2023-2024学年人教版九年级数学上册专项突破：概率相关（解析版）

专题22概率相关

考点1：事件的分类；考点2：概率计算；考点3：游戏公平性；考点4：概率与统计结合。

题型01事件的分类

«1.下列事件中的必然事件是（）

A.地球绕着太阳转

B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.天空出现三个太阳

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

解：地球绕着太阳转是必然事件，所以/符合题意；

射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以5不符合题意；

天空出现三个太阳是不可能事件，所以C不符合题意；

经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意.

答案：A.

2.（易错题）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）

A.点数的和为1B.点数的和为6

C.点数的和大于12D.点数的和小于13

解：4两枚骰子的点数的和为1,是不可能事件，故不符合题意；

两枚骰子的点数之和为6,是随机事件，故符合题意；

C、点数的和大于12,是不可能事件，故不符合题意；

。、点数的和小于13,是必然事件，故不符合题意；

答案：B.

3.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

解：/、水落石出，是必然事件，不符合题意；

8、水涨船高，是必然事件，不符合题意；

C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；

。、水中捞月，是不可能事件，符合题意;

答案：D.

4.下列事件为确定事件的有（）

（1）打开电视正在播动画片

（2）长、宽为"2,〃的矩形面积是加"

（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

（4）it是无理数

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：（1）打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意；

（2）长、宽为加，"的矩形面积是机"，是确定事件，符合题意；

（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；

（4）it是无理数，是确定事件，符合题意；

答案：B.

5.（易错题）下列说法正确的是（）

A.将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件

B.抛出的篮球会下落是随机事件

C.了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式

D.若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2,S乙2=2.5,则甲组数据较稳定

解：/、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故N不符合题意；

B.抛出的篮球会下落是必然事件，故2不符合题意；

C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意；

D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2,S乙2=2.5,则甲组数据较稳定，故。符合题意；

答案：D.

6.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为力该事件的概率为P下列说法正确的是（）

A.试验次数越多，/越大

B./与尸都可能发生变化

C.试验次数越多，/越接近于P

D.当试验次数很大时，了在尸附近摆动，并趋于稳定

解在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的

稳定性.

答案：D.

题型02概率计算

7.将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一

枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.—

解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋子是黑棋子的有10种结果，

102

所以其概率为五•=『

答案：D.

8.五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2

份，绿色3份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖（指针指向两个

扇形的交线时无效，需重新转动转盘）.转动转盘一次，获得一等奖的概率为（）

111

A.1B.—C.-D.—

o3Z

解：转盘共分成6等份，其中红色区域1份，即获得一等奖的区域是1份，

1

所以获得一等奖的概率是7

O

答案：B.

9.（易错题）“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”.春节是中华民族的传统节日，古人常用写''桃符”的方式来祈

福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节期间开

展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件.礼品

领取规则顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋

子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么

他们恰好领取同一类礼品的概率是（)

解：画树状图如下:

•••一共有9种等可能得情况，他们恰好领取同一类礼品的情况有3种，

31

...他们恰好领取同一类礼品的概率是：-=

答案：C.

10.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和〃个白球（仅有颜色不同）.若从中任意摸出一个球是红球的概

2

率为g，则n=9.

62

解：根据题意，7T-=7>

6+715

解得n=9,

经检验〃=9是方程的解.

.'.n=9.

答案：9.

11.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜

1

色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是了，则盒中棋子的总个数是12个.

q

1

解：由题意：3+了=12（个），

答案：12.

12.（易错题）一个袋中装有a个红球，10个黄球，6个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄

球的概率与不是黄球的概率相同，那么a与6的关系是a+b=10.

解：•••任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，

摸到黄球的概率为0.5,

，袋中球的总数为：10+0.5=20,

；・a+b+10=20,

・・〃+b=10,

答案：a+b=10.

尊琳题型03游戏公平性

13.（易错题）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”

游戏：A,8是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘，如果其

中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去

观看.这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

用列表法表示所有可能出现的结果如下:

就

nnnn红

篮蓝红

红红蓝红蓝红红

共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种,

31

••/（小颖）・6・2，

31

《（小亮）一6一2，

因此游戏是公平.

14.4张相同的卡片上分别写有数字0、1、-2、3,将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数

字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来.

1

（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为T；

-4-

（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲

获胜；否则，乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）

1

解：（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为不

1

答案：4-

（2）列表如下:

01-23

01-23

1-1-32

-2235

3-3-2-5

由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果,

61

所以甲获胜的概率=乙获胜的概率=运=5，

二此游戏公平.

15.（易错题）如图，A,3两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘/上的数字分别是-6,-1,

5,转盘B上的数字分别是6,-7,4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）.小聪和小明同时转动4

2两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.

1

（1）转动转盘，转盘/指针指向正数的概率是-;

-3-

（2）若同时转动两个转盘，转盘4指针所指的数字记为〃，转盘5指针所指的数字记为6,若。+6>0,则小聪

获胜；若Q+bVO,则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平.

解：（1）・・7带指针的转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是-6,-1,5,其中正数有1个,

一1

二•P（转动转盘，转盘4指针指向正数）=1

1

答案：］

（2）列表如下:

-6-15

60511

-7-13-8-2

4-239

一共有9种等可能的结果，其中。+6>0有4种可能的结果，。+6<0有4种等可能的结果,

4

:.P（小聪获胜）=三，

4

p（小明获胜）=5，

■:p（小聪获胜）=P（小明获胜），

...这个游戏公平.

16.（易错题）现有H8两个不透明的袋子，/袋的4个小球分别标有数字1,2,3,4；8袋的3个小球分别标有

数字1,2,3.（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同.）

1

（1）从，，8两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是_：_；

（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从/袋中随机摸出一个小球，乙从8袋中随机摸出一个小球，若甲、

乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是

否公平.

解：（1）画树状图如图:

共有12个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有3个,

31

两个小球上数字相同的概率是二=R

1Z4

1

答口本案・.—4，•

（2）这个规则对甲、乙两人是公平的.

画树状图如下:

开始

2

/TV.

123412341234

234534564567

由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为

偶数的也有6种,

._1

:甲获胜=尸乙获胜=5,

此游戏对双方是公平的.

题型04概率与统计结合

17.某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一

类活动）：A.音乐社团；氏体育社团；C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团.该校为了解学生对这

五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整

的统计图.

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了200名学生,补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

（2）扇形统计图中圆心角a=54度;

（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树

状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.

解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：50・25%=200（名），

的人数为：200-30-50-70-20=30（名），

答案：200,

补全条形统计图如下:

4人数

30

(2)扇形统计图中圆心角a=360°x200~54°*

答案：54；

（3）画树状图如下:

开始

甲乙

/N/K

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种,

21

..・恰好选中甲和乙两名同学的概率为运=%.

18.某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查.调查

问卷如下:

调查问卷

在下列课外活动中，你最喜欢的是（）（单选）

A.文学民科技C.艺术。.体育

填完后，请将问卷交给教务处.

根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图.

人数/人

（1）本次调查采用的调查方式为抽样调查（填写“普查”或“抽样调查”）;

（2）在这次调查中，抽取的学生一共有200人;扇形统计图中〃的值为22；

（3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生.若从这50名学生中随机抽取1名

2

学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是7；

（4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有350人.

解：（1）本次调查采用的调查方式为抽样调查；

答案：抽样调查；

44

（2）V70-=-35%=200（人），—x100%=22%,

...在这次调查中，抽取的学生一共有200人；扇形统计图中〃的值为22；

答案:200,22；

202

（3）恰好抽到女生的概率是而=号；

2

答案:.

（4）估计选择“文学”类课外活动的学生有1000X35%=350（人），

答案：350.

19.（易错题）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生答

题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如

图所小的两幅不完整的统计图.

学生答题成绩条形统计图

（1）这次抽样调查共抽取50人,条形统计图中的直=7；

（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数;

（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为N等和3等共有多少人；

（4）学校要从答题成绩为/等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知

识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率.

解：（1）由统计图可得，

这次抽样调查共抽取：16+32%=50（人），

%=50义14%=7,

答案：50,7；

（2）由（1）知，m=7,

等级为A的有：50-16-15-7=12（人），

补充完整的条形统计图如图所示，

15

C等所在扇形圆心角的度数为：360°X—=108°;

（3）1200X（24%+32%）

=1200X56%

=672（人7

即估计该校学生答题成绩为A等和B等共有672人;

（4）树状图如下所示：

开始

小小小小

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种,

21

・•・抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为运」.

学生答题成绩条形统计图

20.某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不

完整的统计图表（如图所示）.

学生平均每天阅读时长情况统计表

平均每天阅读时长工/加比人数

0cxW2020

20VxW40a

40VxW6025

60cxW80