2023-2024学年湖南省长沙市开福区某中学八年级（下）第三次月考数学试卷+答案解析

2023-2024学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（下）第三次月考

数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

2

A.x2+2x=0B.x[x—3)=nC.-弓―37—1D.y—x=4：

Xz

2.以下计算正确的是（)

A.2023°=0B.\/7+\/6=A/^13C.(—3a2)3=-27a3D.a74-ft3=a4

3.如图，在△ABC中,AB=AC，。为5C边的中点，下列结论不一定正确的是（)

A.AD1BC

B.ZB=ZC

（2./。平分/64。

D.AB=BC

4.已知线段CD是由线段平移得到的，点4（—1,4）的对应点为。（4,7）,则点3（—4,—1）的对应点。的

坐标为（）

A.(1,2)B.(2,9)D.(-9,-4)

5.关于一次函数？/=—22+3,下列结论正确的是（）

A.图象经过一、二、三象限B.y随x的增大而增大

3

c.当/<]时，y>0D.图象过点

6.方程/—化+2=0的根的情况是（）

A.只有一个实数根B,有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

7.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）

A.对角线互相平分B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.对角线互相垂直平分

8.对于抛物线沙=—（2+1）2+3,下列结论正确的是（）

A.开口向上B.对称轴为直线万=1

C.顶点坐标为（—1,3）D.当工〉1时，y随x的增大而增大

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9.某校初二年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进

行种植蔬菜活动.试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开

辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若

设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）

A.(15+2为(8+2)=110B.(15—27)(8—c)=H0

C.(15+工)(8+22)=110D.(15—乃(8—2口=110

10.在同一直角坐标系中，函数沙=加立十m和函数沙=m/+2,+2（m是常数，且?7i#0）的图象可能是（

\0\x\O^x

x

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.分解因式：«_4峭=.

12.已知关于x的一元二次方程/—67+2=0的一个根为—2,则加=.

13.抛物线沙=向下平移3个单位，就得到抛物线.

14.一次函数沙=-2x+1上有两个点/,B,且4（一2,m），B（l,n）,则加，n的大小关系为mn（

填或者

15.如图，在△48。中，NBA。=90°，是3C边上的高，E、尸分别是A

48、/C边的中点，若48=8，47=6，则△OEF的周长为.„\

16.已知二次函数）=/—2―2,则当—2W1时，y的最大值与最小值的差为.

三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

解方程：

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⑴/—2,-7=0；

（2）3C（2—1）=1—a;.

18.（本小题6分）

已知关于x的一元二次方程/-4a;-2m+5=0有两个实数根.

(1)求实数加的取值范围；

(2)若21,电是该方程的两个根，且满足立"2++加2=加？+6,求机的值.

19.(本小题6分)

一次函数沙=反+6的图象经过4(1,6),6(—3,—2)两点.

(1)求此一次函数的解析式；

(2)若一次函数与x轴交于。点，求△40B的面积.

20.(本小题8分)

某村2021年的年人均收入为20000元，2023年的年人均收入为24200元.

(1)求2021年到2023年该村年人均收入的年平均增长率；

(2)假设2024年该村年人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2024年该村的年人均收

入是多少元？

21.(本小题8分)

如图，正方形中，G为边上一点，3石，人8于£,于尸，连接DE.

(1)求证：AABE沿ADAF；

(2)若/F=l,△DFE的面积为3,求跖的长.

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22.(本小题9分)

如图，已知抛物线g=—/+fcc+c与x轴交于点力(-1,0)和点8(3,0),与了轴交于点C,连接2C交抛物

线的对称轴于点£,D是抛物线的顶点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)直接写出点C和点。的坐标;

(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S&WP=4S^COE,求P点坐标.

23.(本小题9分)

如图，直线01=3/+6分别交x轴、y轴于/,B两点,直线沙2=卜重+3(卜43)分别交x轴、y轴于C,D,

交朋于点E.

(1)直接写出坐标/：,B-.,D：

(2)如图1,若C点的坐标为(一6,0),求证：NBED=45°;

(3)如图2,在(2)的条件下，过点C关于y轴的对称点尸作x轴的垂线交直线统于点G,连接ERBG、

OE,求巨之空的值.

OE

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：/、/+27=0是一元二次方程，符合题意；

B、原方程可化为22—32=9是二元二次方程，不符合题意；

C、二一，=i是分式方程，不符合题意；

D、沙―«=4是二元二次方程，不符合题意.

故选：A.

根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一

元二次方程是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：2023°=1，选项/错误，不符合题意；

一与遍，不是同类二次根式，不能合并，选项2错误，不符合题意；

(-3a2)3=-27a6,选项C错误，不符合题意；

a7-a3=a4,选项。计算正确，符合题意；

故选：D.

逐项计算判断出正确选项即可.

本题考查了与零指数幕、同类二次根式、幕的乘方、同底数幕相除相关的计算，掌握相关计算方法是解题

关键.

3.【答案】D

【解析】解：在△48。中，AB^AC,

.•.△ABC是等腰三角形，

：./B=NC,

为3c边的中点，

：.AD1BC，ADABAC,

故选项/、B、C正确，48=3。不一定成立，

故选：D.

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由AB=4。知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可.

此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：•.•点4(—1,4)的对应点为。(4,7),

.•.平移规律为向右5个单位，向上3个单位，

,点B(—4,—1),

.•.点。的坐标为(L2).

故选：A.

根据点/、C的坐标确定出平移规律，再求出点。的坐标即可.

本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移

减.

5.【答案】C

【解析】解:/、由于一次函数4=—22+3中的k=—2<0,b=3>0,所以图象过一、二、四象限，

不符合题意；

B、由于一次函数"=一22+3中的卜=—2<0,所以y随x的增大而减小，不符合题意；

C、令y>。,则一22+3〉0,止匕时2<|,符合题意；

D、当立=1时，1.所以图象不过(1,一1),不符合题意；

故选：C.

解不等式求得不等式的解集即可判断C;根据一次函数的性质即可判断/、B；把点(1,-1)代入解析式即可

判断O.

本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与不等式的关系.熟练掌握

一次函数的性质是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：a=1,6=-1>c=2，

△=62-4ac=(-1)2-4x1x2=-7<0,

所以方程没有实数根.

故选D

把a=Lb=-l,©=2代入4=庐—4区进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况.

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本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0（a^0,a,"c为常数）的根的判别式△=y—4加.当△＞0时，方

程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当△＜（）时，方程没有实数根.

7.【答案】A

【解析】解：/、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；

8、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；

C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；

。、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误.

故选：A.

根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的对角线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，是基础题，熟记各图形的

性质是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：-：y=-（x+1）2+3,

故开口向下，选项N错误；

对称轴为直线2=—1,选项2错误；

顶点坐标为（-1,3）,选项C正确；

当立＞一1时，y随x的增大而减小，选项。错误.

故选C.

根据抛物线的图象和性质依次进行判断即可.

本题主要考查抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：•.•小道的宽为x米，

二.种植部分可合成长为（15-2乃米，宽为（8-/）米的矩形.

依题意得：（15—2,）（8—乃=110.

故选：B.

由小道的宽为x米，可得出种植部分可合成长为（15-2口米，宽为（8-2）米的矩形，根据种植面积为110

平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

10.【答案】D

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【解析】解：4由函数4=机立+机的图象可知m<0,即函数沙=m/+24+2开口方向朝下，对称轴

21

为/=-『=-—>0,则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故/选项错误；

2mm

2.由函数沙=6z+机的图象可知?n<0,即函数沙=+2/+2开口方向朝下，与图象不符，故8选项

错误；

C由函数y=m^+机的图象可知6〉0,即函数4=ma;2+22+2开口方向朝上，对称轴为

21

/=-：=-土<0,则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误；

2mm

D由函数?/=m2+机的图象可知m<0，即函数g=ni/+2c+2开口方向朝下，对称轴为

21

x=---=>0,则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故。选项正确.

2mm

故选：D.

根据各个选项先根据一次函数图象得到m的范围，再通过判断二次函数的开口方向和对称轴即可求解.

本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解

题.

11.【答案】［x+2y)^x-2y)

【解析】解:x2-4姬=(2+2/3-2y).

故答案为：(2+2妨(①—2妨.

直接利用平方差公式分解因式得出答案.

此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键.

12.【答案】-3

【解析】解：依题意，把2=—2代入方程工2—篇,+2=0

得4+2m+2=0,

解得m=-3.

故答案为：—3.

因为关于X的一元二次方程22—+2=0的一个根为—2,所以把2=—2代入方程川—加立+2=0得

4+2m+2=0,然后解关于加的方程即可.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

13.【答案】沙=；/—3

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【解析】解：抛物线/向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为“=—3.

故答案为：y=|a?2-3.

抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移

时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小.根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解.

本题考查了二次函数图象与几何变换，熟知抛物线的平移规律是解题关键.

14.【答案】>

【解析】解：•.•一次函数。=—2中+1中，k=—2<0,

，沙随工的增大而减小.

'.--2<1,

m>n.

故答案为：〉.

先根据题意判断出函数的增减性，再由两点横坐标的大小即可得出结论.

本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键.

15.【答案】12

【解析】解：在中，由勾股定理得：BC=\/AB1+AC2=\/82+62=10>

■：AD1BC，

，/403=乙4。。=90°，

■「E、尸分别是A8、/C边的中点，48=8，4C=6，BC=10,

：.DE=4,DF=^AC=3,EF=^BC=5,

ZSOEF的周长=EF+DE+DF=5+4：+3=12,

故答案为：12.

根据勾股定理求出BC,根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和。R根据三角形的中位线性质求出

EF,再求出答案即可.

本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键.

16.【答案】当

4

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【解析］解：g=/_k_2=(①_

二对称轴为直线1久顶点坐标I为力9，

.•.当—时，y的最小值为—|,最大值为(—2)2—(—2)—2=4,

.•.V的最大值与最小值的差为4—(—|)=?

先确定二次函数沙=x2-X-2的对称轴和顶点坐标，再确定y的最大值和最小值.

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴和顶点坐标的求法.

17.【答案】解：(1)/—2/—7=0,

移项，得“2—2/=7，

配方，得72—2力+1=7+1，

即(2-1)2=8,

：.x-l=±2\/2，

解得力1=1+2\/2，数=1—2\/2.

(2)3%(力—1)=1—x,

移项，得3/(7一1)+—一1)=0,

因式分解，得(力―1)(33+1)=0,

,\x—1=0或3/+1=0,

解得3=1,力2=一了

o

【解析】(1)利用配方法解方程即可；

(2)移项后，提取公因式分解因式解方程即可.

本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键.

18.【答案】解：(1)/—44—2m+5=0有两个实数根，

「.△=/—4ac》0>

(-4)2—4x1x(-2m+5)>0，

1

(2)•1-Xi,22是该方程的两个根，

/,力1+力2=4,力逐2=-2m+5，

'：力避2+力1+/2=+6，

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/.-2m+5+4=m2+6，

/.m=一3或1.

1

,/m>-,

【解析】(1)利用根的判别式△=庐-4QC〉0,即可求出答案；

(2)先将足力逐2+xi+X2=m2+6转化成—2m+5+4=m2+6，再运用根与系数的关系即可求出答案.

本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是

解题关键.

19.【答案】解：⑴把4(1,6),8(—3,—2)代入沙=版:+b得到(

1—6K十。=—2

解得｛b=e

所以直线AB的解析式为g=2z+4；

(2)把沙=0代入沙=+4得，2/+4=0,

解得x=-2,

,直线N5与x轴的交点C为(一2,0),

所以△力。的面积=2X2X6+]X2X2=8.

【解析】(1)利用待定系数法求直线N3的解析式；

(2)先求出直线AB与x轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到的面积.

本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设

y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方

程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

20.【答案】解：(1)设2021年到2023年该村年人均收入的年平均增长率为x,

由题意得：20000(1+/)2=24200,

解得：T1=0.1=10%,22=-2.1(不合题意，舍去)，

答：2021年到2023年该村年人均收入的年平均增长率为10%.

(2)24200x(1+10%)=26620(元),

答：2024年该村的年人均收入是26620元.

【解析】(1)设2021年到2023年该村年人均收入的年平均增长率为x,根据某村2021年的年人均收入为

20000元，2023年的年人均收入为24200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

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（2）由2024年该村的人均收入=2023年该村的人均收入x（1+年平均增长率），即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

21.【答案】（1）证明：•.•四边形/BCD是正方形，

：.AB=AD,ABAD=NBAE+ADAF=90°,

■：DFLAG>BELAG

：,ADAF+^ADF=90°，/BEA=AAFD=90°，

：.ABAE^/LADF,

在△43E和△OAF中，

[NBAE=NADF

</AEB=NDFA,

[AB=AD

.-.^ABE^/XDAF^AAS）；

（2）解：由（1）得AABE之ADAF（AAS）,

:,DF=AE,AF=BE=1，

设=则AE=OF=/+1,

由题思、—X27X（5?+l）=3,

/+4—6=0，

解得a;=2或一3（舍弃），

：.EF=2.

【解析】（1）由NBAE+NIZ4P=90°,ADAF+AADF=90°，推出/BAE=NADF,即可根据NNS

证明AABE咨ADAF；

⑵设EF=c,则AE=DF=4+1,根据△■DFE的面积为3,列出方程即可解决问题；

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，

学会利用参数构建方程，属于中考常考题型.

22.【答案】解:⑴将4（—1,0）、5（3,0）代入沙=—/+版+c,

[=解得：（b=V

1―9+3b+c=01c=3

二抛物线的解析式为沙=—/+2/+3.

⑵当立=0时，y=-x2+2rr+3=3,

.•.点C的坐标为（0,3）；

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•.■抛物线的解析式为沙=—/+2c+3,

.•・顶点。的坐标为(1,4).

(3)设点P的坐标为(m,n)(m>0,n>0),

131

S/\COE=-xlx3=->S4ABP=-x4n=2n,

S^ABP=4s△COE,

3

2n=4x-,

n=3>

—m2+2m+3=3>

解得：ma=0(不合题意，舍去)，1m2=2,

点尸的坐标为(2,3).

【解析】(1)根据点/、8的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)代入工=0求出了值，由此可得出点。的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出顶

点D的坐标；

(3)设点P的坐标为(科九)>0,n>0),根据三角形的面积公式结合S44BP=4SZXCOE,即可得出关于〃

的一元一次方程，解之即可得出〃值，再代入〃值求出加值，取其正值即可得出结论.

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函

数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定

系数法求出抛物线解析式；(2)利用二次函数性质求出顶点。的坐标；(3)根据三角形的面积公式结合

SAABP=4s△COE求出点尸的纵坐标.

23.【答案】(-2,0)(0,6)(0,3)

【解析】(1)解：对于见=32+6,

令见=32+6=0,

解得立=—2,

令2=0,则?/=6,

对于？/2=强+3,

令c=0,则？/=3,

.-.A(-2,0),3(0,6),0(0,3)；

故答案为：(一2,0)；(0,6)；(0,3)；

(2)证明：如图，过点3作直线交CD于点尸，使BH=AB,连接/〃，过点8作直线〃/7轴，

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过点/作直线4A/L交直线/于点M,过点〃作HNLI于点、N,

根据题意得为等腰直角三角形,

ZBAF=45°>

由点/、2的坐标知