2—X）

即X2+2X-4=0，

A=22-4X1X（-4）=20>0,

.F「2+百Txlx（—4）=/i&「7szM（舍）

22

二线段5P的长是（石-1）厘米.

故答案为：（石-1）.

【点睛】本题考查黄金分割点、解一元二次方程，根据黄金分割点的定义列出一元二次方程是解题的关键.

2

11.如图，MAD//BE//CF,BC=-AB,DE=6,那么所的值是.

【答案】4.

【解析】

2

【详解】：AD〃BE〃CF,BC=-AB,

3

.DEAB_3

"EF~BC~2'

解得EF=4.

故答案为4.

点睛：本题利用平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

12.已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=3。=6,那么AG的长为.

【答案】2非

【解析】

【分析】根据等腰直角三角形的性质，求出8的长，然后根据重心的性质可知。G=』CD,最后由勾股

3

定理可求得AG的长

【详解】连接CG并延长交A3于点。,

/.8是等腰直角三角形A3C斜边的中线

CD=-AB=-7AC2+BC2=-XV36+36=372

222

1/点G是等腰直角三角形ABC的重心，

ADG=1cD=V2,且A。=CD=30

在Rt..ADG中，根据勾股定理得：

AG=VAD2+DG2=J18+2=2亚

【点睛】本题考查的等腰直角三角形的性质，重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键

13.如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往走2.5米到达E处时，

测得影子所的长为2米，己知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度A3的长为米.

BCDE

【答案】5.25

【解析】

他二路灯的高度

【分析】可得二=理，—,解得，AB=1.5BD,AB=—BF,

影长路灯的影长1BD2BF2

则=由BD=BF—BD=DF=CE—CD+EF=3.5,代入可求AB.

..身高=路灯的高度

【详解】解:

.影区一路灯的影长

.1.5_AB1,5_AB

••—，—■，

1BD2BF

解得，AB=1.5BD,AB=—BF,

2

・•・BF=2BD,

■:BF—BD=BD=DF=CE—CD+EF=2.5—\+2=3.5,

AB=1.5x3.5=5.25,

故答案为：5.25.

身高路灯的高度

【点睛】本题考查了相似三角形的应用.解题的关键在于熟练掌握:

路灯的影长

14.如图，四边形DE/G是，A3C的内接矩形，其中。、G分别在边A3、AC上，点E、b在边3C上,

DG=2DE,AH是..ABC的高，BC=20,AH=15,那么矩形。E/G的周长是

【解析】

【分析】根据四边形。EEG是一A3C的内接矩形，可得DG〃EF,NKDE=NDEH=90。，证明四边

形DEHK是的矩形,可推导出KH=DE,AK是△ADG的高,根据相似三角形的性质可得变=—,

BCAH

代入数据可得结论.

【详解】解：设AH交。G于点K,

：AH是.ABC的高，

/.ZAHB^90°,

:四边形。E/G是ABC的内接矩形，

DG//EF,ZKDE=ZDEH=90°,

四边形OEHK是矩形，

/.ZDKH=90°,KH=DE,

NAKD=1800-NDKH=180。—90°=90°,即AK是△ADG的高,

•；DG//EF,DG=2DE,BC=2。,AH=15,

：.AADG^AABC,

.DGAKAH—KHAH—DE

,•BC-AH—AH~AH'

.IDE15—DE

••=,

2015

解得：DE=6,

：.DG=2DE=2x6=12,

...四边形。EEG的周长是：2x（6+12）=36.

故答案为：36.

K

Or【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质.掌握相似三角

BEHFC

形的判定和性质是解题的关键.

15.边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的

面积为_______.

【答案】15

【解析】

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：如图，

由题意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=6,ZCEF=ZEFG=90°,GH=4,

：.CH=10=AD,

ZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

ADJ%HCJ(AAS),

/.CJ=DJ=5,

：.EJ=1,

■：GI//CJ,

：..HG"HCJ,

•GIGH2

：.GI=2,

FI=4,

s梯形E〃F=5(£J+E/),EF-15；

故答案为15.

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

16.如图已知在,ABC中，ZC=90°,AB=5,cotB=-,正方形DE/G的顶点G、尸分别在边

2

AC.3c上，点。、E在斜边A8上，那么正方形。EPG的边长为.

【答案】—

7

【解析】

【分析】由正方形DEFG，设DE=DG=ER=x，由ZA+ZAGD=90°=ZA+ZB,可得ZAGD=ZB,

1BE_1x_BE_1

则0)1/46。=«)1:8=—,即——解得,AD=2x,BE=-x,根据

2ADEF~2'A。-x-52

AB=AD+DE+BE=5,代值计算求解即可.

详解】解：・・,正方形。EbG,

:.ZADG=ZBEF=90°,DE=DG=EF,

设DE=DG=EF=x,

-：ZA+NAG。=90°=NA+NB,

・•・ZAGD=ZB,

DGBE1

cotZAGD=cotB=—即pn-——,

2ADEF2

x_BE

解得,AD=2x,BE=—x,

ADx22

AB=AD+DE+BE=5f

10

***2x+xH—x-5,解得9x=一

27

故答案为：一.

7

【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用.解题的关键在于正确表示余切，确定线

段之间的数量关系.

17.新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰

直角线”.已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4,它的面积是

【答案】4+4忘或12

【解析】

【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，在梯形A3CD中，AD〃BC,ABC是等腰直角三角形，AD=AC=4,

AB2+BC2=2AB2=AC2=16，

AB=2V2，

梯形ABCD的面积为g(BC+AD)=1(272+4)x20=4+472；

如图，在梯形ABC。中，AD^BC,ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4,

/.ABAD=NB=90°,ABAC=45°,

ZCAD^ZD=45°,

/.ZACD=9Q°,

.AC。是等腰直角三角形，

•••AD=6AC=472，

梯形ABCD的面积为+AD)xAB=1(272+4后卜20=12；

如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4；

综上所述，它的面积为4+472或12.

故答案为：4+40或12

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

18.如图，在Rt^ABC中，乙4cB=90。，8是,ABC的角平分线，AC:BC=3:4.将Rtz\A3C绕

点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，连接。E,那么的正切值为.

3

【答案】一

7

【解析】

【分析】设点C落在射线8上的点C'处，设AC=3x,3c=4x,根据角平分线的性质和旋转的性质

可得90°=NEA3=NCAC',进而得到AC'〃5C,即可求解.

【详解】解：设点C落在射线8上的点C'处，如图,

VZACB=90°,AC:3c=3:4,.

设AC=3x,BC=4x,

则AB=JAC2+BC2=5x>

•••8是ABC的角平分线，

ZACD=ZDCB=45°,

•.•将Rt^ABC绕点A旋转，

AAC=AC,ZCAB=ZC'AE,AB=AE=5x,

：.ZACD=ZAC'C=45°=ZDCB,ZEAB=ZCAC,

：.90°=ZEAB=ZCAC,

：.AC//BC,

・••丝=雪、①，

DBBC4

■：AD+BD^5x®

由①②得：AZ)=--x,

7

由旋转的性质可知，AE=AB=5x,

AZ)3

；・tan/AED----——,

AE7

3

故答案为：一.

7

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等；计算出AO的长是解决问题的关键.

三、解答题(本大题满分78分)

八、-2sin30°IM

19.计算：------------------1-cot30-1.

2cos450-tan45011

【答案】V2+V3

【解析】

【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则进行计算.

2x1

【详解】解:原式=2+|-\/3-1|

V2

92x------1

2

1+V3-1

V2-1

=V2+1+V3-1

=A/2+V3-

【点睛】本题考查了特殊角三角函数的值的运算，二次根式的运算，牢记特殊角三角函数值是解题的关键.

20.如图，已知平行四边形ABC。，点A/、N是边DC、BC中点，设A5=a，AD^b-

Cl）求向量MN；

（2）在图中求作向量MN在A3、AD方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的

向量）.

【答案】（1）MN=-a--b；（2）见解析

22

【解析】

【分析】（1）由四边形ABC。是平行四边形，可得又由点"、N是边DC、的中点，根据三角形

中位线的性质，即可求得向量MN；

（2）首先平移向量MN，然后利用平行四边形法则，即可求得答案.

【详解】解：（1）AB=«>AD=b>

DB=AB~AD=a-b，

:点/、N分别为DC、8c的中点,

：.MN=-DB=-a--b；

222

(2)作图：结论：AP、AQ是向量MN分别在A3、AD方向上的分向量.

Q

【点睛】本题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质.注意掌握平行四边

形法则与三角形法则的应用是解此题的关键.

21.已知：如图，在A3C中，AB=13,AC=8,cosZBAC=—,BD1AC,垂足为点。，E是BD

(2)求一的值.

CF

【答案】(1)NEAD正切值为|,详见解析

BF5

(2)—=-,详见解析

CF8

【解析】

【分析】(1)先根据三角函数值求的长，由勾股定理得的长，根据三角函数定义可得结论；

(2)作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CG=3x,RG=5x,分别表示5尸和尸C的长，代入可

得结论.

【小问1详解】

BDLAC,

/.ZADE=90°,

在RtAD5中，AB=13,cosZBAC=—,

AD=5,

由勾股定理得：BD7AB2-AD?=1132-52=12，

是的中点，

ED=6,

DE6

ZEAD的正切=——=-；

AD5

小问2详解】

过。作。GAR交3C于G,

CF8x8

【点睛】本题是考查了解直角三角形，平行线截线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握三角函数

的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，

或作垂线构建直角三角形.

DEBD

22.如图，在，ABC中，点£»、E分别在边A3、AC上，连接DE、BE,ZABE=ZAED,—=—.

BECE

(2)右S四边形DBCE=8,求BDE的面积.

【答案】(1)证明过程见详解.

(2)3OE的面积为2.

【解析】

【分析】(1)利用NABE=ZAED先判定△ADE^/\AEB,得到ZADE=ZAEB从而证明

nFRD

NBDE=NBEC,结合一=——，证明△BDEs/xcEB,得到ND3E=NC即可.

BECE

(2)利用ZADE^AABC及面积比值得到3DE=BC,通过ABDEsACE5得到^DE=BE，最

后利用AADES^AEB求解即可.

【小问1详解】

证明：ZABE=ZAED,ZA=ZA,

/\ADES/\AEB,

：.ZADE=ZAEB,

•：ZADE+ZBDE=ZAEB+/BEC=180°,

ZBDE=ZBEC,

rDEBD

又•---=----，

BECE

：.ABDEsMEB

ZAED=ZDBE=ZC,

/.DE//BC.

【小问2详解】

解：,/DE//BC,

：.AADE^AABC,

又：S&ADE=1，S四边形》BCE=8,

•,^AADE：S&ABC=1•9，

3DE-BC,

LBDEsMEB,

.BEDEBD

"BC-5E-CE)

/.6DE=BE，

又,/△ADESAAEB,

••^/\ADE：S^AEB=1：3,

:S^ADE=1，

•♦S4AEB=3,

•'•S^BDE=SABAE-^/\ADE=3-1=2.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，能够熟练的根据条件判定三角形相似，并利用相

似的性质得到线段的比值是解题关键.

23.如图，四边形A3CD是平行四边形，AELBC于E,于求证:

(1)ABEs^ADF；

(2)CDEF^ACAE.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）由A3CD是平行四边形，可知ZB=/D,由AE13C,AFLCD,可得

ZAEB=90°=ZAFD,进而可证.ABE^AADF；

4RAJ7AJ)AE

由ABCD是平行四边形,可知BC=AD,A5=CD，由：ABE^,ADF，可得——=——，即——=——

ADAFBCAF

ADBe

—=——，由/34£+/3=90。=/34石+/胡/，可得NB=NEAF,证明ABC^,EAF,则

AEAF

丝=£即8=£进而结论得证.

AEEFAEEF

【小问1详解】

证明：:ABCD是平行四边形,

ANB=ND,

:AELBC,AFLCD,

ZAEB^90°=ZAFD,

：..ABE^.ADF；

【小问2详解】

证明：：ABC。是平行四边形,

BC=AD?AB=CD,

ABE^^ADF,

ABAEABAE

—=—,即nn——=——,

ADAFBCAF

ABBC

AE-AR'

ZBAE+ZB=90°=ZBAE+ZEAF,

NB=NEAF,

ABC^：,EAF,

ABAC.”CDAC

——=——,即——=——，

AEEFAEEF

CDEF^ACAE.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质.解题的关键在于确定相似三角形的判

定条件.

24.己知：如图，ABC各顶点的坐标分别是A（0,—4）、3（—2,0）、C（4,0）.

（1）求/3AC的余切值；

（2）若点尸在了轴的正半轴，且△POC与A03相似，请直接写出点尸的坐标；

（3）已知点M在V轴上，如果—NQA5=NAC3,求点M的坐标.

【答案】（1）-

3

⑵（0,8）或（0,—8）

⑶1。闻或呜

【解析】

【分析】（1）由两点距离公式可求AO=4=CO,5O=2,BC^6,ZBCA=45°,由直角三角形的性质

可求的长，即可求解；

（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解;

（3）根据题意可得NOM3=NA4C,再由cot/84C=L,可得cotZBMO=」，即可求解.

33

【小问1详解】

解：•.•A（0,-4）、8（-2,0）、C（4,0）,

/.AO=4=09,50=2,

/.3C=6,ZBC4=45°,

•••AC=472，

如图1,过点B作3〃LAC于H,

ZBCA=ZCBH=45°,

BH=CH,

BC=41BH=6，

•••BH=3V2=HC，

AH=V2，

cotABAC=胆=与=-

BH3V23

【小问2详解】

解：•..点尸在y轴上，

ZPOC=ZAOB=90°,

当42=也时，则AOB^^COP

COPO

.4_2

••一=,

4P0

：.P0=2,

，点尸的坐标为（0,2）或（0,-2）；

当——=——时，则AOBPOC,

OPCO

•••4一_2,

0P4

，。尸=8,

点尸的坐标为（0,8）或（0,-8）；

综上所述：当点尸的坐标为（0,2）或（0,-2）或（0,8）或（0,-8）时,△POC与A03相似;

【小问3详解】

解：•/ZOMB-ZOAB=ZACB,ZACB=ZOAC,

：.ZOMB=ZOAB+NACB=ZOAB+ZOAC=ZBAC,

由（1）得：cotNBAC=—，

3

cotZBMO=—,

3

.MOMO_1

MO=—,

3

此时点M的坐标为（0,-或［.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，

直角三角形的性质是解题的关键.

25.已知：如图，在矩形A3CD中，A3=3,AD=4,E是对角线5。上一点（与3、。不重合），EF平分

交边于点AE,交AE于点G.

(1)当EFIAD时,

(2)当t.AFG与八BCD相似时，求NDEF的正切值;

(3)如果DEF的面积是E/G面积的2倍，求出;的长.

3

【答案】(1)EF=-

2

4

(2)tanZDEF=—1；

3

(3)BE=-

2

【解析】

AT)

【分析】(1)根据矩形的性质和角平分线的性