经济数学-线性代数课件：相似矩阵与二次型

相似矩阵与二次型第一节正交矩阵引入：我们曾经学习过直角坐标系中向量的数量积（点乘）。计算公式：两向量和的数量积：n维向量的内积正是上述数量积的推广。定义4.1.1内积一、内积的定义及性质实数说明

1.维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义。显然有:2.内积是向量的一种运算。如果都是列向量，内积可用矩阵记号表示为：内积的运算性质定义4.1.2

令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及夹角解单位向量夹角定义4.1.3

１正交的概念２正交向量组的概念正交定义4.1.4

若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。三、向量组的正交性零向量与任何向量都正交。证明３正交向量组的性质定理4.1.1以左乘上式两端，得注意：此定理反之不真。

设是一组线性无关的向量组，找一组两两正交的单位向量组，使和等价。这称之为将向量组规范正交化。4把向量组规范正交化的方法（1）正交化取：若是一组线性无关的向量组。那么，两两正交，并且与等价。（2）单位化取：上述由线性无关向量组构造出正交向量组的过程称为施密特正交化过程。那么就是一组规范正交化的向量组。例1

用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解

先正交化，取再单位化，得规范正交向量组如下四、正交矩阵与正交变换

A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交。证明定义4.1.5正交矩阵定理4.1.2例2

判别下列矩阵是否为正交阵。解（1）考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它不是正交矩阵。由于所以它是正交矩阵。性质：（1）若为正交矩阵，则即也是正交矩阵，并且证：（2）若、都是正交矩阵，则也是正交矩阵。证：定义4.1.6

若P为正交阵，则线性变换称为正交变换。性质

正交变换保持向量的长度不变。证明第二节方阵的特征值

与特征向量

定义4.2.1

设A是阶方阵，如果数和维非零列向量,使关系式成立，那末，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量称为A的对应于特征值的特征向量。一、特征值与特征向量的概念(1)式的等价形式为该齐次方程组有非零解的充要条件是例1

设求A的特征值与特征向量.解第一步：写出特征多项式第二步：求解特征方程令＝0，解得：第三步：将代入方程组，求其解，即得到对应于的特征向量。当时，对应的特征向量应满足即：得相应的同解方程组为：其基础解系为：因此，对应于的特征向量可取为同理，可得对应于的特征向量为例2

设求A的特征值与全部特征向量.解得的特征值为：解之得基础解系为：性质4.2.1设是方阵的特征值一般地，特征值的特征向量记为性质4.2.2

矩阵的一个特征向量只能属于一个特征值.性质4.2.3

阶方阵与具有相同的特征值.例3

证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得否则，设则有由于可逆，故推出矛盾。

性质4.2.4设是方阵的特征值，若则是的特征值。设2是方阵的一个特征值，则的一个特征值为解：由已知，得因此可逆，且所以，由特征值的性质，有故的特征值为

设3阶矩阵的特征值为1，-1，2，求：例4于是，定理4.2.1证明则即类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的。２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量。３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值。4.

的n个特征值就是第三节相似矩阵

定义4.3.1

设A，B都是阶方阵，若有可逆方阵P，使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与矩阵B相似.对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.一、相似矩阵的概念与性质定理4.3.1

若A与B相似，则A

的特征值与B的特征值相同.证明推论4.3.1

若阶方阵A与对角阵利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.

定理

4

.3.2

阶方阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量.证明二、方阵的对角化命题得证.

如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化。推论4.3.2说明例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解所以基础解系中必含有两个线性无关的解向量.故必有3个线性无关的特征向量,因而可以对角化.又当时,故B不能化为对角矩阵.当时,显然,故B

没有3个线性无关的特征向量.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以A可对角化.注意即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应。例3问取何值时，能对角化？解：令，解得的特征值为：当时，因此，三、实对称矩阵的对角化说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵。定理4.3.3

对称矩阵的特征值为实数.定理4.3.4

设是对称矩阵的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交。

推论4.3.3定理4.3.5说明设A的互不相等的特征值为它们的重数依次为这样的特征向量共可得n个.

由定理4.3.4知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵P，则求A的特征值;将特征向量正交化;将特征向量单位化.

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：1234（1）解：第一步求A的特征值例4求出正交矩阵P，使为对角阵.设解之得基础解系

解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化第四节二次型一、二次型的概念及其矩阵称为二次型.定义4.4.1只含有平方项的二次型称为二次型的标准形(法式).例如都为二次型；为二次型的标准形.如果标准型的系数只在1，0，-1三个数中取，即称为二次型的规范型.系数为实数的二次型称为实二次型；系数为复数的二次型称为复二次型.注：若没有特别说明，本节中所讨论的为实二次型.1.用和号表示对二次型二次型的表示方法2.用矩阵表示记：则二次型可记为：在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型。这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。对称矩阵A叫做二次型f的矩阵；f叫做对称矩阵A的二次型；对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩。解例设二、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形。证明即B为对称矩阵.定理4.4.1注意：称这样的矩阵与合同。要使二次型f经可逆变换X=CY变成标准型，就是要使定理4.4.2推论4.4.1用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1.写出二次型的矩阵解1.写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例1将二次型通过正交变换x=Py

，使其化为标准形。接下来利用例4.3.2的结果，求出正交矩阵于是有正交变换x=Py，使f化为标准形如果要把二次型f化为规范形，只需令即得f的规范形三、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩。下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质。定理4.3.3（惯性定理）第五节正定二次型为正定二次型为负定二次型一、正定二次型的定义定义4.5.1例如定理4.5.1证明先证充分性.故二、正定二次型的判别再证必要性，用反证法.故

对称矩阵A为正定的充分必要条件是：

A的特征值全为正.推论4.5.1

若对称矩阵A正定，则A的行列式大于零，反之未必.推论4.5.2定理4.5.2

对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即这个定理称为霍尔维茨定理.解它的顺序