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随机变量的函数及其分布

一、随机变量的函数二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布定义：若存在一个函数g(X)，使得随机变量X,Y满足Y=g(X)，则称随机变量Y是X的函数。概率论中主要研究随机变量函数的随机性特征即由随机变量X的统计性规律出发研究其连续函数Y=g(X)的统计性规律.此时,Y也是随机变量一、随机变量的函数二、离散型随机变量函数的分布

设离散型随机变量X的分布列为则求函数Y=g(X)的分布列的步骤为：

①

求Y的所有可能取值

②

计算Y取各可能值的概率：◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概率为这些相等值对应的X取值的概率之和.例如,当则由基本事件互斥性与概率可加性得：◆如果Y各可能取值互异,即则例:设随机变量X的分布列为:

求X-1,X2-1的分布列.

解:采用“同一表格法”.X-1012P0.20.30.10.4P0.20.30.10.4X-1012X-1-2-101X2-10-103互异有等值X-1-2-101P0.20.30.10.4

故X-1分布列为:X2-1的分布列为:X2-1-103P0.30.30.4

其中二、连续型随机变量函数概率密度的求法方法分布函数法其中积分区间Iy是以y的函数为端点的区间。②分布函数对y求导数即得概率密度：,求导时一般用到变限函数的导数公式.①求Y的分布函数：

设连续型随机变量X的概率密度为,则求Y=g(X)的概率密度的步骤为：例：设随机变量X的概率密度为

求Y=2X+8的概率密度fY(y)。对y求导得：得：

解：设Y的分布函数为，则当y<0时,

例

设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.当y≥1

时解

=P(0<Xarcsiny)+P(-arcsin

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