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文档简介

2021中考数学专题训练:相似三角形及其应用

一'选择题

1.如图,在中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE//BC,若AD=2,

AB=3,DE=4,则3c等于()

A.5B.6D.8

2.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与

△AiBiCi相似的是

3.如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直于AC的直线交

菱形ABCD的边于M、N两点,设AC=2,BD=1,AP=x,ZkAMN的面积为

y,则y关于x的函数图象的大致形状是()

4.如图①,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有

水,水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图②

是此时的示意图,则图②中水面高度为()

容器口边缘

水面高度

5.如图,弦CD垂直于。。的直径AB,垂足为H,.且CD=2^2,BD=43,则

AB的长为()

C

0

A.2B.3C.4D.5

6.(2019•贺州)如图,在ZVIBC中,D,E分别是AC边上的点,DE//BC,

若AD=2,A8=3,DE=4,则8c等十

BC

A.5B.6

C.7D.8

7.(2019•巴中)如图,ABCD,尸为89中点,延长AD至E,使DE:AD=1:3,

连接EF交DC于点G,则S"EG:SACFC=

E

-7c

J--lF

A.2:3B.3:2

C.9:4D.4:9

8.(2019•沈阳)已知△ABCs△ABC,AD和AD是它们的对应中线,若AD=10,

A'D'=6,则△ABC与△A5。的周长比是

A.3:5B.9:25

C.5:3D.25:9

9.(2019•贵港)如图,在△ABC中,点。,E分别在A3,AC边上,DE//BC,

ZACD=ZB,若AD=25£>,BC=6,则线段CD的长为

B.3行

D.5

10.(2019•重庆)下列命题是真命题的是

A.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3

B.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9

C.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为2:3

D.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9

二、填空题

11.如图,在AABC中,DE//BC,3歹平分NA3C,交DE的延长线于点E若

AD=1,BD=2,BC=4,则ER=.

12.(2019•台州)如图,直线A,B,C分别为直线4,6,4上的动点,

连接AB,BC,AC,线段AC交直线乙于点£>.设直线4,4之间的距离为机,

m3

直线4,4之间的距离为",若NABC=90。,BD=4,且一=大,则加+〃的最

n2

大值为_________

13.(2019•泸州)如图,在等腰RtZkABC中,NC=90。,AC=15,点石在边CB上,

CE=2ES,点。在边AB上,CDA.AE,垂足为尸,则AD长为.

14.如图,在Rt2\A3C中,NA4c=90。,AB=15,AC=20,点。在边AC上,

AD=5,DELBC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于.

15.(2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC,ZACB=9Q°,AB=10,AC=6,点

。为BC边上的任一点,沿过点。的直线折叠,使直角顶点C落在斜边上的

点E处,当△6DE是直角三角形时,则CD的长为.

16.(2019•辽阳)如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC的边50,C。分别在%轴,

》轴上,A点的坐标为(-8,6),点p在矩形ABOC的内部,点E在80边上,满

足乙PBEs^CBO,当"q。是等腰三角形时,P点坐标为.

三'解答题

17.(2019•广东)如图,在△ABC中,点。是边A3上的一点.

(1)请用尺规作图法,在ZVIBC内,求作/4DE,使44DE=ZB,。石交AC于E;

(不要求写作法,保留作图痕迹)

AnAp

(2)在(1)的条件下,若芸=2,求黑的值.

DBEC

18.如图,在Rt^ABC中,ZACB=90°,AC=8,BC=6,CDLAB于点D点尸

从点D出发,沿线段DC向点C运动,点。从点C出发,沿线段C4向点A运

动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点尸运动到C时,两点都

停止.设运动时间为。秒.

⑴①求线段CD的长;

②求证:△CBDsAABC;

(2)设△CPQ的面积为S,求S与/之间的函数关系式,并求出S的最大值;

(3)是否存在某一时刻3使得△CPQ为等腰三角形?若存在,请直接写出满足条

件的/的值;若不存在,请说明理由.

19.如图,在中,ZC=90°,ZA=6Q°,AC=2cm.长为1cm的线段MN

在△ABC的边A3上沿AB方向以1cm/s的速度向点3运动(运动前点”与点A

重合).过M,N分别作A3的垂线交直角边于P,Q两点,线段运动的时间

为fs.

(1)若4AMP的面积为y,写出y与/的函数关系式(写出自变量t的取值范围),

并求出y的最大值;

⑵在线段运动过程中,四边形MAQP有可能成为矩形吗?若有可能,求出

此时/的值;若不可能,说明理由;

(3»为何值时,以C,P,。为顶点的三角形与AABC相似?

20.已知:在等边△ABC中,D、E分别是AC、3c上的点,且NBAE=/CBD

<60°,DH±AB,垂足为点H.

(1)如图①,当点。、E分别在边AC、3c上时,求证:△ABE2ABCD;

(2)如图②,当点。、E分别在AC、C3延长线上时,探究线段AC、AH、BE的

数量关系;

(3)在(2)的条件下,如图③,作EK〃3。交射线AC于点K,连接HK,交BC于

点G,交BD于点P,当AC=6,3E=2时,求线段3P的长.

1,

21.如图,已知△ABCS^AIBICI,相似比为网上>1),且AABC的三边长分别

为a、b、c(a>b>c),AAiBiCi的三边长分别为ai、bi、ci.

⑴若c=ai,求证:a=kc;

(2)若c=ai,试给出符合条件的一对AABC和△A1B1C1,使得a、b、c和ai、bi、

ci都是正整数,并加以说明;

(3)若b=ai,c=bi,是否存在AABC和△A1B1C1使得左=2?请说明理由.

2021中考数学专题训练:相似三角形及其应用

-答案

一'选择题

1.【答案】B[^]':DE//BC,

:./^ADE^AABC,

.•.三=丝,即三士L,解得3c=6,故选B.

ADnr>nr

2.【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长,同理利用勾

股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长,利用三边长对应成比例的两个三

角形相似可得结果,△4BC1各边长分别为1,遮,Vs-选项A中阴影三角形

三边长分别为:近,VS-3,三边不与已知三角形各边对应成比例,故两三角形

不相似;选项B中阴影三角形三边长分别为2,yfiQ,三边与已知三角形的

各边对应成比例,故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1,6,

2、日,三边不与已知三角形各边对应成比例,故两三角形不相似;选项D中阴影

三角形三边长分别为:2,石,V13-三边不与已知三角形各边对应成比例,故两

三角形不相似,故选B.

3.【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和

二次函数的图象和性质.解题思路:设AC、BD交于点O,由于点P是菱形ABCD

AP

的对角线上一动点,所以.当时,△

AC0<x<20<x<lAMNs^ABDn—AU=

噤[=:=耳[MN=xny=1x2.此二次函数的图象开口向上,对称轴是x=0,

D\J11z

此时y随x的增大而增大.所以B和D均不符合条件.当l〈x<2时,aCMN

CPMN2-xMN11

A•0~j-今MN=2—•x=y=/(2—x)=1]x92+x.止匕一次

函数的图象开口向下,对称轴是x=l,止匕时y随x的增大而减小.所以A不符

合条件.综上所述,只有C是符合条件的.

4.【答案】A[解析]如图所示.设则CM=8-x,

根据题意得:;(8-x+8)x3x3=3x3x6,解得x=4,:.DM=4.

D

水面高度

ZD=90°.AH

・•.由勾股定理得:

BM=XBD--DM-=\4--3-=5.

过点B作水平桌面于H,":ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=90°,

:.ZHBA=ZDBM,

':ZAHB=ZD=90°,

.MABHsAMBD,:网匹,即也卫,解得BH=三,即水面高度为劲.

AM■CC£

5.【答案】B【解析】由垂径定理可得DH=g,所以BH=NBD2—DH2=1,

又可得△DHBS^ADB,所以有BD2=BHBA,(小)2=1XBA,AB=3.

6.【答案】B

【解析】,:DE//BC,:.AADE^AABC,

**•-=――>即解得:BC=6,故选B.

ADnC3nC

7.【答案】D

【解析】设。E=X,VDE:AD=1:3,/.AD=3x,

・••四边形A3CD是平行四边形,/.AD//BC,BC^AD^3x,

13

:点口是3C的中点,:.CF=-BC=-x,

22

*.*AD//BC,:.ADEG^ACFG,

.•.^^=(")2=(二)2=±,故选D.

SMFGCF39

2

8.【答案】C

【解析】VAABC^AA'B'C,AD和A。是它们的对应中线,AD=10,A'D'=6,

.•.△ABC与△A5c的周长比=公。:A'D'=1Q:6=5:3.故选C.

9.【答案】C

【解析】设AD=2x,BD=x,AB=3x,

DE//BC,:.AADE^AABC,

.DEAD_AE.DE_2x

"BC~AB~AC''*6―3x

AE_2

DE=4

AC-3

VZACD^ZB,ZADE=ZB,:.ZADE=ZACD,

':ZA=ZA,:.AADE^AACD,

.ADAEDE

''~AC~^D~~CD,

设AE=2y,AC=3y,——=—,

3yAD

l2y4「

AD=76y,CD=2A/6,

故选C.

10.【答案】B

【解析】A、如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比

为4:9,是假命题;

B、如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9,

是真命题;

C、如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为16:81,

是假命题;

D、如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为16:81,

是假命题,

故选B.

二'填空题

11.【答案】三[i?tff]VDE//BC,AD=1,BD=2,BC=4,A-=即乙=竺,解

s否or工▲

得:DE=±

■:BF平分NABC,ZABF=ZFBC,

又,:DE//B3:.ZFBC=ZF,

:.ZABF=ZF,:.BD=DF=2,

,:DF=DE+EF,:.EF=2--=^.

2a

故答案为:L

25

12.【答案】—

3

【解析】如图,过3作于E,延长EB交4于P,过A作⑷V,/2于N,过

。作CM,/?于V,

设AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,

VBD=4,:.DM^y-4,DN=4-x,

,:ZABC=ZAEB=ZBFC^ZCMD=ZAND=90°,

:.ZEAB+ZABE=ZABE+ZCBF=90°,

ZEAB=ZCBF,AABEsABFC,

AEBExm

..——=——,即nn—=—,/.xy=mn,

BFCFny

ZADN=ZCDM,:.△CMDAAND,

.AN_DNm_4-x_2

"'~CM~~DMf艮n~y-4^3)

3

y=—x+10,

2

..〃z_2._3

・———,・・〃=-777,

n32

・.。"+")最大=-m,

..当加最大时,(加+〃)最大=5机,

333

mn-xy=%(--%+10)+10x=—m2,

.止—10_10,503

..当x=_]-----可时,nnm最大

._12

••m最大—,

・・・加+〃的最大值为5:x1g0=q25.故答案为:25

13.【答案】9&

【解析】如图,过。作£发,47于〃,则NAHD=90。,

:在等腰Rt/XABC中,ZC=90°,AC=15,

/.AC=BC=15,ZC4Z)=45°,

/.ZADH=9Q°-ZCAD=45°=ZCAD,

:.AH=DH,

:.CH=AC-AH=15-DH,

VCF±AE,:.ZDHA=ZDFA=90°,

又,?ZANH=ZDNF,:.ZHAF=NHDF,

.人.DHCH

..AACE^AADHC,..——=——,

ACCE

•;CE=2EB,CE+BE=BC=15,:.CE=10,

.DH15-DH

••二,

1510

/.DH=9,

AD=y/AH2+DH^=9A/2»故答案为:9A/2•

14.【答案】78【解析】如解图,过A作AHLBC,:AB=15,AC=20,ZBAC

=90°,.•.由勾股定理得,Be-/,+勾2=25,VAD=5,/.DC=20-5=15,

VDE±BC,ZBAC=90°,ACDE^ACBA,,方7=工,/.CE=7^x20=12.

CACr>ZJ

法一:BCAH=ABAC,AH="泸=豆辔=12,SAABE=1X12X13=78.

DCZDZ

法二:DE=.152—122=9,由△CDEs^CAH可得,/.AH=^|^=

12,ABE=1X12X13=78.

15.【答案】3或一

7

【解析】分两种情况:

①若ZDEB=90。,则ZAED=90o=NC,CD=ED,

连接AD,则Rt-CD/RtZkEAD,

/.AE=AC=6,BE=10-6=4,

设CD=DE=x,则50=8—x,

,.•RtZkBDE中,DE2+BE2=BD\Ax2+42=(8-x)2,

解得x=3,ACD=3;

②若ZBDE=90。,则NCDE=ZDEF=NC=90°,CD=DE,

・•.四边形COM是正方形,:.ZAFE=NEDB=90°,ZAEF=ZB,

..AFEF

..AAAEF^AAEBD,••­=—

EDBD

设C£)=x,则==AF=6-x,5£>=8—x,

.6-x_x,_2424

,.---=----,解得g-V=T_-,••CD=—

x8-x77

2424

综上所述,。的长为3或〒故答案为:3或亍

16.【答案】(—或(―4,3)

【解析】•••点P在矩形ABOC的内部,且"PC是等腰三角形,

/.尸点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上;

①当尸点在AC的垂直平分线上时,点尸同时在上,AC的垂直平分线与80

的交点即是E,如图1所示,

VPELBO,COA.BO,

:.PE//CO,

:.APBEs△CBO,

:四边形AB0C是矩形,A点的坐标为(-8,6),

・•.点尸横坐标为-4,。。=6,50=8,BE=4,

APBEsACBO,

••一,日|」一,

COB068

解得:PE=3,

.•.点P(-4,3).

②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上,圆弧与的交点为P,

过点尸作尸50于E,如图2所示,

图2

■:CO工BO,:.PE//CO,

:.APBEsACBO,

•••四边形ABOC是矩形,A点的坐标为(-8,6),

AAC=BO=8,CP=8,AB=OC=6,

•*,BC=BO2+OC~=Vs2+62=10)**,BP=2,

,/△尸BEs丛CBO,

PEBEBPPEBE2

..布二法=法’即Hn:V=T=w)

解得:PE=g,BE=*,

.S8-里必,

55

•••点尸(一三1),

综上所述:点P的坐标为:(-H)或(-4,3),

故答案为:或(-4,3).

三'解答题

17.【答案】

(1)如图所示:

(2)ZADE=ZB,

DE//BC.

AEADc

--------=............-/

ECDB,

18.【答案】

(1)①解:VZACB=90°,AC=8,BC=6,

:.AB=10,

':CD±AB,

SAABC=^BCAC=^AB-CD,

.BCAC6x824

••3—AB-10一了,

・•・线段CD的长为2日4;

②证明:;NB=NB,ZCDB=ZBCA=90°,

/.△CBD^AABC;

(2)解:如解图②,过点尸作尸HLAC,垂足为H,

由题可知CQ=t,

则CP==^-t,

,:ZACB=ZCDB=90°,

:.ZHCP=9Q°~ZDCB=ZB,

'JPHLAC,

:.ZCHP=90°,

:.ZCHP=ZACB,

.•.△CHPsdBCA,

.PHPC

""AC=BA,

24

.ST-'

810

11964

S=]CQ-PH=亍.一亨)=

288

125,

--<0,

5

•••当/=年时,s最大=卷;

八、七公12-14.4—24

(3)存在,。=弓~或与-或五•

【解法提示】①若CQ=CP,如解图①,则片三一力解得:仁羊;②若尸Q=

5。

PC,如解图②所示.,:PQ=PC,PHLQC,:.QH=CH=^QC=

L24_

f「HCP2t144

2.VACHP-ABCA.-*«6=-解得-骨;③若QC=QP,如

2424

解图③,过点。作QELCP,垂足为E,同理可得:/=曾.综上所述:当/为三

秒或行■秒或1T秒时'△CPQ为等腰三角形.

19.【答案】

⑴当点P在AC上时,

\"AM=t,PM=AM-tan600=\[3t,

1、八

•*.y=于•5t=¥»(0(二1),

,也

当t=1时,y最大=2;

当点尸在3C上时,PM=BM-

tan30。=掌4—。,

.•・y=%¥(4—/)=一乎尸+芈片一乎。—2)2+辛(1<<3),

当t=2s时,y最大=,

综上所述,

M,o</<i

|V3,2^3'

—91<?<3

•*•当t=2s时,y最大=g;

(2)':AC=2,:.AB=4,:.BN=AB-AM-MN=4-t~l=3-t.

J3

QN=BN-tan30°=掌3—t),

由题知,若要四边形MNQP为矩形,需PM=QN,且P,Q分别在AC,BC上,

即小/=乎(3—7),••"=/

3

・•.当/=取时,四边形MNQP为矩形.

3

(3)由(2)知,当/=^s时,

四边形MAQ尸为矩形,止匕时尸。〃A3,

.".APQC^AABC,

除此之外,当NCPQ=NB=30。时,

△QPC^AABC,此时晋=tan3(r=坐,

*/^^=cos60。=],.\AP=2AM=2t,

:.CP=2-2t,

..BN_ac。—啦.—BN2.

•BQ—cos30—2,•・BQ——(3-0,

2

又BC=2小,,CQ=24-卒(3-尸邛^,

2y[3t

••,^^二卓解得出,

.,.当f=;s或右时,以C,P,。为顶点的三角

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