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文档简介
2021中考数学专题训练:相似三角形及其应用
一'选择题
1.如图,在中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE//BC,若AD=2,
AB=3,DE=4,则3c等于()
A.5B.6D.8
2.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与
△AiBiCi相似的是
3.如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直于AC的直线交
菱形ABCD的边于M、N两点,设AC=2,BD=1,AP=x,ZkAMN的面积为
y,则y关于x的函数图象的大致形状是()
4.如图①,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有
水,水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图②
是此时的示意图,则图②中水面高度为()
容器口边缘
水面高度
5.如图,弦CD垂直于。。的直径AB,垂足为H,.且CD=2^2,BD=43,则
AB的长为()
C
0
A.2B.3C.4D.5
6.(2019•贺州)如图,在ZVIBC中,D,E分别是AC边上的点,DE//BC,
若AD=2,A8=3,DE=4,则8c等十
BC
A.5B.6
C.7D.8
7.(2019•巴中)如图,ABCD,尸为89中点,延长AD至E,使DE:AD=1:3,
连接EF交DC于点G,则S"EG:SACFC=
E
-7c
J--lF
A.2:3B.3:2
C.9:4D.4:9
8.(2019•沈阳)已知△ABCs△ABC,AD和AD是它们的对应中线,若AD=10,
A'D'=6,则△ABC与△A5。的周长比是
A.3:5B.9:25
C.5:3D.25:9
9.(2019•贵港)如图,在△ABC中,点。,E分别在A3,AC边上,DE//BC,
ZACD=ZB,若AD=25£>,BC=6,则线段CD的长为
B.3行
D.5
10.(2019•重庆)下列命题是真命题的是
A.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3
B.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9
C.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为2:3
D.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9
二、填空题
11.如图,在AABC中,DE//BC,3歹平分NA3C,交DE的延长线于点E若
AD=1,BD=2,BC=4,则ER=.
12.(2019•台州)如图,直线A,B,C分别为直线4,6,4上的动点,
连接AB,BC,AC,线段AC交直线乙于点£>.设直线4,4之间的距离为机,
m3
直线4,4之间的距离为",若NABC=90。,BD=4,且一=大,则加+〃的最
n2
大值为_________
13.(2019•泸州)如图,在等腰RtZkABC中,NC=90。,AC=15,点石在边CB上,
CE=2ES,点。在边AB上,CDA.AE,垂足为尸,则AD长为.
14.如图,在Rt2\A3C中,NA4c=90。,AB=15,AC=20,点。在边AC上,
AD=5,DELBC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于.
15.(2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC,ZACB=9Q°,AB=10,AC=6,点
。为BC边上的任一点,沿过点。的直线折叠,使直角顶点C落在斜边上的
点E处,当△6DE是直角三角形时,则CD的长为.
16.(2019•辽阳)如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC的边50,C。分别在%轴,
》轴上,A点的坐标为(-8,6),点p在矩形ABOC的内部,点E在80边上,满
足乙PBEs^CBO,当"q。是等腰三角形时,P点坐标为.
三'解答题
17.(2019•广东)如图,在△ABC中,点。是边A3上的一点.
(1)请用尺规作图法,在ZVIBC内,求作/4DE,使44DE=ZB,。石交AC于E;
(不要求写作法,保留作图痕迹)
AnAp
(2)在(1)的条件下,若芸=2,求黑的值.
DBEC
18.如图,在Rt^ABC中,ZACB=90°,AC=8,BC=6,CDLAB于点D点尸
从点D出发,沿线段DC向点C运动,点。从点C出发,沿线段C4向点A运
动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点尸运动到C时,两点都
停止.设运动时间为。秒.
⑴①求线段CD的长;
②求证:△CBDsAABC;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与/之间的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)是否存在某一时刻3使得△CPQ为等腰三角形?若存在,请直接写出满足条
件的/的值;若不存在,请说明理由.
19.如图,在中,ZC=90°,ZA=6Q°,AC=2cm.长为1cm的线段MN
在△ABC的边A3上沿AB方向以1cm/s的速度向点3运动(运动前点”与点A
重合).过M,N分别作A3的垂线交直角边于P,Q两点,线段运动的时间
为fs.
(1)若4AMP的面积为y,写出y与/的函数关系式(写出自变量t的取值范围),
并求出y的最大值;
⑵在线段运动过程中,四边形MAQP有可能成为矩形吗?若有可能,求出
此时/的值;若不可能,说明理由;
(3»为何值时,以C,P,。为顶点的三角形与AABC相似?
20.已知:在等边△ABC中,D、E分别是AC、3c上的点,且NBAE=/CBD
<60°,DH±AB,垂足为点H.
(1)如图①,当点。、E分别在边AC、3c上时,求证:△ABE2ABCD;
(2)如图②,当点。、E分别在AC、C3延长线上时,探究线段AC、AH、BE的
数量关系;
(3)在(2)的条件下,如图③,作EK〃3。交射线AC于点K,连接HK,交BC于
点G,交BD于点P,当AC=6,3E=2时,求线段3P的长.
1,
21.如图,已知△ABCS^AIBICI,相似比为网上>1),且AABC的三边长分别
为a、b、c(a>b>c),AAiBiCi的三边长分别为ai、bi、ci.
⑴若c=ai,求证:a=kc;
(2)若c=ai,试给出符合条件的一对AABC和△A1B1C1,使得a、b、c和ai、bi、
ci都是正整数,并加以说明;
(3)若b=ai,c=bi,是否存在AABC和△A1B1C1使得左=2?请说明理由.
2021中考数学专题训练:相似三角形及其应用
-答案
一'选择题
1.【答案】B[^]':DE//BC,
:./^ADE^AABC,
.•.三=丝,即三士L,解得3c=6,故选B.
ADnr>nr
2.【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长,同理利用勾
股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长,利用三边长对应成比例的两个三
角形相似可得结果,△4BC1各边长分别为1,遮,Vs-选项A中阴影三角形
三边长分别为:近,VS-3,三边不与已知三角形各边对应成比例,故两三角形
不相似;选项B中阴影三角形三边长分别为2,yfiQ,三边与已知三角形的
各边对应成比例,故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1,6,
2、日,三边不与已知三角形各边对应成比例,故两三角形不相似;选项D中阴影
三角形三边长分别为:2,石,V13-三边不与已知三角形各边对应成比例,故两
三角形不相似,故选B.
3.【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和
二次函数的图象和性质.解题思路:设AC、BD交于点O,由于点P是菱形ABCD
AP
的对角线上一动点,所以.当时,△
AC0<x<20<x<lAMNs^ABDn—AU=
噤[=:=耳[MN=xny=1x2.此二次函数的图象开口向上,对称轴是x=0,
D\J11z
此时y随x的增大而增大.所以B和D均不符合条件.当l〈x<2时,aCMN
CPMN2-xMN11
A•0~j-今MN=2—•x=y=/(2—x)=1]x92+x.止匕一次
函数的图象开口向下,对称轴是x=l,止匕时y随x的增大而减小.所以A不符
合条件.综上所述,只有C是符合条件的.
4.【答案】A[解析]如图所示.设则CM=8-x,
根据题意得:;(8-x+8)x3x3=3x3x6,解得x=4,:.DM=4.
D
水面高度
ZD=90°.AH
・•.由勾股定理得:
BM=XBD--DM-=\4--3-=5.
过点B作水平桌面于H,":ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=90°,
:.ZHBA=ZDBM,
':ZAHB=ZD=90°,
.MABHsAMBD,:网匹,即也卫,解得BH=三,即水面高度为劲.
AM■CC£
5.【答案】B【解析】由垂径定理可得DH=g,所以BH=NBD2—DH2=1,
又可得△DHBS^ADB,所以有BD2=BHBA,(小)2=1XBA,AB=3.
6.【答案】B
【解析】,:DE//BC,:.AADE^AABC,
**•-=――>即解得:BC=6,故选B.
ADnC3nC
7.【答案】D
【解析】设。E=X,VDE:AD=1:3,/.AD=3x,
・••四边形A3CD是平行四边形,/.AD//BC,BC^AD^3x,
13
:点口是3C的中点,:.CF=-BC=-x,
22
*.*AD//BC,:.ADEG^ACFG,
.•.^^=(")2=(二)2=±,故选D.
SMFGCF39
2
8.【答案】C
【解析】VAABC^AA'B'C,AD和A。是它们的对应中线,AD=10,A'D'=6,
.•.△ABC与△A5c的周长比=公。:A'D'=1Q:6=5:3.故选C.
9.【答案】C
【解析】设AD=2x,BD=x,AB=3x,
DE//BC,:.AADE^AABC,
.DEAD_AE.DE_2x
"BC~AB~AC''*6―3x
AE_2
DE=4
AC-3
VZACD^ZB,ZADE=ZB,:.ZADE=ZACD,
':ZA=ZA,:.AADE^AACD,
.ADAEDE
''~AC~^D~~CD,
设AE=2y,AC=3y,——=—,
3yAD
l2y4「
AD=76y,CD=2A/6,
故选C.
10.【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比
为4:9,是假命题;
B、如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9,
是真命题;
C、如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为16:81,
是假命题;
D、如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为16:81,
是假命题,
故选B.
二'填空题
11.【答案】三[i?tff]VDE//BC,AD=1,BD=2,BC=4,A-=即乙=竺,解
s否or工▲
得:DE=±
■:BF平分NABC,ZABF=ZFBC,
又,:DE//B3:.ZFBC=ZF,
:.ZABF=ZF,:.BD=DF=2,
,:DF=DE+EF,:.EF=2--=^.
2a
故答案为:L
25
12.【答案】—
3
【解析】如图,过3作于E,延长EB交4于P,过A作⑷V,/2于N,过
。作CM,/?于V,
设AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,
VBD=4,:.DM^y-4,DN=4-x,
,:ZABC=ZAEB=ZBFC^ZCMD=ZAND=90°,
:.ZEAB+ZABE=ZABE+ZCBF=90°,
ZEAB=ZCBF,AABEsABFC,
AEBExm
..——=——,即nn—=—,/.xy=mn,
BFCFny
ZADN=ZCDM,:.△CMDAAND,
.AN_DNm_4-x_2
"'~CM~~DMf艮n~y-4^3)
3
y=—x+10,
2
..〃z_2._3
・———,・・〃=-777,
n32
・.。"+")最大=-m,
..当加最大时,(加+〃)最大=5机,
333
mn-xy=%(--%+10)+10x=—m2,
.止—10_10,503
..当x=_]-----可时,nnm最大
._12
••m最大—,
・・・加+〃的最大值为5:x1g0=q25.故答案为:25
13.【答案】9&
【解析】如图,过。作£发,47于〃,则NAHD=90。,
:在等腰Rt/XABC中,ZC=90°,AC=15,
/.AC=BC=15,ZC4Z)=45°,
/.ZADH=9Q°-ZCAD=45°=ZCAD,
:.AH=DH,
:.CH=AC-AH=15-DH,
VCF±AE,:.ZDHA=ZDFA=90°,
又,?ZANH=ZDNF,:.ZHAF=NHDF,
.人.DHCH
..AACE^AADHC,..——=——,
ACCE
•;CE=2EB,CE+BE=BC=15,:.CE=10,
.DH15-DH
••二,
1510
/.DH=9,
AD=y/AH2+DH^=9A/2»故答案为:9A/2•
14.【答案】78【解析】如解图,过A作AHLBC,:AB=15,AC=20,ZBAC
=90°,.•.由勾股定理得,Be-/,+勾2=25,VAD=5,/.DC=20-5=15,
VDE±BC,ZBAC=90°,ACDE^ACBA,,方7=工,/.CE=7^x20=12.
CACr>ZJ
法一:BCAH=ABAC,AH="泸=豆辔=12,SAABE=1X12X13=78.
DCZDZ
法二:DE=.152—122=9,由△CDEs^CAH可得,/.AH=^|^=
12,ABE=1X12X13=78.
15.【答案】3或一
7
【解析】分两种情况:
①若ZDEB=90。,则ZAED=90o=NC,CD=ED,
连接AD,则Rt-CD/RtZkEAD,
/.AE=AC=6,BE=10-6=4,
设CD=DE=x,则50=8—x,
,.•RtZkBDE中,DE2+BE2=BD\Ax2+42=(8-x)2,
解得x=3,ACD=3;
②若ZBDE=90。,则NCDE=ZDEF=NC=90°,CD=DE,
・•.四边形COM是正方形,:.ZAFE=NEDB=90°,ZAEF=ZB,
..AFEF
..AAAEF^AAEBD,••=—
EDBD
设C£)=x,则==AF=6-x,5£>=8—x,
.6-x_x,_2424
,.---=----,解得g-V=T_-,••CD=—
x8-x77
2424
综上所述,。的长为3或〒故答案为:3或亍
16.【答案】(—或(―4,3)
【解析】•••点P在矩形ABOC的内部,且"PC是等腰三角形,
/.尸点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上;
①当尸点在AC的垂直平分线上时,点尸同时在上,AC的垂直平分线与80
的交点即是E,如图1所示,
VPELBO,COA.BO,
:.PE//CO,
:.APBEs△CBO,
:四边形AB0C是矩形,A点的坐标为(-8,6),
・•.点尸横坐标为-4,。。=6,50=8,BE=4,
APBEsACBO,
••一,日|」一,
COB068
解得:PE=3,
.•.点P(-4,3).
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上,圆弧与的交点为P,
过点尸作尸50于E,如图2所示,
图2
■:CO工BO,:.PE//CO,
:.APBEsACBO,
•••四边形ABOC是矩形,A点的坐标为(-8,6),
AAC=BO=8,CP=8,AB=OC=6,
•*,BC=BO2+OC~=Vs2+62=10)**,BP=2,
,/△尸BEs丛CBO,
PEBEBPPEBE2
..布二法=法’即Hn:V=T=w)
解得:PE=g,BE=*,
.S8-里必,
55
•••点尸(一三1),
综上所述:点P的坐标为:(-H)或(-4,3),
故答案为:或(-4,3).
三'解答题
17.【答案】
(1)如图所示:
(2)ZADE=ZB,
DE//BC.
AEADc
--------=............-/
ECDB,
18.【答案】
(1)①解:VZACB=90°,AC=8,BC=6,
:.AB=10,
':CD±AB,
SAABC=^BCAC=^AB-CD,
.BCAC6x824
••3—AB-10一了,
・•・线段CD的长为2日4;
②证明:;NB=NB,ZCDB=ZBCA=90°,
/.△CBD^AABC;
(2)解:如解图②,过点尸作尸HLAC,垂足为H,
由题可知CQ=t,
则CP==^-t,
,:ZACB=ZCDB=90°,
:.ZHCP=9Q°~ZDCB=ZB,
'JPHLAC,
:.ZCHP=90°,
:.ZCHP=ZACB,
.•.△CHPsdBCA,
.PHPC
""AC=BA,
24
.ST-'
810
11964
S=]CQ-PH=亍.一亨)=
288
125,
--<0,
5
•••当/=年时,s最大=卷;
八、七公12-14.4—24
(3)存在,。=弓~或与-或五•
【解法提示】①若CQ=CP,如解图①,则片三一力解得:仁羊;②若尸Q=
5。
PC,如解图②所示.,:PQ=PC,PHLQC,:.QH=CH=^QC=
L24_
f「HCP2t144
2.VACHP-ABCA.-*«6=-解得-骨;③若QC=QP,如
2424
解图③,过点。作QELCP,垂足为E,同理可得:/=曾.综上所述:当/为三
秒或行■秒或1T秒时'△CPQ为等腰三角形.
19.【答案】
⑴当点P在AC上时,
\"AM=t,PM=AM-tan600=\[3t,
1、八
•*.y=于•5t=¥»(0(二1),
,也
当t=1时,y最大=2;
当点尸在3C上时,PM=BM-
tan30。=掌4—。,
.•・y=%¥(4—/)=一乎尸+芈片一乎。—2)2+辛(1<<3),
当t=2s时,y最大=,
综上所述,
M,o</<i
|V3,2^3'
—91<?<3
•*•当t=2s时,y最大=g;
(2)':AC=2,:.AB=4,:.BN=AB-AM-MN=4-t~l=3-t.
J3
QN=BN-tan30°=掌3—t),
由题知,若要四边形MNQP为矩形,需PM=QN,且P,Q分别在AC,BC上,
即小/=乎(3—7),••"=/
3
・•.当/=取时,四边形MNQP为矩形.
3
(3)由(2)知,当/=^s时,
四边形MAQ尸为矩形,止匕时尸。〃A3,
.".APQC^AABC,
除此之外,当NCPQ=NB=30。时,
△QPC^AABC,此时晋=tan3(r=坐,
*/^^=cos60。=],.\AP=2AM=2t,
:.CP=2-2t,
..BN_ac。—啦.—BN2.
•BQ—cos30—2,•・BQ——(3-0,
2
又BC=2小,,CQ=24-卒(3-尸邛^,
2y[3t
••,^^二卓解得出,
.,.当f=;s或右时,以C,P,。为顶点的三角
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