2015-2024年高考数学试题分类汇编：平面向量（解析版）

冷感03年面向重

十年考情­探规律1

考点十年考情（2015-2024）命题趋势

考点1平面向量平行

2024•上海卷、2021•全国乙卷、2016•全国卷、

（共线）求参数

2015•全国卷

（10年4考）

考点2平面向量垂直

2024•全国甲卷、2024•全国新I卷、2023•全国

求参数

新I卷、2021•全国甲卷、2020•全国卷

（10年4考）

考点3平面向量的基1.掌握平面向量的基本概念、

2022•全国新I卷、2020•山东卷、2018•全国卷、

本定理及其应用线性运算及坐标运算，已知平

2015•北京卷

（10年4考）面向量的关系要会求参数

2024•全国新II卷、2023•北京卷、2023•全国新2.掌握基本定理的基底表示

考点4平面向量的模

II卷、2022•全国乙卷、2021•全国甲卷、2020•全向量、能在平面几何图形中的

长

国卷、2019•全国卷、2017•全国卷、2017•浙江应用

（10年7考）

卷3.掌握平面向量数量积的表

2023,全国乙卷、2022•全国乙卷、2022•北京卷、示和计算、会求平面几何图形

考点5求平面向量数

2020•山东卷、2021.全国新I卷、2022.全国甲中的范围及最值等问题。

量积

卷、2021•天津卷、2021•全国新II卷、2021.北

（10年9考）

京卷、2020•天津卷、2020•北京卷

2023•全国甲卷、2023•全国甲卷、2022•全国新

考点6求平面向量的

II卷、2020•全国卷、2019•全国卷、2016•全国

夹角

卷、2022.天津卷、2020•浙江卷、2019•全国卷、

（10年6考）

2019•全国卷

分考点•精准练

考点01平面向量平行（共线）求参数

1.（2024・上海•高考真题）已知左eR,M=（2,5）,B=（6/）,且0//方，则左的值为.

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】-.-a/Zb，.-.2k=5x6,解得左=15.

故答案为：15.

2.（2021・全国乙卷・高考真题）已知向量＜7=（2,5）石=（九,4）,若?/%,则2=.

【答案】I

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于4的方程，解方程即可求得实数2的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-/lx5=0,

Q

解方程可得：2=

故答案为：—■

3.（2016•全国•高考真题）已知向量讶=（",4）石=（3,-2）,且乙〃5，贝.

【答案】-6

【分析】由向量平行的坐标表示得出-2%-4x3=0,求解即可得出答案.

【详解】因为万〃5，所以—27"—4x3=0,解得加=-6.

故答案为：-6

【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

4.（2015•全国•高考真题）设向量心后不平行，向量上J+B与M+2B平行，则实数2=一

【答案】|

A=kf1

【详解】因为向量须+B与1+2石平行，所以阳+3=e万+2初，贝儿”所以几=：.

i=ZK,2

考点：向量共线.

考点02平面向量垂直求参数

1.（2024•全国甲卷•高考真题）已知向量万=（0,1）石=（2,x）,若B_L（，一4万）,则-=（

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求》的值.

【详解】因为石，0-4同，所以-44=。，

所以各2—471=0即4+/―4x=0,故尤=2,

故选：D.

2.（2024•全国新I卷•高考真题）设向量/=（X+1,X）,5=（X,2）,则（）

A."x=-3"是的必要条件B."x=-3"是"]/用"的必要条件

C."x=O"是"打,"的充分条件D."彳=一1+否”是"£/区”的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当时，则71=0,

所以尤•（尤+l）+2x=0,解得尤=0或_3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当尤=0时，tj=（l,O）,Zj=（O,2）,故Z/=0，

所以即充分性成立，故c正确；

对B,当；〃B时，则2（尤+1）=/，解得X=1土豆，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+g时，不满足2（x+l）=l,所以2/区不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

3.（2023•全国新I卷•高考真题）已知向量2=（1」）石=（1,-1）,若（a+。）_L（a+闻，则（）

A.%+//=1B.X+"=-1

C.=1D.办二-1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出Z+几方，Z+成，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详角星】因为a=（l,l）石=（1,一1）,所以〃+/13=（1+41—丸），a+〃B=（l+4，l—〃），

由（a+4石）_L（〃+成）可得，（〃+2万）・（4+4石）=0,

即+++=0,整理得：力/=_1.

故选：D.

4.（2021•全国甲卷•高考真题）已知向量£=（3,1）石=（1,0）,1=£+左若£_1入则左=.

【答案】

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量己的坐标，利用向量的数量积为零求得上的值

【详角军】•・•文=（3,1）,3=。,0）,「1=打+序=（3+匕1）,

=3（3+A:）+1x1=0,解得％=—岑，

故答案为：一个.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

万=a,%）国=（%,%）垂直的充分必要条件是其数量积占%+%%=o.

5.（2020•全国•高考真题）设向量a=（1,-1）,石=（机+1,2加一4）,若Z_L万，则加二.

【答案】5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由£_L石可得75=0，

又因为a=（1,-1）,S=（m+1,2m-4）,

所以〃♦B=1•（zn+1）+（-1）•（2zn-4）=0,

即m=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

考点03平面向量的基本定理及其应用

1.（2022•全国新I卷•高考真题）在AASC中，点。在边AB上，BD=2ZM.记衩=而丽=为，则而=（）

A.3m—2rlB.—2谕+3为C.3成+2亚D.2庆+3为

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA,所以丽=2次，即加-丽=2@-①），

所以而=3①一2包=3分一2而=—2,介+3限

故选：B.

2.（2020•山东・高考真题）已知平行四边形A8CD,点E,P分别是A3,2c的中点（如图所示），设荏=苕,

AD=b,则而等于（）

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案;

【详解】连结AC,则AC为41BC的中位线，

—1—.11-

EF=-AC=-a+-b,

222

D,C

F

故选：A

3.(2018•全国•高考真题)在回ABC中，为3c边上的中线，E为AD的中点，则丽=

3--1——1--3—.

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3--1―.1—.3―-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

一1一1__

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得8£=：氏4+：瓦9,之后应用向量

一3——1__

的加法运算法则——三角形法则，得到阮=丽+蔗，之后将其合并，得到+下一步应

44

.3―.1--

用相反向量，求得班=：AC,从而求得结果.

44

【详解】根据向量的运算法则，可得

心押+那号丽+近毛丽+;(丽+硝

1—,1—.1—.3—1-

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

___3___1___.

所以丽=—通—-AC,故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加

法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4.(2015•北京•高考真题)在MBC中，点M,N满足布7=2MC,丽=灰"若丽=xAB+yAC,则x=,

V=■

【答案】|

2o

【详解】特殊化，不妨设/C，丝,"=4,/C=3,利用坐标法，以A为原点，AB为X轴，AC为y轴,

建立直角坐标系，/(0,0),〃(0,2),C(0,3),庾4,0),N(2,9,MN=(2,-1),AB=(4,0),AC=(0,3),贝U

⑵-3=x(4,0)+y(0,3),4x=2,3y=-x=[,y=

2226

考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.

考点04平面向量的模长

L(2024•全国新H卷•高考真题)已知向量满足同=1,.+2目=2,且0-24篇，则忸卜()

A1n^2V301

r\,D.L.U.X

222

【答案】B

【分析】由仅得片=2/人结合忖=1,|£+2+2,得1+475+4片=1+6片=4，由此即可得解.

【详解】因为仅-2£心,所以e-2孙坂=0,即片=24，

又因为问=1诉+2目=2,

所以1+4。.B+4b=1+6b=4,

从而w=q.

故选：B.

2.(2023•北京•iWj考真题)已知向量2B满足4+B=(2,3),乙-5=(-2,1),则|苕『一出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量扇5满足N+石=(2,3),万一5=(-2,1),

所以|£『-出『=0+杨.②一历=2x(_2)+3xl=—l.

故选：B

3.(2023■全国新H卷•高考真题)已知向量5满足|"方|=道，,+.=恒-可，则忖=.

【答案】6

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令二=5-力，结合数量积的运算律

运算求解.

【详解】法一：因为|&+5卜忸一回，即心+孙=（2万询2,

贝唠+£力+力2=4?一4荽+到整理得/一2/=0，

又因为L=g,即回盯=3,

贝叶一2"+力2』2=3,所以*后

1Iir.rrrrrrrr

法二：设c=「—〃，贝=J3,a+b=c+2b,2a-Z?=2c+〃，

由题意可得：（c+26）=（2c+6）,贝，+4；5+薪=4：2+4；5+力2,

整理得：?/2,即川=1=后

故答案为：6

4.（2022•全国乙卷•高考真题）已知向量£=（2,1）石=（-2,4）,则卜（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得1M然后求得卜-4

【详解】因为々一石=（2』）一（一2,4）=（4,-3）,所以口一%胪+（-3）2=5.

故选：D

5.（2021•全国甲卷・高考真题）若向量£,加满足什=3,k-0=5,“出=1,则忖=.

【答案】3拒

【分析】根据题目条件，利用2d模的平方可以得出答案

【详解】中一闸=5

I一-|2一2一2一一|一|2

回〃一石=a+b一2〃•5=9+五-2=25

明=3亚

故答案为：372.

6.（2020•全国•高考真题）设万万为单位向量，且|。+5|=1,贝||@-刈=.

【答案】e

【分析】整理已知可得：1+囚=市+”,再利用为单位向量即可求得271=-!，对变形可得:

力卜J仲一2"用,问题得解.

【详解】因为£出为单位向量，所以口=|力|=1

所以卜+2々4+忖二亚+2〃•石二1

解得：2a;=-1

所以J*=gW=浦一2ZZ+用=6

故答案为：V3

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

7.(2019•全国•高考真题)已知向量£=(2,3)石=(3,2),则|%-司=

A.41B.2

C.572D.50

【答案】A

【分析】本题先计算Z-B，再根据模的概念求出|弓-石|.

【详解】由已知，13=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|力|=J(-l)2+F=0,

故选A

【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.由于对平

面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错.

8.(2017•全国•高考真题)已知向量M与5的夹角为60。，|乙|=2,|=1,贝力0+2b|=.

【答案】2H

【详解】团平面向量M与5的夹角为60°,同=2,忖=1

^a-b=2xlxcos60°=1.

团K+2方卜J(4+25)2=J62+4无5+(2斤=〃+4+4=2上

故答案为2vL

点睛：⑴求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式.

(2)同=后方常用来求向量的模.

9.(2017,浙江•高考真题)已知向量满足H=1,卜|=2,则上+可+1-目的最小值是,最大值

是.

【答案】42亚

【详解】设向量的夹角为凡由余弦定理有：归一@=JF+2?—2xlx2xcosd=j5-4cos，,

卜+=Qi2+22一2xlx2xcos(万一6)=,5+4cos0,贝［|：

|a+M+|a-B|=j5+4cosd+j5-4cosd,

令y=j5+4cos6+令-4cos6,则y?=10+2,25-16cos*e[16,20],

据止匕可得：（卜+目+卜-矶=7^=2君,（卜+目+>-矶.=A/16=4,

即日+4+卜-目的最小值是4,最大值是2石.

【名师点睛】本题通过设向量之坂的夹角为以结合模长公式，可得四+|力|=j5+4cos，+j5-4cosd,

再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求.

考点05求平面向量数量积

1.（2023・全国乙卷・高考真题）正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，则反•诙=（）

A.非B.3C.2芯D.5

【答案】B

【分析】方法一；以｛A民A。｝为基底向量表示EC,ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosNDEC,进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以为基底向量，可知,3卜,。卜2,42Y。=0,

uunuuruuniuunuumuunutruumIuunuum

则后。=班+3。=—43+4。,石£>=必+?1£>=—一AB+AD,

22

uunuun（iuunuumA（iuunuum、iutmuum

所以比即=匕人⑶+人叼]-5A5+AO）=-[A52+AD2=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则E（l,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

UUUUUU1

所以=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=y/5,CD=2,

DE。+CE?-DC?5+5-4_3

在ACDE中,由余弦定理可得cosZDEC=

2DECE一2xy/5x^5~~5

uimuun|Uimi|Uijn|3

所以石CEO=「q|£qcosNDEC=«x«xw=3.

故选：B.

2.（2022■全国乙卷碣考真题）已知向量行满足|a|=1,|坂|=括,|a-2石|=3,则（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：0|a-2^|2=|a|2-4a-b+4\bf,

又回团=1,|昨"5-251=3,

09=1-4无方+4x3=13-4落5,

0a-5=1

故选：C.

3.（2022•北京•高考真题）在AABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P为AABC所在平面内的动点，且尸C=l,

则丽•丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（cos0,sin。），表示出丽，丽，根据数量积的坐标表示、辅助

角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0,0）,4（3,0）,3（0,4）,

设尸（cossin。），［0,2句,

所以PA=（3-cos0,-sin<9）,PB=（-cos4-sin,

所以PA-丽=（-cos夕）x（3—cos9）+（4—sing）x（—sin8）

=cos2^-3cos^-4sin<9+sin23

=1-3cos8-4sing

=1—5sin（9+0）,其中sin*=g,cos^?=—,

因为一l<sin（6+0）<l,所以一4W1—5sin（9+夕）46,gpPA-PBG［-4,6］；

故选：D

4.(2020・山东•高考真题)已知P是边长为2的正六边形4BCDEF内的一点，则Q.通的取值范围是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(—2,4)D.«6)

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征，得到衣在福方向上的投影的取值范围是(-1,3),

利用向量数量积的定义式，求得结果.

可以得到正在同方向上的投影的取值范围是(-1，3),

结合向量数量积的定义式，

可知质・荏等于羽的模与X?在加方向上的投影的乘积,

所以而•荏的取值范围是(-2,6),

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的

定义式，属于简单题目.

二、多选题

5.(2021,全国新I卷•高考真题)已知。为坐标原点，点耳(cosa,sina),g(cos—sin/7),

(cos(a+/7),sm(a+/7)),A(l,0),则()

A.|珂=|阿B.国口网

C.OAOP3=O^Oi^D.次•西=西砥

【答案】AC

UUU1uuu

【分析】A、B写出OR,OR、A鸟的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐

标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：西=(cosa,sina),OP2=(cos/?,-sin,所以|西|=Jcos?a+sin2a=1,

|砥|=J(cos分)+(—sin/?)2=1,故|西|=|圾I，正确；

B：裕=(cosa-l,sina),AP^=(cos/7-l,-sin；0),所以

22222

|APX|=y](coscr-1)+sina-Vcosa-2cosa+1+sina=J2(l-cosa)二^4sin=21sin£|,同理

22

\AP21=^/(cos/?-l)+sin/7=2|siny|,故|福南|不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-OF^=1xcos(cr++0xsin(cr+/?)=cos(6Z+/3),

OP/OP?=cosa-cos/?+sincr•(-sin/?)=cos(cr+/7)，正确；

D：由题意得：=lxcosa+Oxsina=cosa,OP?OP3=cospxcos(6Z+^)+(—sinp)xsin(6z+/?)

=cos(P+(a+P))=cos(a+2p),故一般来说函.西w配.场故错误;

故选：AC

三、填空题

6.(2022•全国甲卷•高考真题)设向量九五的夹角的余弦值为g,且同=1,1卜3,则(2£+B)0=.

【答案】11

【分析】设Z与5的夹角为。，依题意可得COS6=；,再根据数量积的定义求出£石，最后根据数量积的运

算律计算可得.

【详解】解：设Z与B的夹角为，，因为Z与B的夹角的余弦值为:，即cose=g,

又忖=1,H=3,所以4-5=卜，卡卜。5。=1乂3*：=1,

所以(2a+B”=2a-B+B~=2。3+忖=2x1+3。=11.

故答案为：11

7.(2021・天津•高考真题)在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段8c上的动点，且交A8于

点、E.DB7AB且交AC于点七则|2而+而|的值为；(瓦+DF).西的最小值为.

【答案】1—

20

【分析】设3E=x,由(2而+力FT=4砺,+4诙-力F+力可求出；将(加+前).西化为关于x的关系式

即可求出最值.

【详解】设=•.•△ABC为边长为1的等边三角形，DE±AB,

:.NBDE=30°,BD=2%,DE=y/3x,DC=1—7.x,

•­-DF//AB,：.&DFC为边长为1-2x的等边三角形，DELDF,

:.(2BE+DF)2+4BEDF+DF2=4x2+4x(1-2x)xcos0-+(l-2x)2=b

2BE+DF\=1,

2

(DE+DF)-DA=(DE+DF)(DE+EA)=DE+DFEA

=(后1+(1—2x)x(1_x)=5/_3x+]=5+1,

所以当x*3时，(DE+研亦的最小值为1此1

故答案为：1；—.

A

8.(2021•全国新H卷•高考真题)已知向量a+B+c=6,忖=1,M=2,a-b+b'C+c-a=.

【答案】=o

【分析】由已知可得(Z+B+")2=O,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得=〃2+片+o2+2(〃.石+B・c+c.〃)=9+2(a/+B.c+c・a)=0,

因止匕，a'b+b'C+c-a=——.

2

故答案为：-g.

9.(2021・北京•高考真题)已知向量％瓦^在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,

则

(a+b)-c=；a-b=•

【答案】03

【分析】根据坐标求出亍+5,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】以江石交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

贝IJ万=(2,1),方=(2,-1),亍=(0,1),

a+Z?=(4,0),(a+&)-c=4x0+0xl=0,

a-^=2x2+lx（—1）=3.

故答案为：0；3.

________________3

10.（2020•天津•高考真题）如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,^.AD=ABC,ADAB=--,

则实数4的值为，若M,N是线段BC上的动点，且|昉|=1,则两.而的最小值为.

【分析】可得/BAD=120。，利用平面向量数量积的定义求得九的值，然后以点8为坐标原点，3c所在直

线为x轴建立平面直角坐标系，设点A1（x,0）,则点N（尤+1,0）（其中。〈尤45）,得出府.而关于无的函

数表达式，利用二次函数的基本性质求得力法.两的最小值.

【详解】-.AD=ABC，AD//BC,N3A£）=180°—N3=120°,

AB-AZ5=2BC-AB=2|BC|-|AB|COS120O

=2x6x3x1—g]=-92=,

解得H=

0

以点B为坐标原点，BC所在直线为尤轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy,

•,•BC=6,.-.C(6,0),

ffl|AB|=3,ZABC=60°,0A的坐标为A

--1—■

回又回AD=—2C,则。,设M（x,0）,则N（x+l,0）（其中0<x45）,

6

3⑻

2

西.两十一|卜一|]+[”]=X2-4x+y=（X-2）2+y,

13

所以，当x=2时，丽・丽取得最小值

2

113

故答案为：—；—.

62

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于

中等题.

11.（2020・北京•高考真题）已知正方形A3C。的边长为2,点P满足/=；（通+痔，贝lj|丽|=；

PBPI5=•

【答案】V5-1

【分析】以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为X、＞轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，

利用平面向量数量积的坐标运算可求得忸耳以及丽.丽的值.

【详解】以点A为坐标原点，A3、/⑦所在直线分别为X、＞轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点4（0,0）、8（2,0）、C（2,2）、£»（0,2）,

AP=1（AB+AC）=1（2,0）+1（2,2）=（2,1）,

则点尸（2,1）,.•.而=（-2,1）,丽=（0,-1）,

因此匕，|PD|=^（-2）2+12=V5,Pfi-PD=0x（-2）+lx（-l）=-l.

故答案为：下;-1-

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点尸的坐标是解答的关键，考

查计算能力，属于基础题.

考点06求平面向量的夹角

一、单选题

1.（2023•全国甲卷•高考真题）已知向量a=（3,l）,B=（2,2）,贝!|cos（a+B,a-B）=（）

A—B.叵C.@D.2

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得B+4M-阳R+方)0司，从而利用平面向量余弦

的运算公式即可得解.

【详解】因为2=(3,1)3=(2,2),所以£+5=(5,3),2—石=(1,一1),

则卜+B卜出?+3。=^/34,|<?—^|=V1+1=A/2,(a+b^-(a-b^=5xl+3x(―1)=2,

/----\(a+b\\a-b\?J17

所以cos(a+仇a一9=芸一「=-r=-T==—.

'/卜+用^-母v34xV217

故选:B.

2.(2023•全国甲卷•高考真题)已知向量扇5,0满足同=忖=1,同=&,J=La+5+c=0，贝!Jcos〈,-",B-")=

()

422

A.一一B.——C.-

555

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为M+B+I=G,所以5+方=-L

即才+于+2无5=已即1+1+25)=2,所以万Z=o.

如图，设况=。,砺=反灰

由题知,OA=OB=1,OC=6,2AB是等腰直角三角形,

A8边上的高OD=走,AD=走，

22

所以CZ)=CO+O£>=应+也=还，

22

tanZACD=-=-,cosZACD=」=

CD34l0'

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

3.(2022■全国新H卷•高考真题)已知向量£=(3,4),「=(1,0),"=£+正,^<a,c>=<b,c>,则/=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解:十（3+f,4）,cos仅，3=cos06,即§同=百，解得=5,

故选：C

4.（2020•全国•高考真题）已知向量a,B满足I商1=5,\b\=6,商/=一6，则cos<£,£+^>=（）

A31c1917r19

A.----B.----C.—D.—

35353535

【答案】D

【分析】计算出7R+B）、B+@的值，禾U用平面向量数量积可计算出cos<a,a+B>的值.

【详解】：忖=5,|同=6,7B=-6，二加（£+石）=忖+£,B=52-6=19.

—►—*I//­»—\2/—*2—*■-»—>21

a+b\=Jla+bj=ya+2a-b+b=J25-2x6+36=7,

a\a+b\1919

因止匕，cos<aa+b>=

9同卡+B广5x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,

考查计算能力，属于中等题.

5.（2019•全国•高考真题）已知非零向量£石满足，=2W，且G-分，则Z与B的夹角为

7171271571

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计

算等数学素养.先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量

夹角.

--_2a-b1_

【详解】因为所以②一分石=7万一片=0,所以7石=炉9，所以cosO=阡后=不诉=5,所以°

\Cl\,\u\Z|?|乙

与B的夹角为(，故选B.

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余

弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为［0,兀］.

6.(2016•全国•高考真题)已知向量院=(g，¥),BC=

贝l|NABC=

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】A

【详解】试题分析：由题意，得COSNABCIBFJIXZ+.X..，所以川C=30。，故选A.

【考点】向量的夹角公式.

【思维拓展】(1)平面向量。与》的数量积为。/=同依cosM,其中。是。与b的夹角，要注意夹角的定义和

,——ab

它的取值范围：0°<6><180°;(2)由向量的数量积的性质知⑷=«五，COS(9=------,a-b=Q<^a±b,

|a||31

因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.

二、填空题

7.(2022・天津・高考真题)在AABC中，乱=无函=5,。是AC中点，怎=2BE，试用扇B表示DE为

若通_1_方目，则/AC3的最大值为

3~1-n

【答案】—-«—

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以｛之母为基底,表示出AB,DE,ABA.DE

可得3片+/=4"日，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),由ABLAE可得点A的轨迹为

以M(T0)为圆心，以厂=2为半径的圆，方程为(x+