2022-2024年高考数学试题分类汇编：数列（九大考点）

三年真题

10数列

富铝若磺。麴躯僧

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

2023年全国I卷、2024年全国II卷

2023年新课标全国I卷数学真题

2022年高考全国乙卷数学（文）真题

考点1:等差数列基本2023年高考全国甲卷数学（文）真题

量运算2023年高考全国乙卷数学（理）真题

2024年高考全国甲卷数学（文）真题

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

2023年高考全国乙卷数学（文）真题

2023年全国II卷、2023年天津卷

2023年高考全国甲卷数学（理）真题

考点2：等比数列基本

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

量运算

2023年高考全国甲卷数学（文）真题

2023年高考全国乙卷数学（理）真题

2024年北京高考数学真题

考点3：数列的实际应2023年北京高考数学真题

用2022年新高考全国II卷数学真题高考对数列的考查相对稳定，考

2022年高考全国乙卷数学（理）真题查内容、频率、题型、难度均变

化不大.等差数列、等比数列以

考点4：数列的最值问2022年高考全国甲卷数学（理）真题

选填题的形式为主，数列通项问

题2022年新高考北京数学高考真题

题与求和问题以解答题的形式为

2024年高考全国甲卷数学（文）真题主，偶尔出现在选择填空题当中，

考点5：数列的递推问2024年新课标全国II卷数学真题常结合函数、不等式综合考查.

题（蛛网图问题）2022年新高考浙江数学高考真题

2023年北京高考数学真题

2022年新高考浙江数学高考真题

考点6：等差数列与等

2022年新高考全国II卷数学真题

比数列的综合应用

2024年北京高考数学真题

2022年新高考北京数学高考真题

考点7：数列新定义问

2024年上海夏季高考数学真题

题

2023年北京卷、2024年北京卷

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

考点8：数列通项与求2024年天津高考数学真题

和问题2023年高考全国甲卷数学（理）真题

2022年新高考天津数学高考真题

2023年天津高考数学真题

考点%数列不等式

2023年全国II卷、2022年全国I卷

甯窗给绿。固滔送温

考点1:等差数列基本量运算

2

1.（2023年新课标全国I卷数学真题）设等差数列｛%｝的公差为d,且d>1.令"=口巴,记5“工分别

an

为数列｛a"｝,｛，｝的前"项和.

⑴若犯=3%+%,邑+心=21,求｛。“｝的通项公式；

⑵若也｝为等差数列，且$99-金=99,求d.

【解析】（1）.•%=3q+a3,3d=%+2d，解得%=",

S3=3a2-3Q+d)=6d,

26129

又4=4+62+4=—+一+一

d2d3d~d

9

.•.V6d+—=21,

d

即2/-7d+3=0,解得d=3或d(舍去),

an=%+(〃-1)•d=3n.

(2)•.•{〃}为等差数列，

12212

:.2b2=by+b3/即——=—+——，

a2axa3

//11、&Z10°,八7

「•6(---------)=------=—，即4-34d+2d=0,解得q=d或q=27,

'：d>\,.>•^„>0,

又S99-凰=99,由等差数列性质知，99%。-99砥=99,即％。-&=1,

2550।0

=1，即4)-0-2550=0，解得知=51或。5。=一50(舍去)

。50

当4=27时，%。=%+49d=514=51,解得4=1,与d>l矛盾，无解；

当为=c/时，%=%+49c/=50c?=51,解得d=—.

2.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记，为等差数列｛%｝的前n项和.若2s3=3邑+6，则公差

d=.

【答案】2

【解析】由2s3=3邑+6可得2(%+〃2+。3)=3(。1+4)+6,化简得2%=4+4+6,

即2(弓+2d)=2ax+d+6,解彳导d=2.

故答案为：2.

3.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)记S,,为等差数列｛叫的前〃项和.若电+&=I。，%%=45,贝!］工=

()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【解析】方法一：设等差数列｛4｝的公差为，，首项为。一依题意可得，

。2+R=4+4+%+5d=10,即%+3d=5,

又a©=(%+3d)(6+7d)=45，解得：d-\ax—2,

5x4

所以工=5%+;—xd=5x2+10=20.

故选：C.

方法二:出+。6=2。4=1°,。4a8=45，所以&=5,4=9,

从而“=修子=1,于是%=%-d=5-l=4,

所以工=5%=20.

故选：C.

4.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知等差数列｛叫的公差为g,集合S=｛cos%忖eN*｝,若

5=｛。回，贝!|.6=()

A.-IB.——C.0D.—

【答案】B

【解析】依题意，等差数列｛%｝中，%=%+("-1)号2兀=27?1+(%*271),

27r27r

显然函数＞=。。5■〃+(4-5)］的周期为3，而〃eN*,即cos%最多3个不同取值，又

{cos%|〃£N*}={〃,b},

cos

贝［J在%，cos出，cosa3中，cosa{=cosa2wcosa3或cosaxwcosa2=cosa3,

27r27rTT

于是有cose=cos（e+§）,即有e+（e+-^-）=2左兀，左ez,解得。=E-§,左,

LLl'l1r-r1/7兀、/i兀、4jt兀、121兀1

所以1eZ,ab=cos（E-§）cosr［（析一+=-cos（标一1）cosE=-coskTtcGS-=--.

故选：B

5.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列{%}的前〃项和为S“，若跖=1,则%+%=（）

A.-2B.1C.1D.|

【答案】D

【解析】方法一：利用等差数列的基本量

9x8

由$9=1，根据等差数列的求和公式，S9=9%+〒d=l=9%+36d=1,

22

%+%=%+2d+4+6d—24+8d——（9%+36d）——.

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，刍+ag=a,+a,,由品=1,根据等差数列的求和公式，

$9=9(%;%)=9(4；%)=1，故°3+%="|.

故选：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差数列公差"=。，贝！］$9=1=9%n%=-,则%+%=2%=-.

故选：D

6.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)记S“为等差数列{为}的前〃项和，已知$5=岳。，%=1,贝IIq=

()

【答案】B

【解析】由％-工=a6+a7+as+a9+aw=5as=0，贝[]%=0,

则等差数列｛%｝的公差d="分=一;，故％=%-4d=1-4x|17

故选：B.

7.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记E,为等差数列｛%｝的前"项和，已知出=IH。=40

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求数歹U｛|。』｝的前〃项和北,

【解析】（1）设等差数列的公差为d,

a?—a[+d=11

〃[+d=114=13

由题意可得，几=叫+?89d=4。,即2《+9d=8，解得

d=-2'

所以%=13-2(〃-1)=15-2〃,

”(13+15-2”)

(2)因为0=-14n-n2,

2

令。,,=15-2〃>0，解得，且"eN*,

当时，贝！］6>0,可得北=同+同|+…+=%+°2+…+。“=S“=14〃一“2;

当时，则％<。，可得[=同+同+…+|?|=(%+%+…+%)—(/+…+。〃)

=$7—(S"—$7)=2$7—5,=2(14x7—T2)-(14〃一方)=n一14〃+98；

\4n-n2,n<l

综上所述：T„=

n2-14H+98,H>8

8.（2024年新课标全国II卷数学真题）记S“为等差数列｛%｝的前n项和，若生+&=7,3%+%=5,贝U

【答案】95

〃]+2d+〃]+3d=7Q]——4

【解析】因为数列。“为等差数列，则由题意得3(%+d)+q+4d=5'解得

d=3

1no

贝|]Eo=104+-^x―d=10X(—4)+45X3=95.

故答案为：95.

9.（2023年新课标全国I卷数学真题）记S,为数列｛%｝的前〃项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：｛）｝为

等差数列，贝！I()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛4｝为等差数列，设其首项为为,公差为",

心T)dsddS,〃+1S-d

-%十T=

则Sn=nax+Cl,---

2n2212〃+1n2

因此｛-4为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：声4为等差数列，即铝一.二一用为常数，设为J

nn+1nn(n+\)n(n+l)

na,—S

即r—吸=。，则­="。”+「人心+1)，有％=(〃T)a,_f•如T)，"N2,

a

两式相减得：n=««„+i-(«-!)«„-2tn,即%+i-%=2J对〃=1也成立，

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛%｝为等差数列，设数列｛%｝的首项为,公差为d,即S”="％+当3d,

则2=%+纥=+,因此声4为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

反之，乙：｛T为等差数列，即--==。,口=岳+(〃-1)。,

nn+lnn

即Sn=g+«(»-1)£>,S,I=-1)岳+(77-1)(/7-2)D,

当心2时，上两式相减得：Sn-Si=岳+2(力-1)。，当〃=1时，上式成立，

于是+2(〃T)。,又。用一。“=%+2"。-[4+2(〃-1)。]=2。为常数,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

考点2：等比数列基本量运算

10(2023年新课标全国n卷数学真题圮S,为等比数列上｝的前〃项和若见=-5£=2电，则$8=().

A.120B.85C.-85D,-120

【答案】C

【解析】方法一：设等比数列｛0“｝的公比为4,首项为生,

若O=T,则邑=。"5，与题意不符，所以；

若4=1，贝1|S6=6%=3x2%=3s2*0，与题意不符，所以4"；

由S47,久=2电可得，口上_5,31=21x31①，

l-q1-q1-q

由①可得，l+q2+q4^21，解得:产=4,

所以良二)=)x(l+/)=_5x(l+16)=-85.

l-ql-q'7

故选：C.

方法二：设等比数列｛%｝的公比为q,

因为$4=-5,艮=21邑，所以4片-1,否则其=0,

从而，$2,邑一S2，&—邑，58—£成等比数歹！J,

5

所以有，(-5-邑)9~=$2(2电+5)，解得：邑=-1或邑,

当邑=7时，S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即为-1,-4,-164+21,

易知，工+21=-64,即风=一85;

当时，S4=4+%+。4=(%+。2)(1+d)=(1+«2)$2>0,

与其=-5矛盾，舍去.

故选：C.

11.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设等比数列｛%｝的各项均为正数，前"项和S,,若q=1,

S-,贝明=()

A.—B.等C.15D.40

88

【答案】C

【解析】由题知i+q+丁+/+/=5(1+4+，)-4,

即/+/=曲+4/,即/+/一包一4=0,即(夕一2)(q+l)(q+2)=0.

由题知4>0,所以"2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故选:C.

12（2023年天津高考数学真题）已知数列｛。“｝的前〃项和为S”，若q=2,%=2S,+2（〃eN）厕%=（）

A.16B.32C.54D.162

【答案】C

【解析】当心2,〃eN*时,%=2%+2,所以--%=2%,即*=3。*,

当〃=1时，出=2S〃+2=24+2=6=3%,

所以数列｛%｝是首项为2,公比为3的等比数列，

则。4=%/=54.

故选：C.

13.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列｛%｝的前3项和为168,%-%=42，则R=（）

A.14B.12C.6D,3

【答案】D

【解析】设等比数列｛4｝的公比为%4/0,

若4=1,则。2-4=。,与题意矛盾，

所以"1,

4（1一屋）”。

ax=96

%+%+%=j=168,解得,

则《1

4

a2-a5=axq-axq=42

所以&=%/=3.

故选：D.

14.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记S“为等比数列｛4｝的前"项和.若8、=7闻，则｛。“｝的公比

为.

【答案】J

【解析】若4=1,

则由8s6=7Sj得8•6%=7・3%,则％=。，不合题意.

所以"1.

当它1时，因为吃=7邑，

所以8・也二©二7•业二6,

1-q1—q

即8-（1-/）=7.。-0,即8小四_力=7.（1_力,即8.0+0=7,

解得L；.

故答案为：-;

aa=

15.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知｛%｝为等比数列/4244a5=36,〃9%0/贝U%=.

【答案】-2

【解析】设｛%｝的公比为4（叱0）,则02aM=a3a6=a2q-a5q,显然6H0,

a389

贝！I%=q2,即iQ=/，贝！1=1,因为a9al0=-8，贝［|%q-axq=-8,

贝!J/5=（g5）3=_8=（_2）3,则“5二一2,贝！］%=g5=_2,

故答案为：-2.

考点3：数列的实际应用

16.（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是籥、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其

中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直

径依次为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为一

mm

【答案】2357.5/竽

【解析】设升量器的高为4,斗量器的高为色（单位都是mm），则=10

故〃2=23mm,%=----mm.

故答案为：23mm,—mm.

17.（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、

用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛%｝,该数列

的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且4=1乌=12,%=192,则%=；数列｛%｝所有项

的和为.

【答案】48384

【解析】方法一：设前3项的公差为d,后7项公比为4>0,

%192“

贝1144=j=石~=16,且4>0,可得4=2,

贝！=l+2d=—1,即l+2d=3,可得d=1,

q

空1：可得％=3,—48,

i«3（1-27）

仝2:弓+/+L+旬=1+2+3+3X2+…+3x26=3+.」=384

方法二：空1：因为｛叫,34〃47为等比数列，则a；=w9=12xl92=482,

且,所以。7=48;

2

又因为W=。3。7,则。3=5=3；

a7

空2：设后7项公比为q>0，贝收2=^=4，解得4=2,

—rg3（%+%）乙a-aq3-192x2,

可彳导a+a+a=-------=6,^+^+^+^4-^+^+6/=-39------------=38O11所crlX以,

1232891-q1<

%+%+L+?=6+381—%=384.

故答案为：48;384.

18.（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC',DD'^,相邻

桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。2，CG，8片,/同是举,

ODi，D3，CBi，B4是相等的步相邻桁的举步之比分别为照=05第=匕，斐=%件=h.已知左右人

UD]ZJC]。勺DA｝

成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则匕=（）

【答案】D

【解析】设=DCi=CB]=网=1,则CCi=k1,BB\=34=k3,

DD1+CC1+BB1+AAL

依题意，有％—0・2=配《—0]=左2，且=0.725

OD'+DCT+CBT+BA]

.0.5+3kA—0.3八一,,.八八

所以-----——=0.725,故勺=0.9,

故选：D

19.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我

国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{4}:

]b~114=1^1

bl+2=++

^~.«+±,«>——f…，依此类推，其中%©N*（左=1,2,…）.则（）

%

A.4<瓦B.b3Vb8C.b6Vb2D.b4<b7

【答案】D

【解析】[方法一]：常规解法

因为%eN*（左=1,2,…），

1--I->------I----

所以必〈%+二，％a+—，得到4>b2,

a2

11

CCsH--->a1H-------；_,__

b>b

同理«2a,+—，可得,i3

1111

--->-----------；-----,/~I---------7~</H------------------

Qf111

又因为a2+Y~a2+-a2+j-

a、H-----03a3H-----

%%

故，&>"；

以此类推，可得仇>b3>b5>b7>…，4,故A错误；

瓦>，>4，故B错误；

11

屋〉1

2%+r，得仇<%,故c错误；

a3+…——

%

11______

%H------------1----->%H-----------

11，得故D正确.

a2H----------a2+,••

%-----06+—

%%

［方法二］：特值法

—「——3।5,8।13।21।34155

不妨设=1，贝!)匕=2加2=不，b3=-,b4=-,b5=—,b6b7=—,b8=—,

2JJo1321J4

“〈"故口正确.

考点4：数列的最值问题

2Q

20.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)记S,为数列｛%｝的前〃项和.已知学+”=2a,+1.

⑴证明：｛%｝是等差数列；

⑵若。4,%，%成等比数列，求S”的最小值.

2S

【解析】(1)因为。+〃=2%+1,即25"+/=2%+〃①,

n

当心2时，2S,T+(if=2(〃-l)a,i+(〃-l)②,

①—②得，2S〃+—2S〃_i一(〃-1)=2nan+n—2^n—\)an_x—(H-1),

即2a,,+2n-l=2nan-2+1

即2(〃-1)Q_I=2(〃-1)，所以%-%.i=l,且〃EN*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

(2)［方法一］：二次函数的性质

由(1)pj彳导氏="i+3,%=q+6,%=%+8.

又%,%,旬成等比数列，所以与之二。4，。9,

即(q+6)2=(4+3).(q+8)，解得q=-12,

n(n-\)

所以g=〃T3，所以S〃=-12〃+

2

所以，当"=12或〃=13时，⑸）扁=-78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由（1）可得知="i+3,g=%+6t%=%+8t

又％,%,旬成等比数列，所以。72=%/9，

即（％+6）2=（%+3>（%+8），解得q=-12,

所以4,=〃T3,即有％<七<,•,<%<°吗3=°.

则当”=12或〃=13时，（工需=-78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S”的最小值，适用于可以求出，的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

21.（2022年新高考北京数学高考真题）设｛4｝是公差不为0的无穷等差数列，贝『'｛%｝为递增数列”是“存

在正整数N。，当〃>N。时，an>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,则4x0,记［可为不超过x的最大整数.

若｛4｝为单调递增数列，则d>0,

若/NO,贝［］当”22时，an>>0；若％<0,则,

由%=%+（〃-1”>0可得〃>1得,取N。=1-号+1,则当〃>N°时,«„>0,

所以，“｛%｝是递增数列”="存在正整数或，当时，%>0"；

若存在正整数乂，当"〉乂时，an>0,取上eN*且左>砥，外>0,

假设"<0，令%=%+（〃一斤”<0可得左一今,S.k-^->k,

aa

当〃>左一号+1时，。"<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛4｝是递增数列.

所以，“｛%｝是递增数列”仁“存在正整数£,当”>乂时，%>0”.

所以，“｛%｝是递增数列”是“存在正整数既，当">乂时，⑸>0”的充分必要条件.

故选：C.

考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）

22.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列｛4｝的前〃项和为5“，且2S"=3%+「3.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛J｝的前〃项和.

【解析】（1）因为2S,=3%-3,故=3«„-3,

所以2%=3«„+1-3%（〃>2）即5a,=3限故等比数列的公比为q=：,

故2%=3%-3=3%x§-3=54-3，故％=1，故

(2)由等比数列求和公式得S

n2(3j2

所以数列｛邑｝的前〃项和

3

——n

2

23.（2024年新课标全国II卷数学真题）已知双曲线C:尤2_/=机的>0）,点虫5,4）在C上，上为常数，

0<a<1.按照如下方式依次构造点匕（"=2,3,...）:过心作斜率为左的直线与C的左支交于点2-,令々为

2-关于）'轴的对称点，记门的坐标为（土,然）.

⑴若A=1,求％,%；

（2）证明：数列｛%一%｝是公比为匚的等比数列；

⑶设£为AE£+£+2的面积，证明:对任意正整数，，s„=sn+l.

【解析】（1）

由已知有机=5?-4?=9,故C的方程为f-V=9.

当k=；时，过，（5,4）且斜率为。的直线为＞=］，与--/=9联立得至！］苫1：=9.

解得x=-3或x=5,所以该直线与C的不同于4的交点为。"-3,0）,该点显然在C的左支上.

故5（3,0）,从而x2=3,%=0.

（2）由于过£（x“,y,）且斜率为左的直线为了=Mx-x“）+匕，与/=9联立，得到方程

2

x-（k（x-xn）+yn^=9.

展开即得（1一尸）/-2左（州一①）x--封J一9=0,由于々（演,券）已经是直线了=左（》-%）+%和

x2-y2=9的公共点，故方程必有一根x=X"

从而根据韦达定理，另一根=2如"丁产,相应的

I—KI-K

y“+Ey,「2kx”

y=k(x-x)+y„=

nX-k2

所以该直线与C的不同于々的交点为『例，::J"",匕+2何j,而注意到°,的横坐标亦可通过

韦达ZE理表小为（"j尤，,故。"一定在c的左支上.

'x.+Qx.-Zky”了“+下％-2日“)

所以月+i

,1-k21-k2y

x“+Ex“-2ky”y”+Ey”_2kx“

这就得到x.+iy+i=

\-k2n1-k2

2

而'Jr”一五+上2%,-20"yn+kyn-2kxn

所以xn+l-y„+l-匚了-----------㈢----

一X"+Ex“+2kx“歹"+"2」“+20"_1+左2+2）/A1+^z.、

一l-k21-k2一1一/（七"）一］一尸尤卜

再由x；—货=9，就知道西一%*0，所以数歹支七一%｝是公比为当的等比数歹I」.

（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点沙，若行=（凡6）,丽=（c"）,则黑W=^\ad-bc\.

（若。，匕印在同一条直线上，约定邑0力=。）

证明：S^uvw二三叫|丽卜.UVjJw=^w\-所Jl-cos?W,丽

/____\2

」西,|丽I/-i"|竺|='/|树.|丽『-(斤加

2111\[K斗门叫2VlIIIV

=gJ(q2+62)(c2+d2)_(qc+6d)2

=—y]a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2abcd

2

=；J42d2+b2c2-2abed=；&ad-bej=^\ad-bc\.

证毕，回到原题.

由于上一小问已经得到X"M=%+fX；2仪3+Hy,「2kx“

y+\=

nl-k2

2

乙+入厂2批yn+kyn—2kx〃_]+左22k1-k

故当+i+y\=+++

n+\-k2i-k2\-k2\+k

再由X；—y；=9,就知道占+y产0,所以数歹1」｛无“十以｝是公比为公的等比数歹（J.

所以对任意的正整数〃？,都有

“〃>n+myn^n+m

=；((x”x“+„,-ynyn+m)+(X„y„+m-ynxn+m))-1((x„x„+m-ynyn+m)-(xnyn+m-y„xn+m))

=g(X"7“)(xn+m+>〃+m)-；(x〃+P〃)(xn+m-yn+m)

7

而又有匕+闺=（一（招+1一%），—（以+l—尤）），匕+£+2=（%+2一%+1，%+2一笫+1）,

故利用前面已经证明的结论即得

X-+XX

S,=S.,岛,2=~|-(^„+l-„)(j„+2K+l)(K+t~y„)(„+2~n+\

=।h，+i-％)(匕+2-J„+l)-(^+l-%)(Z+2-X,+|

22、

19（1—左1+左9（1—左1+左9(l-k\+k

22\+kX-k

7

这就表明S“的取值是与〃无关的定值，所以S,,=5..

x.+Ex—ky,%,+Ey“-2kx“

方法二：由于上一小问已经得到X用'yn+\

l-k2l-k2

%+丘-2机y„+k~yn—2kX"_1+左——2kl-k

故土+1+y=&+

n+l\-k2\-k2l-k2\+k

再由X；f2=9,就知道占+y产0,所以数列｛z+y„）是公比为E的等比数歹I」.

所以对任意的正整数加,都有

，〃歹n+myn^n+m

—5((X〃X〃+?M—y\yn+m)+(x“y〃+m—y〃*〃+加))一万加—yn+m)一+m-yn^n+m))

=；(x“一乂)(x“+m十%+m)一;(％+”)(%

+m-yn+m)

XX

以及相+l%+3一州+l%+3=5=nyn+2-ynn+2

两式相减，即得(当+2%+3一州+2Z+3)一(%+以+3一%+1Z+3)=(XJ.+J-%Z+J-(玉％+2一匕产“+2).

移项得到x“+2%+3一了户”+2-x“+/“+3+”x“+|=yn+2xn+3-xnyn+1-y„+lxn+3+xnyn+i.

故（"+3-%）（x“+2-X"+l）=（%+2-%+J（x,+3-X,）.

而匕匕+3=（x.+3-X"，"+3-州）,£+£+2=（无n+2~Xn+1，%+2。+1）.

所以串第和麻瓦；平行，这就得到孙J.小S△匕+解+2匕+3,即S〃-S〃+l,

24.（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列｛4｝满足，则（）

77

A.2<lOOd!<—B.—<100(2<3C.3<lOO«<-D.-<lOOdf<4

loo21]0n0nlooloo

【答案】B

7

【解析】4=1,易得〃2=ye（O,l）,依次类推可得%e（0,1）

I11311

——+-----

由题意，a«+i.F'即%。〃(3—%)

an3—%

111

>-

3'

i>iLJ_11一"”)

aaa

x3'。3〃23433"'n-l

累加可得，T>：(〃7),gp—>|(«+2),(«>2),

0n3UnJ

.31…100「

，(〃22),即qoo<—/l°°"oo<—<3，

1111L

------<——1+—，（危2）

又。〃+1an3-%3-33n+1

n+2

111+11111+g1+0

aaaa

。2"]3323433

累加可得^1＜；（〃T）+；111

----1------1-----H------,(心3),

%NJ23n

-----1<33+--+—+…+——<33+Hm4+—96<39

6z100---------3(23100J3(26)

即;<4°,•,•%<»>A,即lOOqoo>£；

%oo4U2

综上：|-<100«,00<3.

故选：B.

1-

25.（2023年北京高考数学真题）已知数列｛%｝满足«„+1=-（%-6）+6（〃=1,2,3,…），则（）

A.当为=3时，｛%｝为递减数列，且存在常数MW0，使得明〉M恒成立

B.当q=5时，｛%｝为递增数列，且存在常数M<6，使得巴<M恒成立

C.当q=7时，｛%｝为递减数列，且存在常数M>6，使得恒成立

D.当为=9时,｛%｝为递增数列，且存在常数河>0，使得知<"恒成立

【答案】B

1.1.

【解析】法1：因为*=a（%-6）+6,故。“+i-6=a（a,-6）,

对于A，若q=3,可用数学归纳法证明：4-6V-3即a“V3,

证明：当"=1时，^-6=-3<-3