2023-2024学年天津市四校联考高二年级下册7月期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年天津市四校联考高二下学期7月期末考试

数学试题

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={久|医一1|>2},B={x|(l-x)(4-x)>0},则4CiB=()

A.{x|l<x<3}B.{x|3<x<4]

C.{x\x<-1或x>4}D.{x\x<-1或x>3}

2.使不等式含<1成立的一个充分不必要的条件是()

A.xV—2B.-2<%<1C.-2<%<1D.-2<汽<1

3.已知具有线性相关关系的变量x,y,设其样本点为4(孙%)。=123,…,10),经验回归方程为y=2x+

a,若£昌々=40,£昌％=100,则。=()

A.20B.-17C.-170D.2

4.2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引

导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有()

A.102种B.105种C.210种D.288种

5.定义在R上的函数/(久)导函数为((久)，若对任意实数久，有/(久)>/(久)，且f(x)+2024为奇函数，则不

等式/(%)+2024靖<。的解集为()

A.(-OO,0)B.(0,+co)C.(-8,3)D.&+8)

6

6.设a=3°，8,b=90-,c=logne,则a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

7.已知f(久)=久+%g(久)=炉—3久+8—a,若对Vx】e[1,3],总三久2e[1,3],使/(与)=g(久2)成立，则

实数a的取值范围为()

A.[2,21]B.[|,21]C.[1,22]D.[11,22]

8.已知/(%)=sinx一%+1,则不等式/(租?)+/(3m+2)>2的解集为()

A.(-3,0)B.(-2,-1)

C.(-00,-3)U(0,+oo)D.(-00,-2)U(-1,+oo)

9.已知函数/(%)=In%一2%存在单调递减区间，则实数a的取值范围是()

A.(-8,一I)B.(一|,+8)C.［一|,+8)D.(l,+oo)

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.若命题使/+(a-1)久+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为.

11.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为三知道正确答案时，答对的概率为

100%,而不知道正确答案来时猜对的概率为/那么他答对题目的概率为

12.已知G+展开式中的常数项是540,则实数a的值为

13.已知数列是公差为2的等差数列，｛6„｝是公比为3的是等比数列，且的=瓦=3,设Sn=a%+i+

aaa

bn+2+bn+3,•,+bn+n'则?=

14.设科n为正数，且加+几=2,则喈+如善的最小值为

m+1n+2--------

15.若/(%)=\x2-ax\-\ax-2|+1有四个零点，则实数a的取值范围为

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不

超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互

独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为右两小时以上且不

超过三小时还车的概率分别为"两人租车时间都不会超过四小时.

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；

(3)设甲、乙两人所付的

租车费用之和为随机变量X,求X的分布列、均值E(X)、方差。(X)

17.(本小题12分)

如图，4BCD是边长为4的正方形，DELnABCD,AF//DE,且DE=32F=3.

(1)求证：BF〃平面DEC;

(2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；

(3)求点D到平面BEF的距离.

18.(本小题12分)

已知/'(x)=(x—l)ex+ax,g(x)=^x2+ax—1,其中a〉0

(1)令M>)=f(x)-g(x)

①求h(x)的单调区间和极小值；

(ii)若h(x)存在大于0的零点，且方程/i(x)=1-a恰有三个实根，求实数a的取值范围

G4-00),fg+%2)--％2)>2a

(2)若对V/CR,x2(0,2久恒成立，求实数的取值范围.

19.(本小题12分)

2,

已知数列｛an｝是递增的等差数列，｛6n｝是等比数列，尻=2aL2,求历=2口b3=2a4

(1)求数列｛厮｝和｛%｝的通项公式；

2

(2)记数列｛(一1产碌｝的前n项和为Sn,若小加>Sn对VzieN*恒成立，求实数小的取值范围；

(3)设”=；,求£乜10的值•

U1U2U3un+l

20.(本小题12分)

已知/(%)=41n(ax+力)———i.

(1)若y=/(%)在(0,/(0))处的切线方程为8%-y-1=0,求实数a,b的值；

(2)当b=0时，若久(/(%)+%2+1)+2x(a-4)+a>0对任意％G(0,+8)恒成立，求实数a的取值范围;

(3)若/(%)有零点，求证：a2+b2>|.

答案解析

1.C

【解析】由—1|>2,得久—1>2或久—1<—2,即久>3或％<—1,

故/={x\x>3或久<—1},

(1—%)(4—%)>0,即(汽—1)(%—4)>0,解得久>4或久<1,

故8={x\x>4或％<1},

则/nB={x\x<—1或%>4].

故选：C.

2.B

【解析】由等价于空—1W0,即等W0,解得—

X—1x—lX—1

因为(-2,1)真包含于［-2,1),

所以不等式”1<1成立的一个充分不必要的条件是-2<x<1.

故选：B.

3.D

【解析】由于£巴阳=40,鹉%=100,

所以h=4,y=10.

将(4,10)代入y=2x+a,

即2X4+a=10,解得：a=2.

故选：D.

4.C

【解析】先从8名志愿者中任意选出3名，

分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有田种，

其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有废洛种,

故符合条件的选法共有呢-玛掰=210种.

故选：C

5.B

【解析】设gQ)=号,则g'(x)=

对任意实数x,有/0)>「(%)，

所以g'(x)<0,则g(x)在R上单调递减.

因为/(久)+2024为奇函数，且/(久)的定义域为R,

所以/(。)+2024=0,所以/(0)=—2024,所以g(0)=—2024.

因为靖>0,所以求不等式/0)+2024〃<0的解集，

即求得<-2024的解集，即求g。)<g(0)的解集，

因为9(%)在R上单调递减，所以g(x)<g(0)的解集为％>0,

所以不等式/(久)+2024〃<0的解集为(0,+8).

故选：B

构造函数9(©=得，根据题意，可得其单调性，从而求解不等式.

6.D

【解析】1Ve<冗，所以0Vlogne<1,即ce(0,1),

a=30-8>3°=1,b=90-6>9°=1,且力=906=312>308=a,

所以力>a>l>c>0,即b>a>c.

故选：D

7.A

【解析】由f(x)=x+p得/3=1—:=要=(x+2学一2),

所以当1Wx<2时，f(x)<0,当2<xW3时，f(x)>0,

所以/(久)在［1,2)上递减，在(2,3］上递增，

所以/O)min=/(2)=4,

因为f(l)=5/(3)=3+(=.*所以/(X)max=5,

所以〃久)的值域为［4,5］,

由g(%)=%3—3%+8—a,得g'(x)=3x2—3=3(%+1)(%—1),

当％e［1,3］时，gf(x)>0,所以g(%)在［1,3］上递增,

所以gQ)min=g(l)=l—3+8-a=6-a,5(%)max=g(3)=27-9+8-a=26-a,

所以g(x)的值域为[6-a,26-a],

因为对G[1,3],总三&e[1,3]，使f(xi)=g(%2)成立，

所以[4,5]£[6—ci,26—a],

所以[葭。14解得2WaW21.

126—a>5

故选：A

8.B

【解析】令g(%)=f(x)-1=cosx-x,

g'(%)=cosx—1<0,

所以函数g(x)在R上单调递减，

因为g(一%)=—sinx+%=_g(%),

所以函数g(%)为奇函数，

由/(血2)+f(3m4-2)>2,得fXm?)—1>—/(3m+2)+1=—[/(3m+2)—1],

即。(病)>—g(3m+2)=g(—3zn—2),

所以血2<-3m-2,解得-2VmV-1,

所以不等式/(租2)+/(3m+2)>2的解集为(一2,—1).

故选：B.

9.B

【解析】43)=工_弧_2=上笔二纥x>0,

由题意可知，存在x>0,使((%)<0,即3—2a/一6久<0,

则2a>号,x>0,2a>(空)，

x1%'min

3-6%/IV

---5——3I1I-3,汽>0

X2\X)

当x=1时，3G-1)2_3取得最小值一3,

Q

即2a>—3,得a>——.

故选：B

10.—1Wa43

【解析】解：命题'勺％GR,使/+(a—l)x+1<0”的否定是：“WxeR,使/+(a-l)x+1>0”

即：△=(a—l)?—440,

—1<a<3

故答案是一1<a<3

11.景或0.8125

16

【解析】依题意，他答对题目的概率P=卜100%+(1-弓卜；=*

4\4/4Io

故答案为：

lo

12.+6

【解析】由题意得，(1+a/)6的展开式的通项为般+1=4g)6^(a/)k=MC"3k-6,

令3k—6=0,解得，k=2,

所以C+a/)6的展开式中的常数项为口2量=15a2=540,

解得Q=±6.

故答案为：±6.

13.2-3n+n+2

n

【解析】由题意，an=2n+lfbn=3,

aaaa

则Sn=bn+l+bn+2+bn+3…+bn+n

=2(Z)n+1)+1+2(bn+2)+1+2(bn+3)+1+…+2(Z)n+?i)+1

,,,

=271,bn+2(14-2+3++n)+n

(1+n)n

=2展3n+2•-~——+n

=2n-3n+n2+2n,

所以包=2n芋+M+2"=2・+n+2.

nn

故答案为：2-3n+n+2.

14.当或5.8

2m+33n+7_2(m+l)+l3(n+2)+l_-11

【解析】由题意,

m+lIn+2=m+r-1iIn+2m+-lIn+2

因为772+71=2,

所以zn+l+n+2=5,

1

所以g(m+l+n+2)=l,

所以焉+焉=⑺+1+71+2),喘1++)=春,(黑+需+2)

■(需)+214

当且仅当需=需,即6=5,n=，时，等号成立，

所以5+4r+W25+g=?

m+ln+255

2m+3,3n+7、29

所以•

m+l+山产至，

2m+3

即+笔的最小值为总

m+ln+25

故答案为：y.

15.(—8,—V3)u(V-3,+°°)

【解析】由/(%)=0,得|%2_ax\-|ax-2|+1=0,

即|%2—ax|=\ax—2|-1,

令g(X)=I——ax\,ft(%)=\ax—2|-1,

则函数/(%)有四个零点等价于函数g(%)与以%)的图象有四个交点，

若。=0,贝疗。)=/一1,由/(%)=o,解得％=±i,仅有两个零点，不满足题意；

若Q>0,由g(%)=0,解得久=0或％=a,

1Q

由九(%)=0,解得％=-或x=

、'aa

0<—<Cl

a

当<0<-<a,即a>时，

0<-<a

、a

如图①所示，在(-8,0］上，由于函数g(%)的增长速度大于函数Zi(%)的增长速度，故有且仅有一个交点;

在(0,a)上，函数g(x)与函数Zi(%)有两个交点；

同理，在［a,+8)上，有且仅有一个交点，

所以函数9(%)与以%)的图象有四个交点，函数/(%)有四个零点，满足题意；

0<—<d

a

当<0<-<a,即，^<a<V3时，

a

->a

如图②所示，在(-8,0］上，由于函数g。)的增长速度大于函数九(%)的增长速度,故有且仅有一个父点;

在(0,a)上，函数g(%)与函数h(%)有一个交点；

同理，在口+8)上，没有交点，

所以函数9(%)与攸%)的图象有两个交点，函数/(%)有两个零点，不满足题意；

0<-<(2

a

当<2之。，即时，

a

a

如图③所示，在(-8,0］上，由于函数g(%)的增长速度大于函数九(%)的增长速度,故有且仅有一个交点;

在(0,a)上，函数g(%)与函数h(%)有一个交点；

同理，在［a,+8)上，没有交点，

所以函数9(%)与以%)的图象有两个交点，函数/(%)有两个零点，不满足题意；

f->a

a

当<22a,即0<aW1时，

a

->a

当x€(0,a)时，—2|+1=0可化为

—(x2—ax')+(ax—2)+1=0,即/—2ax+1=0,

因为判别式/=4a2-4<0,所以--2ax+l=0无解

所以函数g(x)与h(x)的图象在(0,a)上没有交点，

如图④所示，在(-8,0］上，由于函数g(x)的增长速度大于函数h(x)的增长速度,故有且仅有一个交点;

在(0,a)上，函数g(x)与函数h(x)没有交点；

同理，在［a,+oo)上，有且仅有一个交点，

所以函数g(©与h(x)的图象有两个交点，函数f(x)有两个零点，不满足题意；

1

<-<o

a

2

当

时

<-<o即a<

a

3

<-<O

a

如图⑤所示，在(-8,可上，由于函数9(%)的增长速度大于函数九(乃的增长速度,故有且仅有一个交点;

在(凡0)上，函数9(%)与函数九(%)有两个交点；

同理，在［0,+8)上，有且仅有一个交点，

所以函数0(%)与仗%)的图象有四个交点，函数/(%)有四个零点，满足题意；

a<-<0

a

当,a<2<0,即一V^Wa<—时，

a

［-<a

如图⑥所示，在(-8,a］上，由于函数gQ)的增长速度大于函数/i(x)的增长速度，故没有交点；

在(a,0)上，函数g(x)与函数九(久)有且仅有一个交点；

同理，在［0,+8)上，有且仅有一个交点，

所以函数g(x)与h(x)的图象有两个交点，函数/(久)有两个零点，不满足题意；

a<-<0

a

当,24a9即一<a<—1时，

a

［-<a

如图⑦所示，在(-8,可上，由于函数0(%)的增长速度大于函数以乃的增长速度，故没有交点；

在(见0)上，函数g(%)与函数/i(%)有且仅有一个交点；

同理，在。+8)上，有且仅有一个交点，

所以函数9(%)与以%)的图象有两个交点，函数/(%)有两个零点，不满足题意；

(~<a

a

当<2<a,即一1<a<0时，

a

［-<a

当x€(a,0)时，—ax|—|ax—2|+1=0可化为

—(x2—ax)+(ax—2)+1=0,即久2—2ax+1=0,

因为判别式/=4a2-4<0,即久2-2ax+l=0无解

所以函数g(x)与％(久)的图象在(a,0)上没有交点，

如图⑧所示，在(-8,©上，由于函数g。)的增长速度大于函数h(x)的增长速度，故有且仅有一个交点;

在(a,0)上，函数g(x)与函数h(%)没有交点；

同理，在［0,+8)上，有且仅有一个交点，

所以函数g(x)与h(x)的图象有两个交点，函数八》)有两个零点，不满足题意；

综上所述，实数a的取值范围为(-8,-门)u(9,+8).

故答案为：(―8,一回0心,+8).

16.解：(1)

由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，3

设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件4,贝1JP(4)++=3

42442416

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为会；

16

(2)

若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元，

则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，

或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况,

甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为]x|+|xi=1；

4ZZ44

(3)

X的可能取值为0,2,4,6,8,

111113

p(x=o)=g,p(x=2)=4X[+2X4=m，

XV11,11.113

P(X=4)=-X-+-X-+-X5=-1

d八11,113c、111

P(X=6)=^x-+-x-=->p^=8)=-x-=-,

分布列如下表：

X02468

131

P33

8168168

数学期望E(X)=0xi+2x^+4x^+6x^+8xi=4,

oloOIOO

D(X)==(0-4)2x1+(2—4)2X。+(4-4)2X|+(6—4)2x+(8—4)2x(=学.

oloolooZ

【解析】(1)首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租车费

用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求解即

可；

(2)根据题意分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超

过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，求解即可；

(3)列出随机变量X的分布列，再利用期望、方差公式求值.

17.1?：(1)根据题意得：以。为原点建立如图所示的空间直角坐

标系，贝UB(4,4,0),F(4,0,1)，

所以箫=(0,-4,1),

易知平面DEC的一个法向量为万？=(4,0,0),

显然瓦？•丽=0,又BFC平面DEC,

所以BF〃平面DEC；

(2)•••£(0,0,3),C(0,4,0),

贝区=(-4,一4,3)面=(-4,0,0),

设平面BEC与平面BEF的一个法向量分别为m=(a,b,c),n=(x,y,z),

即右(m-BE=0^f4a+4b-3c=0K-BE=o(4x+4y-3z=0

'^m-BC=014a=0U-BF=0Uy-z=0

取匕=3,y=l,则a=0,c=4,x=2,z=4,即布=(0,3,4),n=(2,1,4),

设平面BEC与平面BEF的夹角为6,则cos0=|普=%=%

1|m|-|n|15721105

(3)由(2)得平面BEF的一个法向量为n=(2,1,4),

又加=(0,0,3),所以点。到平面BEF的距离d=喘曰=得=学•

【解析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可.

18.解:(1)

(D根据题意,

-1)=(%-l)ex—+1,

当a<0时，h(%)在(一8,0)上单调递减，(0,+8)上单调递增，

当0<aV1时,九(%)在(-81na)上单调递增，(Ina,0)上单调递减，(0,+8)上单调递增,

当时，/%)在R上为增函数，

当a>1时，h(%)在(一8,0)单调递增，(0,Ina)上单调递减，(Ina,+8)上单调递增；

(五)因为方程九(%)=1-a恰有三个实根，

由(1)可知。<0和a=1两种情况显然不符合题意，

当0<a<l时，/i(0)=-1+1=0,而久6(0,+8)时，/i(x)单调递增，

无大于0的零点，不符合题意，

所以只能a>1,此时1—a<0,

由于九(%)在(0,Ina)单调递减，/i(0)=0,在(—8,0)单调递增，/i(lna)=(Ina—l)a—"712a+i,

h(%)在(Ina,+8)上单调递增，/i(l+a)=ae1+a—(1+a)2+1=^(2e1+a—(1+a)2)+1,

令m(%)=2e1+x—(1+x)2,(%>0),则=2e1+x—2(1+%),

令u(%)=2e1+x-2(1+x),(%>0),则i/(%)=2(e1+x—1)>0,

所以u(%)在(0,+8)单调递增，则u(x)>v(0)=2e—2>0,即M(%)>0,

所以zn(X)在(0,+8)单调递增，则zn(%)>m(0)=2e—1>0,

所以/i(l+a)>0,即Zi(%)在(Ina,+8)从最小值h(lna)增大到大于0,

所以方程以%)=1-a恰有三个实根，只需九(Ina)<1-a,

即(Ina—l)a—^ln2a+1<1—a,化简为alnaQlna-1)>0,

而a>1,Ina>0,贝bIna—1>0,则a>e2,

故实数a的取值范围为(M,+8)；

(2)

由题意可得原不等式可化为+%2)一-%2)>(%1+%2)-(%1-％2)，

故不等式f(%1+犯)一+%2)>/(%1-久2)—(%1—久2)在R上恒成立.

设尸(%)=/(X)-X,则上式等价于尸(%1+%2)>-％2)，

要使产(%1+%2)>一％2)对任意V%1eR,%2E(。，+8)恒成立，

由％1+不>-12，只需函数F(%)=(%-l)ex+ax-%在7?上单调递增，

Fz(x)=xex+a-1>0在R上恒成立.

即a之1—xex,(x6R)恒成立,

令G(%)=1—xex,(%G/?),则G'(%)=—(1+x)ex,

当%e(一8,-1)时,G'(%)>0,则G(%)单调递增，

当％E(-1,+8)时，Gz(x)<0,则G(%)单调递减，

11

所以GQQmax=G(-1)=1+工,故aNl+丁

则实数a的取值范围为［1+；，+8).

【解析】(l)(i)h(%)=(%-1)靖一£/+1,求出导函数h'(%),然后分Q<0,0<a<1,a=1,a>1

四种情况分别讨论即可求解；5)由(1)可知只能。>1,此时通过分析以%)的极值，可得方程

h(%)=恰有三个实根，只需/i(lna)<l—a,求解即可；

(2)将不等式变形为/(%i+久2)+(%1+%2)>/Ui-%2)+(%1-%2)，设)(%)=f(X)-X,则问题等价于

x

F(%i+%2)>方(%1—%2)对任意%IER,%2W(0,+8)恒成立，故只需函数F(%)=(%—l)e+ax—/在R上

单调递增，即a21-X短,(％€R)恒成立，从而求出。的最小值.

19.解：(1)

解：根据题意设数列的公差为d(d>0),数列｛幻｝的公比为q,

n-1

因为瓦=2al=2,所以a九=1+(n—l)d,bn=2-q,

因为力2=2a2，匕3=2a4，

所叱解得｛渭或忆卜舍去)，

所以a”-n,bn=2"；

(2)

解：由⑴知(-1严吗=

所以s2n=-I2+22—32+42-----(2n-I)2+(2n)2

=(22-I2)+(42-32)+…+[(2n)2-(2n-l)2]

=(2+1)x(2—1)+(4+3)x(4-3)+,,,+(2九+2九-1)[2n—(2n-1)]

=1+2+3+4+…+(2n-1)+2n

=滔5=21+九，

n2

由mb九>S2n,得m•2>2n+n,

所以小>等*对VnGN*恒成立，

2222

人」2n+nmii,,2(n+l)+n+l2n+n—2n+3n+3

令dn=下l，则W+i~dn=---产-------/一=—严一

当九二1时，d—di=1>0,当九=2时，d—d=—^7—=^>0,

232OO

、[/_on-L,7_—18+9+3_3„

九—30^*，(1A1—do——io—­—77oV0，

所以由二次函数的性质可知当n23时，dn+1<dn,

所以63=三罗=4最大，

oZ

所以zn>I；

(3)

(1)知“的02a3…。九+1Ix2x3x--xn(n-1)(n+1)!

_(n+1)—1_J__]

(n+1)!n!(n+l)I，

所以=6得)+仁一+-+[3—&%]

1

—1---------------

0+1)!

【解析】(1)设数列｛aj的公差为d(d>0),数列｛%｝的公比为q，然后根据已知条件列方程组可求出d,q,

从而可求出数列｛a"和｛%｝的通项公式；

n22

(2)由(1)(一1严碌=(-l)n,利用并项求和法可求出S2n=2n+n,则将问题转化为m>失*对Vne

N*恒成立，令4=等*,求出职的最大值即可；

(3)由(1)可得“='-还片，然后利用裂项相消法可求得结果.

20.解：(1)

由/'(x)=41n(ax+h)—x2—1,知1(x)=匕—2x.

由已知可得，y=/(%)在(0,/(0))处的切线8x—y—1=0经过(0,—1),且斜率为8.

故有㈱代入函数表达式知俄方1=—1,从而｛叱？

(U)=8