2023-2024学年青岛九年级上册数学期中复习试卷(含解析)

2023-2024学年青岛新版九年级上册数学期中复习试卷

选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.已知Rt^ABC中，ZC=90°,NA的正弦是（）

BCBCAB

A.C.D.

ABACBC

2.如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（）

A.①④B.①③C.②③D.②④

3.已知4ABC^ADEF，且相似比为2：1,若4ABC的面积是4cm2,则^DEF的面积是

)

A.Icm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2

4.已知如图AB是。0的直径，点C是圆上一点，连接CA,CO,BC,若NACO=28°，

贝IJNABC=()

A.56°B.72°C.28°D.62

5.如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小

方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知4ABC相似（）

6.直线1与半径为r的。0相交，且点0到直线1的距离为3,则r的取值范围是（）

A.r<3B.r=3C.r>3D.G3

7.如图，已知点A（4,0）,B（0,3）,直线1经过A、B两点，点C（x,y）为直线1

在第一象限的动点，作AAOC的外接圆。M,延长CM交。M于点Q,则△OCQ的面积

,525

8.如图，在ABCD中，点0是对角线BD上的一点，且寒《，连接CO并延长交AD于

UD2

点E,若△«）口的面积是2,则四边形ABOE的面积是（）

9.如图，已知。0的半径为7,弦AB的长为12,则圆心0到AB的距离为（)

C,2^7D.6

10.正三角形外接圆面积是641cm2,其内切圆面积是（）

A.32312B.8Jicm2C.9Jicm2D.16Jicm2

11.如图，在等边AABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且NADE=60°,BD=1,CE

2,

不，则AABC的面积为（）

60°E

B-D---------C

A.3B.9C.D.

42

12.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,点M在边AB上，线段MC绕点M顺时针旋转，

点C恰巧落在边AC上的点N处.如果MAN=a,AMM=b.那么a与b满足的关系式是

NCMB

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

13.如图，两条直线AC、DF被三条互相平行的直线5）、g所截，若AB=3,BC=4,

请完成以下填空.

14.若某人沿斜坡向上行走了13米，上升高度为5米，则此斜坡的坡度i

15.在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,直线1经过△ABC的内心0,过点C

作CDI1,垂足为D,连接AD,则AD的最小值是=.

16.四边形ABCD为圆。的内接四边形，已知/B0D=100°,则/BCD

17.在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是RtaABC,ZC=90

°,要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF

=4,GB=9,那么正方形铁皮的边长为.

三.解答题(共8小题，满分69分)

18.计算：2cos30°+tan45

19.如图，4ABC三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-1,1),C(-3,2).

(1)请在第四象限画出AA，B'C',使AA，B，C，与4ABC位似，且位似中心是点

0,相似比为2；

，BC=2,解这个直角三角形.

21.如图，已知在4ABC中，AD是4ABC的中线，ZDAC=/B,点E在边AD上，CE

CD.

AC=BD

(1)求证:AB-AD；

(2)求证：AC2=2AE・AD.

BDC

22.如图，I是AABC的内心，AI的延长线交AABC的外接圆于点D.

(1)求证：ZBAD=ZCBD；

(2)求证：BD=ID.

23.(8分)图1是放置在水平面上的可折叠式台灯；图2是其侧面示意图(台灯底座高度

忽略不计)，其中灯臂BC=40cm,灯罩CD=30cm,灯臂与底座构成的NABC=60

0.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现：当CD与水平线所成的角为23。

时，台灯光线效果最佳.问：此时点D处到桌面的距离是多少？(参考数据：sin23七

0.39cos23°心0.92tan23)心0.42盗取1.73).

24.如图，PA与。0相切于点A,过点A作ADL0P于点C,交。0于点D,连接PD交

直径AB的延长线于点E.

(1)求证：PD是。0的切线；

(2)若。0的半径为6,DC=4,求PD的长.

25.如图，已知AABCS/^ABC',相似比为k,点G在BC上.

(1)若点G在B'C'上，且♦，巴=k,求证：=上

BGAG

(2)在B'C'上求作点G',使7F%-=k.

作法一:作射线A'G',交边B'C'于G',使NB'A'G'=/BAG,点G'即为所求;

作法二分别在AB、AC上截取AE=A，B，,AF=A'C',连接EF交AG于D；然后再在B'C'

上截取B'G=ED，点G'即为所求；

对于这两种作法，你认为.

A.作法一正确；

B.作法二正确；

C.两种作法都正确；

D.两种作法都不正确.

B

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.解：如图，siiA=^r-,

故选：A.

2.解：第一个三角形的边长分别为：JIU，代，5；

第二个三角形的边长分别为：代，2衣，V17；

第三个三角形的边长分别为：2,V2-折；

第四个三角形的边长分别为：3,近,通；

对应边成比例的是①和③.

故选：B.

3.解：VAABC^ADEF,相似比为2：1,

^△ABC

/.=22=4,

SADEF

•^AABC—4cm2,

,',SADEF=1（cm2）,

故选：A.

4.解：VOA=0C,

・・・NA=NOCA=28°,

VAB是直径，

AZACB=90°,

ZABC=90°-28°=62°,

故选：D.

5.解：根据题意得：AC={1^+2^=&，ABBC=1,

BC：AB：AC=1：>J~2,:，

A、三边之比为1：旗:娓,选项A符合题意；

B、三边之比木：遍：3,选项B不符合题意；

C、三边之比为2：遥：JF，选项C不符合题意；

D、三边之比为遥：而：4,选项D不符合题意.

故选：A.

6.解：•.•直线1与半径为r的。0相交，且点0到直线1的距离为3,

r>3,

故选：C.

7.解：•・,点A(4,0),B(0,3),

.*.0A=4,0B=3,

在RiTXAOB中，AB=VOA2-K)B2=V42+32=5,

VCQ是。M的直径，

ZCOQ=90°,

ZBAO=NCQO,

tanZBAO=tanZCQO,

.B00C2

，，0A=-00=-I，

.*.0Q=540C,

o

AOCQ的面积-0Q

=—1oc•三4oc

23

=W2℃2,

3

.•.当OC最小时，AOCQ的面积最小，

.•.当OC±AB时，OC最小，

AAOB的面积=三止*0C=-j-OB・0A,

AAB・0C=0B・0A,

OB'OA12

AOCQ的面积的最小值="|"乂（£■）2

_96

~25，

故选：D.

8.解：,.•[^■=4，AC0D的面积是2,

OD2

/.△BOC的面积为4,

•四边形ABCD是平行四边形,

'AD〃BC，SAABD=SABCD=2+4=6,

ADOE^ABOC,

・■&喘）T

**^ADOE

・・・四边形ABOE的面积=6-1=5,

故选：C.

9.解：如图，连接OA,过。作OELAB于E.

VOE±AB,AB=12,ZOEA=90°,

AAE=EB=—AB=6,

2

在RtZXAOC中，由勾股定理得：0E=V0A2-AE2=V72-62=V^3>

即圆心0到AB的距离为丁亚，

10.解：如图，4ABC是等边三角形，0为4ABC的中心，OH±BC,

o

BH

;三角形外接圆面积是64Jicm2,

.*.0B=8,

VZOBH=30°,

.,.OH=-OB=4,

2

♦,•其内切圆面积是JtX42=16UC1112,

故选：D.

11.解：:△ABC是等边三角形，

AAB=BC,ZABC=60°=ZC,

ZADC=ZABC+ZBAD=ZADE+ZCDE,

：.ZBAD=ZCDE,且/ABC=ZC,

AABDS/\DCE,

,ABBD

,历而

ABJ

-3

ABC=AB=3,

过A作AE±BC于E,

23V3

•••AE=VAB-BE

2

1，•SAABC=^-BC*AE=^--

故选：c.

12.解：过M点作MH±AC于H点，如图,

•・•线段MC绕点M顺时针旋转，点C恰巧落在边AC上的点N处,

.\MN=MC,

VMH±CN,

/.NH=CH=^CN,ZAHM=90°,

ZACB=90°，

AMH〃BC,

,_AM=AH

,•而一而'

NC2AN

AM

BP'1+1,

MB1„NC

万NxC

..ANAM卜

-NC=a，MB=b1

.\b=2a+l,

即b-2a=1.

故选：D.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

13.解：(1)TAB=3,BC=4,

AAC=3+4=7,

.DE=AB=3.

,,DF-AC-7,

3

故答案为：y；

(2)连接AF,

VBG〃CF,

：.AABGs/XACF,

.BG=ABmBG.=l

一仃―AC'119—7'

解得：BG=^~,

VEG〃AD,

AAFEG^AFDA,

.GEFEGE4

，，AD-=FD，p1n5—=7，

解得:GE

ABE=BG+GE=平非U,

14.解：由勾股定理得，此人行走的水平距离为：7132-52=12'

则此斜坡的坡度i=5：12=1：2.4

故答案为：1：2.4

15.解：00与RtZkABC三边的切点分别为E、F、G,连接0E、OF、0G、0C,

V0O是RtZSABC内切圆，ZACB=90°,BC=3,AC=4,

.\CE=CF,BE=BG,AF=AG,

则四边形OECF是正方形，AB=V32+42=5'

设正方形OECF的边长为x,

贝BE=BG=3-x,AF=AG=4-x,

依题意得：3-x+4-x=5,

解得x=l,

•，-0C=5/I2+I2=V2>

VCD±1,即NCDO=90°,

取得最小值,

ACP=QP=-1,AP=AC-CP=y,OQ的半径为QD=亭

；.QA=VQP2+AP2=^^-

AD的最小值为AQ-QD='

故答案为：2圾.

16.解：如图,

VZBOD=100°,

ZBCD=yZBOD=50°；

同理，当点A是优弧上时，ZBCD=130°.

故答案为：130。或50°.

17.解：根据题意知，ZAFE=ZBDG=ZC=90

AZA=BDG（同角的余角相等）.

AAEF—△DBG,

•空工

"'DG-BG-

又：EF=DG,AF=4,GB=9,

,_£=EF

••丽―丁

AEF=6.

即正方形铁皮的边长为6.

故答案为：6.

三.解答题（共8小题，满分69分）

18.解：原式=2义当+1-向

=向+1-册

(2)AA?B'C'的面积=/x4X4=8.

20.解：VZA=45°，

AZB=45

AC=BC*taiB=2*tan45)=2,

•・・AB2=AC2+BC2=4+4=8,

・・・AB=2&,

21.(1)证明：VCD=CE,

ZCED=NEDC,

VZAEC+ZCED=180°,ZADB+ZEDC=180。,

：.ZAEC=ZADB,

ZDAC=NB,

...△ACE<^ABAD；

.AC=CE

,•而一宙

VBD=CD=CE,

.AC=BD

**AB-AD；

(2)ZDAC=NB,ZACD=NBCA,

AAACDs/^BCA,

.AC=CB

.\AC2=CD-CB,

VAACE<^ABAD,

.AE=CE

，，BD-AD，

.*.AE-AD=BD・CE,

.*.2AE-AD=2BD・CE=BC・CD,

.•・AC2=2AE・AD.

22.证明：（1）・・•点I是4ABC的内心,

ZBAD=NCAD,

VZCBD=NCAD,

ZBAD=NCBD；

(2)如图，连接BI,

・・,点I是AABC的内心，

ZBAD=NCAD,NABI=NCBI,

ZCBD=NCAD,

ZBAD=NCBD，

ZBID=ZABI+ZBAD,

AZABI=ZCBI,ZBAD=NCAD=ZCBD,

VZIBD=ZCBI+ZCBD,

・・・NBID=NIBD,

・・・ID=BD.

23.解：过D作DH_LAB于H,过C作CE_LAB于E,作CF_LDH于点F,则

HF=CE=BC・sin6(J=40X