经济数学-线性代数课件：矩阵

矩阵第一节矩阵线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究。由个数排成的行列的表称为一个矩阵。记为二、矩阵的定义简记为:定义2.1.1例如是一个矩阵。是一个矩阵例1.某厂向三个商店发送四种产品的数量可以列成矩阵这四种产品的单价及单件重量可以列成矩阵空调冰箱29”彩电25”彩电甲商店乙商店丙商店

售价（百元）重量（千克）

空调冰箱29”彩电25”彩电说明（1）矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数也可以不同。（2）当时，称A为阶方阵。（3）只有一行或一列的矩阵（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或。注意分别称为行（）和列（）矩阵。（５）矩阵称为单位矩阵（或单位阵）。称为对角矩阵（或对角阵），记为:第二节矩阵的运算一、矩阵的加法定义2.2.1设有两个矩阵那末矩阵与称为同型矩阵。设有两个同型矩阵A和B，如果对应的元素分别相等，则这两个矩阵相等。设有两个矩阵那末矩阵与的和记作A+B，规定为说明

只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。例如

矩阵加法的运算规律定义2.2.2数与矩阵A的乘积记作或，规定为二、数与矩阵相乘（设A、B为矩阵，为数）数乘矩阵的运算规律三、矩阵与矩阵相乘引例.某厂向三个商店发送四种产品的数量可以列成矩阵这四种产品的单价及单件重量可以列成矩阵空调冰箱29”彩电25”彩电甲商店乙商店丙商店

售价（百元）重量（千克）

空调冰箱29”彩电25”彩电则该公司向每商店售出产品的总售价及总重量，用矩阵表示恰好是：

售价重量甲商店乙商店丙商店定义2.2.3设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中并把此乘积记作例１设例２那么

注意

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，乘积矩阵的行数是第一个矩阵的行数，列数是第二个矩阵的列数。例如无法相乘矩阵乘法的运算规律（其中为数）注意（1）矩阵不满足交换律，即：例３

设则注意（4）只有单位矩阵才能写成AE=EA=A注意（3）若A,而A(X-Y)=,不能得出X=Y注意（2）若AB=,不能说明A=或B=但也有例外，比如设则有若方阵AB=BA，称A与B是可交换的。例４

计算下列乘积：解解=（）=三、方阵的幂

若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且定义2.2.5解例５由此归纳出注意：定义2.2.6

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记为。例三、矩阵的转置运算性质定义2.2.7设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。例如：显然，单位矩阵E是对称阵。思考：一个行矩阵乘以一个同阶的列矩阵，结果是什么？

一个列矩阵乘以一个同阶的行矩阵，结果是什么？例6设列矩阵满足E为n阶单位矩阵，；证明：是对称矩阵，并且证明：故H是对称阵。定义2.2.8

由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质四、方阵的行列式注意：称为方阵的伴随阵。定义2.2.9行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵：伴随矩阵例6：设矩阵，求解：按定义同理所以由此可见，用定义求伴随矩阵是非常麻烦的。伴随矩阵经常用到一个性质。性质：证明：性质：已知3阶方阵A的行列式|A|=2，求？性质：练习：三阶矩阵的伴随矩阵为已知，求128第三节逆矩阵

在数的运算中，当数时，，其中为的倒数，（或称的逆）；在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵使得，则矩阵称为的可逆矩阵或逆矩阵。一、概念的引入定义2.3.1

对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使得则说方阵是可逆的，并把方阵称为的逆矩阵。

若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的。证明设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的。注意：因此的逆矩阵记为定理2.3.1

矩阵可逆的充要条件是且

证明若可逆，由伴随矩阵的性质又（必要性）（充分性）

二、判定可逆的方法解由此可见，用伴随矩阵求逆矩阵是行不通的，该方法只适用于对二阶矩阵求逆。例如解例2：求解矩阵方程解解例3设三阶矩阵，满足关系又所以推论2.3.1:证明:若或（满足之一），则因此，以后再验证与互逆，只需验证定义中的一半即可。

例4设方阵满足,证明及都可逆，并求及这属于抽象矩阵求逆，一定要用逆矩阵的推论来求。可逆矩阵的运算性质：(4)若可逆，则亦可逆，且补充：伴随矩阵的性质第四节矩阵的初等变换引例：用消元法求解方程组解：于是解得

上述过程中始终把方程组看作一个整体变形，用到了如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）用不等于零的某一个数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍。

上述三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的。故这三种变换是同解变换。

实际上，从解方程的过程可看出，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算。若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换。（B）定义2.4.1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换而不是记作

矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换。

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同。

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)。

如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A~B。等价关系的性质：定义2.4.2矩阵的初等变换解方程组（1）如下：（1）对应的方程组为即矩阵和都称为行阶梯形矩阵。

每一行的第一个非零元的下方的元素全是零的矩阵称为行阶梯形矩阵。定义2.4.3其中，的每一行的第一个非零元都是1，并且它所在的这一列中其余元素都是零,称这样的矩阵为行最简形矩阵。定义2.4.4练习：下列四个矩阵中，哪些是行最简矩阵？例1把矩阵利用初等行变换化为行最简形矩阵。解：再把进行初等列变换

所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.的左上角是一个单位矩阵，其余的元素全为零,称为的标准形。注意：可逆矩阵只须经过有限次初等行变换后就可以化成标准形，其标准形就是同阶的单位矩阵。可逆矩阵与同阶的单位矩阵等价。二、用初等变换求逆阵定理2.4.1

设

与

为矩阵，那么：（1）的充要条件是存在

阶可逆矩阵,使（2）的充要条件是存在

阶可逆矩阵,使(3)

矩阵的充分必要条件是：存在阶可逆方阵及阶可逆方阵，使利用初等变换求逆阵的方法：若A可逆，则

解例2例3

解例4.设的行最简形矩阵为，求，并求一个可逆矩阵，使。分析：解：例5设求矩阵，使解：对两边转置得，则第五节矩阵的秩例如二阶子式三阶子式一、矩阵秩的概念定义2.5.1

在中，任取行列位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为的阶子式。规定零矩阵的秩是0.注意（1）若中有某个阶子式不为零，则；若中所有阶子式全为零，则定义2.5.2

设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式全为零，称为的最高阶非零子式，的阶数称为的秩。记为。可逆矩阵又称为满秩矩阵；不可逆矩阵又称为降秩矩阵。(4)对于可逆矩阵，它的最高阶非零子式即为，因此可逆矩阵的秩为（3）（2）为阶矩阵，则例1求矩阵A和矩阵B的秩，其中解而的三阶子式只有一个又所以易看出一个三阶子式试求矩阵的秩例2已知因为解

一般的矩阵，当行数和列数较高时，用定义求秩很麻烦，但对行阶梯形矩阵，它的秩就是非零行的行数，上节知道：二、矩阵秩的求法定理2.5.1：若，则试求矩阵的秩例2已知解注意：求的秩，只须把化为行阶梯形矩阵即可，不必再化为行最简形矩阵。注意：此定理反之不真。同型矩阵秩相等必等价。定理2：若，则即如果，则矩阵不一定与等价。

推论：若可逆矩阵，使，则例３解不妨取再不妨取再求的一个最高阶非零子式.由知,的最高阶非零子式为3阶行列式则这个子式便是的一个最高阶非零子式。再求的一个最高阶非零子式.由知,的最高阶非零子式为3阶行列式例4解下面以B作为增广矩阵写出对应的方程组为：则该方程组必无解。主要内容典型例题第二章矩阵及其运算

习题课矩阵特殊矩阵概念定义方阵行（列）矩阵同型矩阵和相等矩阵零矩阵单位矩阵转置矩阵（反）对称矩阵幂等矩阵对合矩阵正交矩阵伴随矩阵对角矩阵上（下）三角矩阵方阵的运算逆矩阵定义相关定理及性质分块矩阵方阵的幂方阵的行列式矩阵相乘数乘矩阵运算及其性质矩阵相加１矩阵的定义对(1)式，当m=n时，A称为n阶方阵。２方阵列矩阵行矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。３同型矩阵和相等矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。主对角线上的元素都是1，其它元素都是0的n阶方阵，叫做n阶单位阵，简记作E。４零矩阵单位矩阵运算规律交换律A+B=B+A结合律(A+B)+C=A+(B+C)５矩阵相加运算规律６数乘矩阵７矩阵相乘运算规律n阶方阵的幂８方阵的运算方阵的行列式运算规律转置矩阵９一些特殊的矩阵对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵对合矩阵正交矩阵对角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵。下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵。伴随矩阵定义设A为n阶方阵，如果存在矩阵B，使