经济数学课件：概率计算与成果因素分析

概率计算与成果因素分析名言安东尼•罗宾成功呈概率分布，关键是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。故事美国的“乐透”彩票上印有1-54的数字，由买者任意选择6个数字涂黑，经电脑记录后就算成交。开奖时，6个数字全部填对为第一大奖，5个数字猜对为二等奖，……。未中奖的奖金则挪到下一次作为累积奖金，越积越多，据计算，获第一大奖的概率为2580万分之一。到目前为止，获得最高奖金的是1988年佛罗里达州的一位63岁的女士，她得了5500万美元的巨额奖金。当时，她拿出一份报纸，从第一页到第六页各找出一个新闻记事上的数字来；然后，按序涂在彩票上，她就是这样发了大财。这真可谓是“点数成金”了。目录彩票设计问题及解决方案1.使用Excel进行概率计算2.可能性与机遇问题典型案例3.进一步学习的数学知识：概率初步4.第一节彩票设计问题及解决方案一、问题引入引例：近年来，“彩票飓风”席卷中华大地，巨额奖金的诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”彩票采用“10选6+1”方案：先从6组0～9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0～4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0～9中任选6个基本号码（可重复），从0～4中任选1个特别号码，构成一注。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表11-1所示（X表示未选中的号码）。第一节彩票设计问题及解决方案中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中6+1二等奖abcdef选7中6三等奖abcdeXXbcdef选7中5四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中4五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中3六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中2表11-1传统型中奖等级情况表第一节彩票设计问题及解决方案

“乐透型”有多种不同的玩法，比如“33选7”的方案：先从01～33号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01～33号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案：先从01～36号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01～36号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表11-2所示。第一节彩票设计问题及解决方案中奖33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）等级基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中7●●●●●●★选7中6+1二等奖●●●●●●○★选7中6+1●●●●●●选7中6三等奖●●●●●●○选7中6●●●●●○★选7中5+1四等奖●●●●●○○★选7中5+1●●●●●○选7中5五等奖●●●●●○○选7中5●●●●○○★选7中4+1六等奖●●●●○○○★选7中4+1●●●●○○选7中4七等奖●●●●○○○选7中4●●●○○○★选7中3+1表11-2乐透型中奖等级情况表第一节彩票设计问题及解决方案问题分析与假设：

（1）“传统型”要求基本号码是连号，如‘xbcdxf’表示与基本号码相符合的是‘bcd’，首尾相连的情况视为不连续，如‘axxxxf’视为无奖；（2）“传统型”的抽奖号码可以重复，而“乐透型”中不管是“7/33”还是“6+1/36”的形式，投注者的抽取号码不允许重复；（3）单注投注金额为两元，总奖金为当期销售总额的50％，且此比例固定不变；（4）低项奖单注奖金固定，高项奖金额按比例分配为浮动值，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元；（5）假定各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同。第一节彩票设计问题及解决方案

解决方案：“传统型”彩票中奖概率：记为各个奖项的中奖概率，经过对表11-1的分析，利用古典概率的相关知识，很容易就可以求出各奖项出现的概率，见表11-4。第一节彩票设计问题及解决方案第一节彩票设计问题及解决方案

“乐透型”彩票中奖概率：记为各个奖项的中奖概率，经过对表11-2的分析（这里只计算“33选7”及“36选6+1”两种情形），利用古典概率的相关知识，可以求出各奖项出现的概率，见表11-5。第一节彩票设计问题及解决方案第一节彩票设计问题及解决方案第一节彩票设计问题及解决方案进一步，表11-3中各方案奖项获奖概率及获奖总概率的计算如表11-6。我们不难发现：对所列的29种彩票奖金设置方案，方案23获奖总概率最大，对彩民最具吸引力。第一节彩票设计问题及解决方案第二节使用Excel进行概率计算一、彩票的中奖概率

典型案例：某地发行福利彩票，每张彩票的号码是7个数字的无序数组，开奖时，用一个摇奖机，里面装有分别写上01,02,…，35的35个小球。充分搅拌这些小球一分钟，从出口处掉出一个小球，记下小球上的数字。摇出的小球不放回摇奖机中，重复刚才的做法，一直到产生一个7个数字的无序数组，记作a，设有一、二、三等奖。规定：彩票号码与a完全一样时，得一等奖；彩票号码与a有6个数字一样时，得二等奖；有5个数字一样时，得三等奖。试问：买一张彩票，中一、二、三等奖的概率各是多少?第二节使用Excel进行概率计算

2.解决方案：根据题意，将问题转化为一个袋子中有35个彩球，其中红球7个，白球28个，每次随机的取出一只，第一次取到的球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，共取7次，求取到7球中全是红球、有6个红球和有5个红球的概率。经过转换，问题变为无放回的随机抽样(超几何分布)，根据其概率分布（详见本章第四节）即可计算出相应的概率值。

3.解决办法：利用Excel中的超几何分布函数(HYPGEOMDIST函数)可计算出相应参数下超几何分布的概率。第二节使用Excel进行概率计算4.使用Excel的求解步骤

第一步：新建一个工作表，输入表头“应用超几何分布函数HYPGEOMDIST求概率”。第二步：分别单击C2、E2、C3和E3单元格，输入已知参数:N=35，M=7，n=7，x=7。

第三步：运用HYPGEOMDIST求7个球中全为红球的概率，在B5单元格输入“=HYPGEOMDIST(E3，C3，E2，C2)”，结果如图所示。第二节使用Excel进行概率计算二、保险赔付概率

典型案例：某保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份。在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率。第二节使用Excel进行概率计算

2.解决方案：死亡人数X服从的二项分布（详见本章第四节），根据泊松定理，当n很大、p很小时，二项分布的概率值可由参数为的泊松分布的概率值近似，此案例中，通过泊松分布（详见本章第四节）的概率分布函数可求得相应的概率值。

3.解决办法：利用Excel中的泊松分布函数(POISSON函数)可计算出相应参数下的概率。第二节使用Excel进行概率计算4.使用Excel的求解步骤

第一步：新建Excel工作表，输入表头“应用泊松分布函数POISSON求概率值”。

第二步：分别单击C2、E2单元格，输入己知参数。第三步：求该公司对于这批投保人的赔付总额等于30万元的概率（即死亡人数为10个），单击C4单元格，输入“=POISSON（E2,C2,0）”。第四步：求该公司对于这批投保人的赔付总额小于30万元的概率。单击C4单元格，输入“=POISSON（E2,C2,1）”，结果如图所示。第二节使用Excel进行概率计算

应用POISSON分布函数求概率值

第三节可能性与机遇问题典型案例案例1车床故障维修问题

某车间有160台同型号的自动车床独立工作，每台车床发生故障的概率都是0.01，假设发生故障时每台车床必须由一名技师处理。若由一名技师负责维修20台车床，求车床发生故障时不能及时维修的概率。若由3名技师共同负责维修80台，求车床发生故障时不能及时维修的概率。第三节可能性与机遇问题典型案例1.问题分析

用X表示同一时刻发生故障的车床数。第一种情形，X服从的二项分布，车床发生故障时不能及时维修即同时有2台或2台以上发生故障；第二种情形，X服从的二项分布，车床发生故障时不能及时维修即同时有4台或4台以上发生故障。根据二项分布的概率分布，可分别计算两种情况下车床发生故障时不能及时维修的概率。第三节可能性与机遇问题典型案例2.解决方案

第一步：新建Excel工作表，输入标题“应用二项分布BINOMDIST函数求概率”；第二步：分别单击C2，C3，C4，输入已知参数值：，，；

第三步：车床发生故障时不能及时维修的概率。先求同时出现故障台数小于等于1的概率，在C5中输入“=BINOMDIST(C4,C2,C3,1)”，再求1个技师时发生故障不能及时维修的概率，单击C6，输入“=1-C5”即可求得，用同样的方法可求得3个技师时发生故障不能及时维修的概率，计算结果如图所示。第三节可能性与机遇问题典型案例应用二项分布求概率第三节可能性与机遇问题典型案例案例2排队等候问题顾客在某银行窗口等待服务的时间（min）服从指数分布，平均等待时间为5min。某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开，该顾客一个月要到银行5次，以Y表示该顾客一个月内未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布情况，求出的概率。1.问题分析：等待时间X服从的指数分布，则X的分布函数为：

先求出的概率p，则Y服从的二项分布。第三节可能性与机遇问题典型案例第三节可能性与机遇问题典型案例第三节可能性与机遇问题典型案例图11-7应用指数分布函数求概率图11-8二项分布函数求概率分布

第三节可能性与机遇问题典型案例案例3合理的订货量问题

一个零售商销售和计算机有关的产品。他最热卖的一种商品就是惠普激光打印机，平均每周需要200台，从向厂家订货到货物运抵所需时间为1周，因为每周的需求是随机变量，且以往的数据表明周需求标准差为30台。如果商品缺货，那么他会失去这笔生意以及其他可能相关的买卖，他希望每周缺货的概率不超过6%，那么每次应该订多少货?1.问题分析根据题意，打印机每周的销售量服从的正态分布，问题需要求出每周的缺货概率不超过6%对应的订货量临界值，即94%概率下对应的临界值。第三节可能性与机遇问题典型案例2.解决方案第一步：新建Excel工作表，输入标题“正态分布函数”；第二步：分别单击单元格C2、E2，输入己知数，；第三步：计算不超过6%对应的订货量临界值（即94%概率下对应的临界值），在单元格C3中输入“=NORMINV(0.94,C2,E2)”，结果如图11-9所示。图11-9正态分布临界值第四节进一步学习的数学知识：概率初步1.随机试验：一般地，称满足下述三个条件的实验为一个随机试验，记作E。（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。一、随机事件及其概率第四节进一步学习的数学知识：概率初步2.基本事件和样本空间：随机试验的每一个可能结果，称为基本事件（样本点）。它们的全体，称作基本空间（样本空间），常用表示基本事件，用表示样本空间。从集合角度看，基本事件又是样本空间的一个元素，可记作。

w

W由若干个基本事件组成的事件称为复杂事件。无论基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件或简称为事件，记作大写字母A，B…。

{}wW=第四节进一步学习的数学知识：概率初步例如：一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码1，2，…10，从中任取一球，令，则。第四节进一步学习的数学知识：概率初步第四节进一步学习的数学知识：概率初步第四节进一步学习的数学知识：概率初步5.概率：事件A的概率是描述事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量，记事件A出现的可能性大小为，称为事件A的概率。概率的统计定义：在相同的条件下，重复进行n次试验，当试验次数n很大时，事件A发生频率稳定地在一个常数P附近摆动，通常n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率.记为。第四节进一步学习的数学知识：概率初步6.古典概型:若随机试验E具有下述特征：⑴样本空间的基本事件数只有有限个，不妨设为n个，并记它们为;⑵每个基本事件出现的可能性是相等的，即有

.则称这种等可能性的数学模型称为古典概型。第四节进一步学习的数学知识：概率初步第四节进一步学习的数学知识：概率初步3.条件概率与独立事件⑴条件概率

引例

某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组的概率是多少？，现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一组内的概率是多少？分析：如果设A={在班内任选一个学生，该学生属于第一组},B={在班内任选一个学生,该学生是共青团员}，可以看到，在第一个问题里求得的是，而在第二个问题里，是在“已知事件B发生”的附加条件下，求A发生的概率，记作.于是有

称为在已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率

第四节进一步学习的数学知识：概率初步第四节进一步学习的数学知识：概率初步第四节进一步学习的数学知识：概率初步第四节进一步学习的数学知识：概率初步

如果随机变量X的所有可能取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量。例如，在一批产品中取到次品的个数、一家餐馆营业一天的顾客人数等。如果随机变量X的所有可能取值都不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点，则称X为连续型随机变量。例如一批电子元件的寿命，某班期末考试的及格率等。三、离散型随机变量及其分布

第四节进一步学习的数学知识：概率初步两点分布可用来描述一切只有两种可能结