经济数学课件-最优方案的分析与选择

最优方案的分析与选择名言汪应洛管理就是用一定的资源创造尽量多的价值，在创造一定价值的时候使用尽量少的资源。换言之，就是要追求成本最小化与价值最大化之间的协调。故事

2004年10月，三元牛奶在大本营北京退居第三，而在巅峰时期，三元曾占据了北京市场的8成。中国奶业的市场规模在近年增幅明显减小，而在面对蒙牛、伊利等主要的对手竞争下，三元牛奶品牌力不如对手，价格缺乏竞争力，成本控制乏力，2004年三元牛奶在大本营的失利是必然的。最近，面临窘境的三元不得不走一步险棋——产品涨价，原本卖0.95元的三元加钙奶现在卖到了1元，原本卖1元的三元纯鲜奶卖到了1.15元。很明显，三元希望通过涨价摆脱亏损的困境，但这只是企业的一厢情愿。据报道，涨价后，北京一些社区的牛奶批发点减少了三元牛奶的进货数量，北京之外部分省市的终端上，三元的产品也已经没了踪影。涨价是否会成为三元新一轮市场份额下滑的开端？这是他们的最优方案吗？目录最大利润问题及解决方案1.使用微软数学讨论极值问题2.极值问题典型案例3.进一步学习的数学知识：极值与最值4.第一节最大利润问题及解决方案一、问题引入引例1：某超市购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，但最高价格不能超过每件32元。假定每月销售件数y(件)是价格

x

(元/件)的一次函数。(1)试求y与x之间的函数关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，销售价格为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？问题分析：

第一节最大利润问题及解决方案(1)设y=kx+b,依题意,当x=20时,y=360;x=25时，y=210,故解得则第一节最大利润问题及解决方案(2)设每月所得总利润为L元，总利润=总收入－总成本，则

显然，当x=24时，L有最大值。即销售价格为24元/件时，可使每月所获利润最大，每月的最大利润为1920元。在这个问题中，我们注意到,x=24时的边际利润为0。那么边际利润等于0的时候，是不是保证一定可达到最大利润呢？我们先把这个悬念留到后面。第一节最大利润问题及解决方案二、典型问题解决方案(1)式表明产出的边际收益等于边际成本，在经济学中称为“最大利润原则”或“亏损最小原则”。

(1)

最大利润或最小成本问题:

设某产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q),则总利润函数L(Q)可表示为L(Q)=R(Q)-C(Q)

。我们知道，如果L(Q)的导数存在，则要使利润最大，必须使产量

Q满足条件

，即第一节最大利润问题及解决方案当然，满足的产量并不能保证使利润最大，这时，我们的判断办法一般有两种。第一种，如果在左侧附近的值大于0、在右侧附近的值小于0，那么可以判定为利润最大值点。第二种，如果使的只有一个，而根据问题的实际意义，利润最大值点又肯定存在，那么，当产量为时，利润取得最大值。第一节最大利润问题及解决方案按照经济学的解释，总成本由固定成本和可变成本两部分构成，且可变成本随产量的增加而增加，因此总成本一般来说没有最小值(除非不生产)，在经济学上有意义的是单位成本(即平均成本)最小的问题，假设某种产品的总成本为C(Q)，则生产的平均成本为如果平均成本函数可导，则要使最小,就必须使产量Q满足条件即

(2)(2)式表明产出的边际成本等于平均成本，这是微观经济学中的一个重要结论．第一节最大利润问题及解决方案案例1设每日生产某产品的总成本函数为产品单价为60元，问每日产量为多少时可获最大利润?解决方案总收益R(Q)=PQ=60Q,总利润令,得唯一驻点(导数等于0的点)＝200。第一节最大利润问题及解决方案根据问题的实际意义，总利润最大的点一定存在，所以，当日产量为=200单位时可获最大利润，最大利润为第一节最大利润问题及解决方案案例2设某产品的总成本函数为C(Q)=54+18Q+6Q2

试求平均成本最小时的产量。解决方案因为＝+18+6Q，

令，得Q=3(Q=-3舍去)所以当产量Q=3时可使平均成本最小．第一节最大利润问题及解决方案

注：由实践经验可得，在实际问题中，如果我们确定所讨论的可导函数f(x)存在最大值或最小值，并且f(x)在x的取值范围内只有一个导数为零的点，那么该点就是所求的最大值点或最小值点。第二节使用微软数学讨论极值问题一、典型案例让我们继续来研究第一节的案例1，设每日生产某产品的总成本函数为产品单价为60元，问每日产量为多少时可获最大利润?第二节使用微软数学讨论极值问题二、解决方案案例1的基本求解步骤如下：第一步：求出总利润函数L(Q)；第二步：求出边际利润函数；第三步：求使边际利润等于0的产量，也就是解方程第四步：判断是否为利润最大值点；第五步：如果是，将代入利润函数，求出最大利润。其中，第二、第三和第五步都可以用微软数学来实现。第二节使用微软数学讨论极值问题三、微软数学求解演算步骤第一步：在主界面左侧的计算器键盘中依次点击【微积分】→【】第二步：在右侧工作表输入窗口的括号“()”中输入利润函数，如图4-1所示。图4-1输入利润函数第二节使用微软数学讨论极值问题第三步：单击工作表右下角的【输入】，将计算出，如图4-2所示。图4-2计算利润函数的导数第二节使用微软数学讨论极值问题第四步：在右侧工作表输入窗口输入如图4-3所示内容(可通过双击图4-2的输出结果简化等号左边内容的输入)。图4-3输入方程

第二节使用微软数学讨论极值问题第五步：单击【输入】，得到(舍去)，如图4-4所示。图4-4计算的产量第二节使用微软数学讨论极值问题第六步：在工作表中输入如下内容，如图4-5所示，得产量为时的利润为3000元，这是最大利润。图4-5计算最大利润第三节极值问题典型案例案例1以价格优势抢占市场份额，平均成本最低天虹彩电为了在市场竞争中以价格优势抢占市场份额，在集团内实施“以平均成本最低为目标”的经营策略，根据以往的统计资料，生产总成本C（单位：百万元）是月产量Q（单位：万台）的函数问：月产量应为多少台，才能实现平均成本最低的目标？每台彩电的平均成本为多少元？第三节极值问题典型案例解决方案本例以平均成本函数为目标函数，由总成本函数得平均成本函数为令得=9.798(只取正值)，第三节极值问题典型案例且当0＜Q<9.798时，

当Q

＞9.798时,故当产量为Q=9.798(万台)时，平均成本函数有极小值，其值为=1164（元/台）。(百万元/万台)第三节极值问题典型案例案例2“薄利多销”以使收益最大爱心牌衬衣，若定价为每件50元，一周可售出1000件，市场调查显示，每件售价每降低2元，一周的销售量可增加100件，问每件售价定为多少元时，能使商家的销售额最大，最大销售额是多少？解决方案销售额最大，就是收益最大，所以目标函数是总收益函数。设因降价可多销售Q件衬衣，则销售的总件数为1000+Q第三节极值问题典型案例依题设，每件衬衣售价每降低2元，销售量可增加100件，现因降价多销售了Q件衬衣，故每件衬衣应降价

元，从而，每件衬衣的售价P应为原售价减去每件衬衣应降低的价格，即由上式，当P=0时，Q=2500，即因降价最多可多销售2500件。

第三节极值问题典型案例这时，总收益函数为售价与销售件数的乘积，即令得Q=750第三节极值问题典型案例且＜750时，＞750时，故Q=750(件)时，销售额最大。此时，每件衬衣的售价为P=50－0.02×750=35(元/件)，最大销售额为R=35×(1000+750)=61250(元).第三节极值问题典型案例案例3确定组团人数以使旅行社利润最大？某旅行社举办风景区旅行团，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张机票降到450元为止。每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，问每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润为多少？解决方案这是求利润最大值问题，依题意，对旅行社而言，机票收入是收益，付给航空公司包机费是成本。第三节极值问题典型案例设x表示每团人数,p表示飞机票的价格，因所以每团人数最多为30+45=75(人)，飞机票的价格旅行社的利润函数为第三节极值问题典型案例因显然，当时，有x=60第三节极值问题典型案例又30＜x＜60时，

当60＜x≤75时，

所以，当x=60人时，利润函数取极大值，即每团60人时，旅行社可获得最大利润，最大利润为第四节进一步学习的数学知识：极值与最值一、高阶导数定义1

如果函数y=f(x)的导数

仍是x的可导函

数，则称的导数为f(x)

的二阶导数，记作或

或

或

即类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,记作或四阶或四阶以上的导数记作或第四节进一步学习的数学知识：极值与最值称为函数f(x)的一阶导数,二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.函数f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导.例1设,求解,,例2设,求解,…,,,第四节进一步学习的数学知识：极值与最值二、函数的极值定义1设函数y=f(x)在

的某邻域内有定义，且在此邻域内的任意一点,均有

，则称

是函数f(x)的一个极大值；同样，如果对此邻域内任一

点

，均有

，则称

是函数f(x)

的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点

，称为函数的极值点。特别注意：函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值可能比极小值还小．第四节进一步学习的数学知识：极值与最值图4-6如图4-6所示：均是的极小值；均是的极大值．显然，极小值大于极大值。从图4-6可以看出，在函数取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处，必有于是有下面定理：第四节进一步学习的数学知识：极值与最值定理1(极值的必要条件)

设

y=f(x)在点

处可导，且在点

处取得极值，那么

．定理1告诉我们，可导函数f(x)的极值点必是它的驻点。反过来，驻点却不一定是f(x)的极值点。比如x=0是函数

的驻点，但不是它的极值点。第四节进一步学习的数学知识：极值与最值此外，函数f(x)的极值点还可能是导数不存在的点。例如，

函数在x=0处不可导，但它在该点处取得极小值(图4-7).图4-7总之，连续函数f(x)的可能极值点只能是其驻点或不可导点。为了判断函数在可能极值点处是否取得极值，有如下定理。

第四节进一步学习的数学知识：极值与最值定理2(极值的第一充分条件)设f(x)在点

连续，在点

的某一空心邻域内可导．当x

由小增大经过时，如果（1）

由负变正，那么f(x)

在点

取得极小值；（2）

由正变负，那么f(x)

在点

取得极大值；（3）

不变号，那么不是极值点。定理3(极值的第二充分条件)设f(x)在点

具有二阶导数

，且（1）

如果，那么f(x)

在点

取得极小值；（2）

如果，那么f(x)

在点

取得极大值。第四节进一步学习的数学知识：极值与最值例3求函数的极值．解(法一)

函数的定义域为，且令，得驻点。在内，，在内，由定理2知，f(1)=7为函数f(x)的极大值。

同理，可得f(3)=3为f(x)的极小值。

第四节进一步学习的数学知识：极值与最值有时，可将整个解题过程以表格形式表示如下：

1

3

+0

_

0

+极大值f(1)=7

极小值f(3)=3第四节进一步学习的数学知识：极值与最值（法二）函数的定义域为，且令，得驻点因为，由定理3知f(1)=7为极大值,f(3)=3为极小值。

第四节进一步学习的数学知识：极值与最值三、函数的最值如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是多少？请你不防去测量一个？为什么这些公司会选择这种比例呢？企业常考虑用最低的成本获取最高的利润，在设计易拉罐时，大饮料公司除考虑外包装