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文档简介

齐次线性方程组

解的结构复习推论

n元线性方程组有无穷解的充分必要条件是（1）无解的充分必要条件是n元线性方程组并且①有惟一解：（2）有解的充分必要条件是②有无穷解：3.4.1齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.

证明（2）若为的解，为实数，则也是的解.证明用表示齐次方程组的全体解向量所组成的集合，则由这两个性质知中一定含有无穷多个解向量，因此是一个含有无穷多个向量的向量组，故只要找到的一个最大无关组，就能把表示出来。定义3.4.1设齐次方程组有非零解，如果它的s个解向量满足：（1）线性无关；（2）的任何一个解都可以由线性表示，即则称是方程组的基础解系.3.4.2齐次线性方程组解的结构并且方程组的通解为：定理3.4.1

n元齐次方程组，设系数矩阵的秩，则的基础解系存在：

其中，为的一个基础解系，

为任意实数例3.4.1

求线性方程组的基础解系，并写出其通解。解令为自由未知量，得：代入上述方程组，得

原方程组的一个基础解系为：

故原方程组的通解为上面的方法是先写出基础解系，再写出通解而3.1节介绍的方法是先写通解，再写出基础解系即由得到上式中令，则从而，原方程通解为由上述通解，可得是原方程组的一个基础解系另外，在若取得则得到不同的基础解系从而通解为练习1：求齐次方程组的基础解系和通解。得基础解系：令得基础解系：若令练习2.求，使齐次方程组有非零解，并求通解。解：所以，当＝0即=0或1时，有非零解。（1）将＝0代入原方程组，得到由于，基础解系含有一个解向量，取为自由未知量，得同解方程组为令＝1，则基础解系为通解为，其中为任意常数。（2）同理将＝1代入原方程组，得到由于，基础解系含有一个解向量，

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