2023届高考一轮复习：数列求和常用方法（解析版）

数列专题数列求和常用方法

一、公式法

1.等差数列｛斯｝的前n项和=初=皿+%1)”.

推导方法：倒序相加法.

几。1，(I~~1,

2.等比数列｛%｝的前n项和5,=|的(1—/)

\，q1.

〔i一q

例1已知等比数列｛为｝的公比g>l,m=2,且01，ai,的一8成等差数列.

(1)求出数列｛斯｝的通项公式；

(2)设数歹的前“项和为S”任意“GN*,S〃W机恒成立，求实数相的最小值.

解：(1)因为。1=2,且“1,〃2,避一8成等差数列,

所以2〃2=。1+〃3—8,即2〃14=〃1+〃应2—8,所以q?—2q—3—0,

所以q=3或9=-1,又q>l,所以q=3,所以诙=2・3"一WN*).

⑵因为数列｛斯｝是首项为2,公比为3的等比数列，

工％-(1

所以竿=公=/所以数歹心是首项为今公比为1的等比数列，所以a=a~7

-1-T3

因为任意WGN*,S.W而恒成立，所以启东3即实数m的最小值为东3

跟踪练习

1、已知等差数列｛斯｝的前一项和为S”a2=0,6/4=1,则S4=(B)

A.3B.1

C.2D.3

2、等差数列｛念｝的首项为1,公差不为0.若42,的，。6成等比数列，则｛斯｝的前6项的和

为(A)

A.—24B.13

C.3D.8

3、(2022•天津模拟)设1+2+2?+23H——F2n-1>128(n^N"),则〃的最小值为(C)

A.6B.7

C.8D.9

4、设数列｛斯｝(〃£N*)的各项均为正数,前几项和为S〃，Iog2〃〃+i=l+log2a〃，且的=4,则

S6=(D)

A.128B.65

C.64D.63

5、已知数列｛斯｝的前〃项和s=平+人3是常数，nEN*),若这个数列是等比数列，则6=

(A)

A.-1B.0

C.1D.4

6、已知等比数列｛°〃｝,ai=l,°4=w，且ala2+a2a3^-----则左的取值范围是(D)

「121「1,\

A.悖3jB.悖+叼

口2、「2,、

C.日,3；D.『十叼

7、(多选)已知数列｛斯｝满足m=l,且对任意的“WN*都有诙+1=见+出+%则下列说法中

正确的是(AC)

aJ/+D

cA•vtn2

B.数列旧4的前2020项的和为箫

LUZ1

C.数歹W9的前2020项的和为皤

D.数列D"｝的第50项为2550

8、设数列｛斯｝的前〃项和为S”若要为常数，则称数列｛③｝为“吉祥数列”.则下列数列

｛b｝为“吉祥数列”的有(BC)

A.bn=nB.方=(—1)〃5+1)

n

C.bn=4n-2D.bn=2

9、在数列｛斯｝中，2斯=如-1+斯+1(〃22),且。2=10，。5=-5.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

(2)求｛诙｝的前几项和5〃的最大值.

：(1)因为1+〃八+1(〃22),所以OnOn“八-

+d=10,

所以数列｛如｝为等差数列，设首项为公差为d,则一,「解得

［。5="1十4d=15,

621=15,

d=~5,

所以斯=防十(〃-V)d—15—5(几—1)=—5n+20.

1r/,〃(几—1)dr、(65~357

(2)由(1)可知Sn=na\+2―%=2层+"1~2)n=一2"十因为对称轴〃=],

所以当及=3或4时，S”取得最大值为S3=S4=30.

10、数列｛〃〃｝满足：〃i=l,点("，斯+斯+i)在函数＞=丘+1的图象上，其中左为常数，且k70.

(1)若的，。2，。4成等比数列，求女的值；

(2)当％=3时，求数列｛斯｝的前2〃项的和S2".

解：(1)由斯+〃"+1=版+1可得〃1+42=左+1,仅+。3=2左+1,。3+〃4=3左+1,

所以。2=鼠。3=%+1,。4=2%.

又见，。2,〃4成等比数列，.•・龙=。1。4,即—=2鼠

又ZW0,故左=2.

(2)%=3时，+斯+1=3几+1,.•.〃I+〃2=4,的+。4=10,…，〃2〃-1+。2〃=3(2"-1)+1,

4+6〃一20

S2«—4+10+…+6〃-2=2n=3n2-\-n.

11、已知等差数列｛念｝和等比数列｛为｝满足=。2+。4=10，b2b4=。5.

(1)求｛小｝的通项公式；

(2)求仇+%+/?5H---\-b2n-l-

解(1)设等差数列｛斯｝的公差为d.

因为。1=1,〃2+。4=10,

所以2。1+44=10,

解得d=2.

所以an=2n—l.

(2)设等比数列｛瓦｝的公比为q

因为b2b4=。5,

所以biq.biq3=9.

又加=1,所以==3.

所以岳i=Z?q2〃-2=3〃—1.

3n—l

2n-1

则bi+b3+b5~\---FZ?2H-I=1+3+3H——F3=—.

二、分组转化法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用

分组转化法，分别求和后再相加减.

例2(2022•北京模拟)已知公差不为0的等差数列｛诙｝的前几项和为S〃，S5=20,的是〃2，的

2

的等比中项，数列｛为｝满足对任意的九£N*,Sn+bn=2n.

(1)求数列｛斯｝，｛为｝的通项公式；

、\bn~n2,〃为偶数,

⑵设金=1斯，〃为奇数，求数列｛金｝的前2n项的和为“.

5〃i+104=20,

解：(1)设数列｛蠲｝的公差为d,由题意得,化简得

(0+2e2=(〃]+<7)(〃1+4<7),

〃i+2d=4,

qid=09

2

因为dWO,所以〃i=0,d=2,所以诙=2〃一2(〃£N*),Sn=n—n,〃£N*,

2

因为Sn+bn=2n,所以劣=川+〃(九£N*).

[bn—n2,〃为偶数,pi,〃为偶数，

(2)由(1)知，金=[平-I几为奇数,

〔2斯，〃为奇数

所以“〃=。1+。2+。3+。4HHC2〃-1+C2〃

=(2+4H——F2n)+(4°+42H---F42n-2)

n(2+2n)l-16n-n(n~\-1)+泰(16〃—1).

―2—+1-16

跟踪练习

1、已知数列｛〃〃｝的通项公式为诙=2〃+"，若数列｛斯｝的前〃项和为工，则S8=(A)

A.546B.582

C.510D.548

2、(2022•珠海模拟)已知等差数列｛斯｝中，〃3+〃5=〃4+7,〃io=19,则数列｛斯cos〃兀｝的前2020

项和为(D)

A.1009B.1010

C.2019D.2020

3、若/(x)+/U—x)=4,4“=式0)+圈+…+代工)+_/UX〃eN*),则数列｛诙｝的通项公式为

___斯=2(H+1).

4、(2022•衡水质检)已知各项都不相等的等差数列｛斯｝,“6=6,又的，。2,。4成等比数列.

⑴求数列｛公｝的通项公式；

n

(2)设bn=T+(-1)〃斯，求数列｛为｝的前2n项和Tin.

解(1):｛斯｝为各项都不相等的等差数列，

。6=6,且41,〃2,〃4成等比数列.

〃6=〃i+5d=6,

“W0,

解得41=1,d=1,

数列｛斯｝的通项公式a„=l+(n-1)Xl=n.

(2)由(1)知，》=2"+(—1)々，记数列｛儿｝的前2”项和为不”,

12n

则T2n=(2+Q?-i----卜2)+(—1+2—3+4------F2n).

记A=21+22H------122",B=-l+2-3+4------F2”，

e2(1—22")

则4:22"+」2,

11—2c：

B=(—1+2)+(—3+4)H——\-[~(2n-l)+2n]=n.

ln+i

故数列｛勾｝的前2〃项和T2n=A+B=2+n-2.

斯+1,〃为奇数,

5、已知数列｛〃〃｝满足。1=1,a+i=

n为+2,〃为偶数.

(1)记。=。2〃，写出仇，历，并求数列｛为｝的通项公式;

(2)求｛斯｝的前20项和.

斯+1,〃为奇数,

解：(1)因为bn=a2n,且。1=1,即+1=

斯+2,〃为偶数,

所以"=。2=〃1+1=2,

。2=〃4=〃3+1=〃2+2+1=5.

因为瓦=。2〃，所以儿+1=。2"+2=。2〃+1+1=。2〃+1+1=。2八+2+1=。2〃+3,

所以81+1—。〃=。2〃+3—。2〃=3,

所以数列｛为｝是以2为首项，3为公差的等差数列，为=2+3(〃-1)=3〃-1,几£2.

(an+l,〃为奇数，

(2)因为a+i=y%便.

n[斯+2,几为偶数,

所以上右N*时,。2攵=。2左一1+1=。2左一1+1,

即"2人=。2左一1+1,①

〃2k+1=〃24+2,②

。2女+2=。2什1+1=。2左+1+1,即〃2k+2=。2k+1+1,③

①+②得〃2左+1=〃2k-1+3,即〃2左+1—。2b4=3,

所以数列｛〃〃｝的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

②+③得。2左+2=。2k+3,即aik+2—a2k=3,

又〃2=2,所以数列｛斯｝的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.

所以数列｛〃〃｝的前20项和820=3+03+。5T-----卜处9)+32+04+。6T-----卜。20)=10+

10X910X9

X3+204X3=300.

22

6、6知等比数列｛斯｝的前〃项和为S〃,且S〃=2〃+a.

⑴求an;

(2)定义[x]为取整数I的个位数，如[1]=1,[32]=2,[143]=3,求M]+M]+[g]+…+

[oioo]的值.

fSi,n~~1,[2+Q,n1,

解：⑴斯TSLS“T,心22岛,心2,

;｛斯｝是等比数列，・・.2+a=2Li=a=—1,

，斯=2〃-I〃£N*.

(2)由。i]=l,[G]=2,[g]=4,[。4]=8,[的]=6,[%]=2,[s]=4,…,易知，从第二

项起是周期为4的周期数列，/.5IOO=1+24X(2+4+8+6)+2+4+8=495.

7、已知公比大于1的等比数列｛〃〃｝满足〃2+。4=20,方=8.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)记瓦为｛斯｝在区间(0,加(机£N*)中的项的个数，求数列｛狐｝的前100项和Sioo.

解(1)由于数列｛斯｝是公比大于1的等比数列，设首项为防，公比为外

Cl\Q~\~〃iq3=20,

依题意有

qiq2=8,

ci\=32,

解得I1=2,

(舍)或

q=29=2,

所以｛©,｝的通项公式为跖=2","GN*.

(2)由于21=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,

26=64,27=128,

所以方对应的区间为(0,1],则以=0;

历,优对应的区间分别为(0,2],(0,3],

则历=0=1,即有2个1；

4,

人b5,%,岳对应的区间分别为

(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],

贝[64=65=66=67=2,即有22个2；

仇，加，…,加5对应的区间分别为(0,8],(0,9],•••,(0,15],I)]bs=b9=—=bi5=3,

即有23个3；

616,bn,",弧对应的区间分别为(0,16],(0,17],(0,31],

则86="7=~=631=4,即有24个4;

加2,历3,…，生3对应的区间分别为(0,32],(0,33],…，(0,63],

则匕32=%3=•"=663=5,即有25个5；

00

bM,b65,仇对应的区间分别为(0,64],(0,65],(0,100],

则664=665=3=bioo=6,即有37个6.

所以Sioo=1X2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X37=480.

8、(2022.重庆质检)已知等差数列｛如｝的前“项和为S”恁=9,S5=25.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式及S“；

n

⑵设b„=(-l)s„,求数列｛d｝的前n项和Tn.

解(1)设数列｛%｝的公差为义

由$5=5。3=25得的=。1+24=5,

又。5=9=。1+44,

所以d=2,“1=1,

*w(l+2〃-1)、

所以一1,S“=2=n~.

(2)结合(1)知d=(—I)"??,当„为偶数时,

Tn=(bl+bi)+(63+匕4)+(65+匕6)H---H(bn-l+b„)

=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)4----H[-(M-1)2+H2]

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+(6—5)(6+5)H---F[«-(«-l)][«+(n-l)]

,,,w(n+1)

=1+2+3+…+〃=2-

当〃为奇数时，w—1为偶数，

,,2(7?—l)n、2n(7z+1)

7；=T„-i+(-ir-n=2-n=~\

L

综上可知，Tn^-一曾——.

9、已知在等差数列｛斯｝中,S"为其前〃项和,且的=5,9=49.

(1)求数列｛〃｝的通项公式；

(2)若与=2"”+即，数列出｝的前〃项和为且〃21000,求”的取值范围.

解⑴由等差数列性质知，&=7。4=49,

则=7,

故公差1=。4—。3=7—5=2,

故。"=痣+("—3)d=2w—1.

(2)由(1)知b„=22n^+2n-l,

7；=21+H-23+3H----F22"-1+2n-l

=21+23H---F22n-1+(1+3H---H2H-1)

21-22,,+1n(l+2«-l)

1-4+2

2?"+1,.2

易知7；单调递增,

且八=707<1000,76=2766>1000,

故G21000,解得〃26,〃£N*.

10、(2022•青岛模拟)从“①*=〃,+句；②$2=。3，。4=。1。2；③〃1=2,。4是〃2，〃8的等比

中项.”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答.

已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃，公差dWO,,〃£N*.

⑴求数列｛如｝的通项公式；

(2)若幻二下25一%,数列｛乩｝的前〃项和为跖，求跖.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解⑴选①：

2

Sn=n^n+^=n+^n,

令〃=1,得〃尸1+段，即的=2,

2

所以Sn=n+n.

2

当时，Sn-i=(n-l)+n-l,

当时，an=Sn—Sn-i=2n,又〃i=2,满足上式,

所以an=2n.

选②：

由S2=〃3,得。1+〃2=〃3,得“l=d,

又由〃4=。1。2,得+3d=Qi(〃i+t7),

因为dWO,则〃i=d=2,所以斯=2〃.

选③：

由〃4是〃2,〃8的等比中项，得曷=。2〃8,

贝!|(西+3^7)2=(〃]-\~d)(ai~\~7d),

因为。1=2,dWO,所以d=2,则斯=2几

(2)S〃=层+〃，儿=(2〃+1)2+2〃+1—(2〃)2—2〃

所以W"=3X22+2+3X24+22d---|-3X22,!+Z"，］'4中乂匕2)=4(4"-1)+2(2"

-l)=4"+1+2"+1-6.

11、(2022•株洲质检)由整数构成的等差数列｛为｝满足的=5,aicz2=2a4.

⑴求数列｛。“｝的通项公式；

(2)若数列｛b.｝的通项公式为d=2",将数列｛斯｝,｛d｝的所有项按照“当w为奇数时，为放

在前面；当w为偶数时，斯放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列｛金｝,从,

a\,ai,bi,b3,的，〃4,M…,求数列｛金｝的前(4〃+3)项和北肝3.

解(1)由题意，设数列｛诙｝的公差为d,

因为的=5,。1〃2=2〃4,

［。1+2"=5,

可得

+J)=2(〃i+3d),

整理得(5一2①(5—4=2(5+①，

即2/—17d+15=0,解得d=g■或d=l,

因为｛〃〃｝为整数数列，所以d=l,

又由〃i+2d=5,可得。i=3,

所以数列｛斯｝的通项公式为an=n+2.

(2)由⑴知,数列｛斯｝的通项公式为见=〃+2,又由数列｛为｝的通项公式为为=2〃，

根据题意,得新数列｛金｝,bl,ai,〃2,bl,Z?3,。3,。4,人4,…，

则。〃+3="+。1+42+^2+63+43+〃4+b4HH岳〃-1+〃2〃-1+42〃+62〃+人2〃+1+〃2〃+1+。2〃+2

=31+/?2+。3+64+…+岳〃+1)+(〃1+〃2+。3+。4+…+〃2〃+2)

=2X(；U*)+(3+2*)(2H2)=M+2-9〃+5.

1—ZZ

三、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前W项和.

⑵%+2)=5&肝^)；

]________411)

(3)(2H-1)(2H+1)=2<2«-l-2w+lj;

⑷3+■=4-亚

例3(2022・南京质检)已知数列｛诙｝的前n项和为Sn,斗=2为一1,数列｛勿｝是等差数列，

:=

目bi^ai，b(ici5>

(1)求数列｛为｝和｛历力的通项公式；

(2)若c“=3力，记数列｛金｝的前〃项和为乙，证明：3T„<1.

解：(1)由Sn=2dn—1,可得〃=1时，〃1=2〃1—1,解得41=1；

=

〃三2时，Sn-i2an-i~l,又S?=2〃〃-1,两式相减可得斯=S〃-S〃—i=2〃〃一1一2斯—1

+1,即有an=2an-i,

所以数列｛““｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以斯=2广1.

—bi

设等差数列｛瓦｝的公差为d,且=/?6=〃5=16,可得d=6_]=3,所以为=

1+3(〃-1)=3〃-2.

(2)证明：金=仇/+1=(3._2)(3〃+1)=3(3〃―2_3〃+1)'

所以兀=茎/盍+•••+让—而高)[，则3Tq.

跟踪练习

1,(2022•北京模拟)数列｛斯｝的通项公式为斯=厂，若｛%｝的前〃项和为9,则w

几十、I几十1

的值为(B)

A.576B.99

C.624D.625

3

2、已知数列｛斯｝满足。i=],an=a^-i+an-i(n^2,〃£N*).记数列｛若｝的前几项和为4，

数列，Vr1的前〃项和为8”则下列结论正确的是(ABD)

321

A.A,；=«„+!—TB.Bn=^~----

23an+i

c&_3CA„,32/1+1

C-B„~2a"D-4

1?022

3、在数列｛斯｝中，斯=〃(〃百),若｛斯｝的前w项和为了函，则项数〃=2022.

n2

4、已知数列｛(2〃—1；。〃+]j的前项和为Tn,若对任意的"GN*,不等式127；<a—<7恒成

立，则实数a的取值范围是(一8,-2]U[3,+8).

5、(2022•本溪模拟)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”且2s“=3a”一3(〃eN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

(2)若&„=------------，求数列｛"｝的前n项和Tn.

10g3«n-10g3^+l

解：(1)当〃=1时，2〃1=3为一3,解得m=3；

当时，2斯=25〃—2S〃-i=3a〃-3—3斯-1+3=3〃九一3〃〃-1,得斯=3a〃-1,

因为斯W0,所以一~=3,因为〃i=3,

斯—1

所以数列｛斯｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以即=3".

(2)因为log3^n=log33n=n所以为i二-I1，

9log3斯・log3斯+in(n+l)nn+1

所以数列｛儿｝的前〃项和乙=卜()+(｝—D+i｝—J+…+卜日力=1___

〃+1

n

n~\-1,

6、已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且S〃+i=4斯，〃£N*,防=1.

(1)在下列三个结论中选择一个进行证明，并求｛斯｝的通项公式；

①数列修是等差数列；

②数歹(]｛如+1—2诙｝是等比数列；

③数列｛S,+i—2S,｝是等比数列.

(2)记b,产受二,求数列｛仇｝的前n项和Tn.

注：如果选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分.

解：(1)选结论①.

因为S〃+i=4斯，。1=1,所以“2=3.

=

当〃22时，S〃=4斯一1,两式相减得，an+14tZn—4an-1,

所以貌=2竽一舞，即加一第=第一舞，G2,所以数列出是等差数列.

X2-=2,22-T=4-2=4,

所以冬=g+"(w—1)="士所以斯=(〃+1>2「2.

选结论②.

因为a+1=4诙，<21=1,所以<22=3.

当wN2时，Sn=4an-i,两式相减得，an+i=4an—4an-i,

所以a”+i2“”2(ci"2a"—I〉，”22,

因为。2—2的=1,所以｛诙+1—2斯｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以斯+1—2斯=2"一1,两边同时除以2"+i得，3号—第4

所以[首是以为首项，：为公差的等差数列，

所以翁1)="士所以〃.=(“+

选结论③.

因为，+1=4卬，41=1,所以52=4.

—

当几22时，Sn+l=4Sn—4Sn-l,所以Sn+12Sn=2(Sn-2Sn-1),

因为52—2S1=2,所以｛与+1-2Sj是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以S.+1—2S"=2",两边同时除以2"+1,得割一言=点

所以慨是以为首项，3为公差的等差数列，

n1

所以,=,+/〃_1)=胃,所以Sn=n-2^.

所以斯=苧=(〃+1>2"-2.

⑵由(1)得,S,=〃.2"-i,

圻”,S"+2(〃+2>2川(w+1)2f2G__1_-

nln441

所"4S„Sn+ln-2~\n+iy2-n^in+iyT-L«-2"(n+l)-2"_

所以T〃=4“251—(w+l>2"=4「("+1).2"

(n+l)-2,!-2,

7、给出以下三个条件：①4a3,3。4,2。5成等差数列；②VwGN*,点(“，S.)均在函数尸2，一“

的图象上，其中。为常数；③8=7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，

并求解.

设｛。“｝是一个公比为q(q>。，且qWl)的等比数列，且它的首项的=1,.

(1)求数列｛"“｝的通项公式；

(2)令"21og2a“+l(〃GN*),证明：数列，马父的前n项和Tn<^.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解：(1)选条件①：因为4a3,304.2。5成等差数列，所以6<74=4〃3+2<75,即6a3勺=443+2.3/,

解得4=1(舍)或4=2,所以a〃=2"-i.

选条件②：由题意得斗=2"—a,因为ai=Si=2—。=1,所以a=l,所以S〃=2"—1,

当〃22时,S.T=2"~1—1,则斯=S〃-ST=2"-I,当〃=1时，ai=l,符合上式，所

以斯=2"一I

选条件③：由$3=7,得。1+“2+的=7,即ai+a「q+a「q2=7,解得q=2或q=-3,

又因为q>0,所以4=2,所以诙=2"-1.

(2)证明：因为斯=2"一1,所以Q=2k>g22"-i+l=2〃-1,〃eN*,

则共3=(2〃—1；2叶1)=2Q«-l-2«+J，所以丁"=3

(1-鸿-红…十六-肃用(1-±)，

因为“eN*,所以1—旺7<1，所以3舄得证.

2〃十12

8、设｛斯｝是各项都为正数的单调递增数列，已知的=4,且④满足关系式：a„+1+a„=4+

2\lan+ian,〃£N*.

⑴求数列｛an｝的通项公式;

⑵若b=——r,求数列｛a｝的前n项和S.

nOn1n

解(1)因为斯+1+斯=4+2,〃〃+1斯，狂N*,

即(yjan+i—e)2=4,

又｛斯｝是各项为正数的单调递增数列，

所以。〃+12,

又“W=2,

所以｛、a｝是首项为2,公差为2的等差数列,

所以g^=2+2(〃-1)=2〃，所以斯=4层.

(2)儿一诙一1—4层一1一(2〃-1)(2〃+1)

-2(2〃-12九+1)，

9、设数列｛斯｝的前〃项和为当,且2S〃=3斯一1.

(1)求｛斯｝的通项公式；

3〃33

(2)若”/—求｛乩｝的前〃项和T〃，证明：o^T<^

(即十1)(斯+1十1)On4

⑴解因为2&=3诙-1,

所以2sl=2勾=3〃1—1,

即611=1.

当时，2S〃T=3斯—i—1,

=

则2Sn—2Sn-1=2an3an—3an-1,

整理得上~=3,

〃〃一1

则数列｛斯｝是以1为首项，3为公比的等比数列，故斯=lX3〃r=3〃-1.

(2)证明由(1)得为二(3〃一1+1)(3"+1)

_3(11)

=5义(3"-1+13"+1)

一3「「131+1)+(31+1—32+1)+(32+1—33+1)1|-G^1+I-F+

所以^n=2X；3°+1

3

所以Tn<^,

又因为T"为递增数列，

333

所以712Tl=1一五=五，

OO

s33

所以gWGq.

10、已知数列｛为｝满足的=4,且当九三2时，(n—l)an=

n(an-i+2n—2).

⑴求证：数列｛甘是等差数列；

(2)记C=，求数列｛々｝的前n项和Sn.

⑴证明当〃22时，

(及一1)〃"—九(诙―1+2〃-2),

将上式两边都除以〃(〃一1),

加斯斯-1+2〃—2

待'九n-l'

即如一四三=2,

nn~1

所以数歹«力是以岸=4为首项，2为公差的等差数列.

⑵解由⑴得与=4+2(〃-1)=2〃+2,

即。〃=2九(几+1),

缶272n+l1FJ_

所以“l，-—才/(〃+1)2」，

所以S“=,(1_&+8_/)+-+[i-^+17]｝

1-n2+2n

一器("+1)2」—4("+1产

n

11、(2022・合肥模拟)已知数列｛斯｝满足：oi=2,an+i=an+2.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)若"=log2。"'T，，=熹+熹+…求3”

解(1)由已知得斯+i-斯=2",

当"22时，。八=〃1+(〃2—。1)+(〃3—〃2)+…+(〃〃—斯-1)

=2+2+22H——

n-1

=2+,2七(1-2字)=2".

又〃1=2,也满足上式，故斯=2".

(2)由(1)可知，b〃=log2斯=",

1111

5

bnbn+in(n+l)nn+1

12、已知数列｛斯"｛b],｛金｝满足。i=Z?i=ci=l,c=a+\—a,金+1=丁%〃,J，N*.

nnnnt>n+2

(1)若｛/?〃｝为等比数列，公比乡>0,且加+岳=6①，求9的值及数列｛诙｝的通项公式；

(2)若｛瓦｝为等差数列，公差d>0,证明：ci+cz+c3HF金<1+[,几£N*.

(1)解由仇=1,6+历=6。3,且｛0〃｝为等比数列，得1+9=6/,解得9=；(负舍).

,,bn—2"一卜

金+]=〃？金=4金,.•・c〃=4"L

bn+2

•Cln4"I

1—4〃一1

・••斯=〃i+1+4+…+4"2=---+1

1—4

4〃一】+2

=~3~.

b

(2)证明由GI+I=L-(〃(九£N*),

bn+2

=

可得bn+2'Cn+\bn'Cn,

两边同乘瓦+1,

可付bn+l'bn+2'Cn+l—Z?〃乃〃+1•金,

•Z?iZ?2^i——/?2~=1H-

，数列｛儿儿+1C”｝是一个常数列，

且此常数为1+d,即瓦+1C“=1+(Z,

1+d1+dd

,•C"=b,b,+idb”b“+i

\ajbnbn+1=0+£fc-寸

又,；bi=l,d>0,.'.bn>0,

ci+c2H----Fc«

=1+3I

=(1+0&T+A抖…+~七

=0+以-氏

1

b.+L

。1+。2+•••+扇<1+[.

111

13、已知数列｛斯｝满足。1=5，=~,卜2(〃GN*).

乙斯+1斯

(1)求数列｛诙｝的通项公式;

(2)求证：届+后+质H----\~*

11

(1)解因为卜2(〃GN*),

1

11

所以=2(〃GN*),

1

因为。尸去所以?2,

是以首项为2,公差为2的等差数列，所以;=2+2(w—l)=2〃(weN*),

所以数列i

所以数列｛斯｝的通项公式是斯=/(〃£N*).

(2)证明依题意可知

1J_111

屈=4n2<4Hn—1

>1)，

所以〃?+晶+滔-|----卜原

故居+屋+尾H----

14、若S.是公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，且Si，S2,S4成等比数列，S=4.

①求数列｛斯｝的通项公式；

②设办=」一，T"是数列｛仇｝的前〃项和，求使得T”<器对所有"CN*都成立的最小正

整数m.

解①设｛斯｝的公差为d®WO),

则Si=ai,S2=24i+d,S4=4〃i+6d.

因为Si,S2,S4成等比数列,

所以+6<7)=(2〃i+e2.

所以2a\d=足.

因为dWO,所以d=2〃i.

又因为Sz=4,所以〃i=l,d—2,

所以an=2n—l.

33

==

②因为bn731-I-1\

anan+1(2n—1)(2〃十1)

所以〃=在1―§+,—m+…+，一罚

H1<2-

要使刀，V若对所有"GN*都成立,

w3

则有而21,即%》30.

因为机GN*,

所以的最小值为30.

四'错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数

列的前n项和即可用错位相减法求解.

例4(2022・江门模拟)已知数列｛斯｝满足：<21=1,an+i=2an+n-l.

(1)证明：数歹!J｛以十〃｝是等比数列并求数列｛斯｝的前"项和S“；

(2)设-=(2〃-1>(斯+〃),求数列也｝的前n项和Tn.

解：(1)因为a+\=2a-\-n—1,所以a”+i+(〃+l)=2a〃+2w,即口—JZ2,又

nnIn

ci\~F1=2,

所以数列｛〃〃+〃｝是以2为首项2为公比的等比数列，则〃〃+〃=2,2亡1=2匕故斯=2〃

-n9

n

I9।....2-(1—2)n(l+n)2+12n(l+n)

所以S“=(2+22H-----F2")-(1+2H------HM)=­？-2=-~2•

(2)由⑴得,6“=(2”―1>(为+0=(2力一1>2〃，

MO7；=2+3X22+5X234------(2〃-1>2",①

27；=2a+3X23+5X24H-------(2.-3)-2"+(2〃-1)2咽②

①一②得一5=2+2X22+2X23H-----F2X2"-(2M-1)-2,1+1=2X(2+22H-------F2")—2—

(2/i-l)-2n+1=-(2n-3)-2,,+1-6,

所以7；=(2n-3)-2«+1+6.

跟踪练习

1、(2022•广东模拟)在数列｛④｝中，ai=l,an+i=an-2anan+i.

(1)求｛诙｝的通项公式；

(2)若bn=J,求数列｛d｝的前n项和Sn.

an

角牛：(1)•Cl\1,。〃+1Cln»*dn09

-2^>—--=2,又：工=1,

Cln+1%+1%

・•・周是以1为首项，2为公差的等差数列，

——1+2(〃-1)=2〃-1,

an

1*

..a=~式wGN).

n2〃一1

(2)由(1)知：6"=(2〃-l)X3",

.•.5„=1X3+3X32+5X33+7X34H------k(2〃-1)X3",

3S„=1X32+3X33+5X34+7X35H-----l-(2»-l)X3"+l,

两式相减得一2S〃=3+2X32+2X33+2X34H----H2X3"-(2/i-l)X3"+1

=3+2(32+33+34H----H3")-(2H-1)X3"+1

32(l-3,i-1)

=3+2X(2n-l)X3,,+1

1-3

=3+3"+1-9-(2n-l)X3n+1

=2(lf)X3"+i—6,

；.5„=(n-l)X3,,+1+3.

2、已知数列｛a“｝的前"项和为S.,对任意正整数"，均有S〃+i=3S“一2〃+2成立，的=2.

(1)求证：数歹!]｛诙一1｝为等比数列，并求｛须｝的通项公式；

⑵设bn=na„,求数列｛加｝的前n项和T„.

解：(1)当〃22时，S,=3ST—2(〃-1)+2,又S“+i=3S,-2〃+2,

两式相减可得S"=3S〃-3sl—1—2,

即。0+1=3斯一2,

即有斯+1—1=3(。”-1),

令”=1,可得。1+。2=3的，解得42=2的=4,也符合斯+i—1=3(斯一1),

则数列｛斯一1｝是首项为1,公比为3的等比数列，

则诙-1=3'L1,故斯=1+3"一|.

(2)由(1)知b“=na”=n,3"I

则7；=(l+24------Fn)+(l-30+2-31+3-324------"S"**),

设M„=l-3°+2-31+3-324------卜卅一

3Af„=l-3+2-32+3-33H------

两式相减可得-2M”=1+3+3?+…+3"।—71-3"

1

化简可得跖!=色二詈±.

所以7〃=米〃+1)+业二

3、(2022・湖南模拟)某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一

个条件看不清(即下题中“已知”后面的内容看不清)，但在(1)的后面保留了一个“答案：N，

S3,S成等差数列”的记录，具体如下:记等比数列｛斯｝的前“项和为S”已知.

①判断Sl，S2,S3的关系；(答案：S1，S3,S2成等差数列)

-++*、n、、4

②若的一的=3,记瓦=五|斯],求证：仇+《T------—吗.

(1)请在本题条件的“已知”后面补充等比数列｛④｝的首项的的值或公比q的值(只补充

其中一个值)，并说明你的理由；

(2)利用(1)补充的条件，完成②的证明过程.

解：(1)条件的“已知”后面补充“公比“=—3”，理由如下：

由S1,S3,S2成等差数列，得S1+S2=2S3,

即〃1+(〃1+〃1夕)=2(〃1+〃14+〃1夕2).因为mW。，

故上式可化简为2«2+4=0,