空间几何体外接球13讲学生版-

第1讲长方体模型一、解题技巧归纳总结1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长aPA，如图3所示．2（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示．．．．．．图1 图2 图3 图4二、典型例题例1.设正方体的棱长为23，则它的外接球的表面积为（）3A．8B．2C．4D．4332.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2．3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为 ．4.已知三棱锥PABC的顶点都在同一个球面上（球O)，且PA2，PBPC6，当三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O的体积的比值是 ．三、玩转练习1．张衡(78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为31，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( )A．30B．1010C．1210D．362．棱长为2的正方体的外接球的体积为()8A．8B．8C．4D．2333．已知正方体的外接球的体积为32，则该正方体的表面积为()3A．4B．16C．643D．323334．已知正方体的外接球的体积是32，则这个正方体的体积是()364B．64C．6464A．3D．32799275．已知长方体ABCDA1B1C1D1的表面积为208，ABBCAA118，则该长方体的外接球的表面积为()A．116 B．106 C．56 D．536．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的外接球的表面积为( )A．8B．82C．16D．1627．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，AA12，则该长方体的外接球的表面积为()2A．4B．8C．16D．328．已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积V12，AB2，若四面体AB1CD1的外接球的表面积为S，则S的最小值为()A．8B．9C．16D．329．若正方体的外接球的体积为4，则此正方体的棱长为3．10．若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为．11．已知正方体的外接球的体积为4，则该正方体的体积为3．12．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23，则此正方体的外接球的体积为 ．13．将一个长宽分别a，b(0ab)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则b的取值范围为．a14．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，其中ABa，ADb，AA1c外接球球心为点O，外接球体积为32，若14的最小值为9，则A，C两点的球面距离为．3a2b2415．已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为 ．第2讲正四面体模型一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R22a2346a，即正四面体外接球半径为R46a.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）．A．2B．3C．2D．322例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为.三、玩转练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为()A．B．63C．1D．33442．棱长为a的正四面体的外接球和内切球的体积比是()A．9:1B．4:1C．27:1D．8:13．如图所示，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A．B．6C．36D．363224．表面积为8的正四面体的外接球的表面积为()3A．4B．12C．8D．4365．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为()A．6B．8C．D．1166．在棱长为2的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为22，则两圆的公共弦长是( )A．3B．3C．1D．14427．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A．12B．32C．8D．248．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是()A．24B．18C．12D．69．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是( )A．4 B．6 C．12 D．2410．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为BCD的重心，M是线段AG的中点，则三棱锥MBCD的外接球的表面积为( )A．B．3C．6D．624811．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度4，则这个四面体的棱长为的最大值为6．312．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角MABD的余弦值为；平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为．13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是．14．一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为 ．15．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为14，则该正四面体的外接球的体积是 ．第3讲对棱相等模型一、解题技巧归纳总结1．对棱相等模型四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.b2c2m2如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则a2c2n2，三式相加可得a2b2c2m2n2t2,而a2b2t22显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2b2c24R2，所以Rm2n2t2.8二、典型例题例1．三棱锥ABCD中，已知ABCD5，ADBC6，ACBD7，那么该三棱锥外接球的表面积为()A．6B．7C．9D．12例2．如图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5，ACBD6，ADBC7，则该三棱锥外接球的表面积为．三、玩转练习1．四面体PABC的一组对棱分别相等，且长度依次为25，13，5，则该四面体的外接球的表面积为()A．29B．28C．2929D．29462．在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等且依次为34，41，5则此四面体ABCD的外接球的半径R为()5A．5B．5C．2D．4223．如图，在三棱锥PABC中，PABC3，PBAC2，PCAB5，则三棱锥PABC外接球的体积为( )A．2 B．3 C．6 D．64．在三棱锥PABC中，PABC4，PBAC5，PCAB11，则三棱锥PABC的外接球的表面积为( )A．26 B．12 C．8 D．245．在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等且依次为34,41,5，则此四面体ABCD的外接球的半径R为 ．6．已知三棱锥ABCD，三组对棱两两相等，且ABCD1，ADBC3，若三棱锥ABCD的外接球表面积为9．则AC．27．已知四面体ABCD中三组对棱分别相等，且长分别为2，5，7，则四面体ABCD的外接球的半径为 ．8．已知三棱锥ABCD，三组对棱两两相等，即ABCD1，ADBC3,ACBD5，则三棱锥ABCD的外接球表面积是．9．在四面体ABCD中，三组对棱两两相等，分别为，，，则该四面体外接球的表面积为13105．10．在四面体PABC中，PABC3，PBAC2，PCAB，则该四面体外接球的体积为3．11．三棱锥PABC，PAPBBCAC4，PCAB3，则它的外接球的表面积为．12．在三棱锥PABC中，若PAPBBCAC5，PCAB4，则其的外接球的表面积为2．13．在三棱锥PABC中，PABC4，PBAC5，PCAB11，则三棱锥PABC的外接球的表面积为 ．第4讲直棱柱模型一、解题技巧归纳总结1．直棱柱模型：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1 图2 图3第一步：确定球心O的位置，O1是ABC的外心，则OO1平面ABC；第二步：算出小圆O1的半径AO1r，OO121AA121h（AA1h也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(h2)2r2Rr2(h2)2，解出R二、典型例题例1.正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 ．例2.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于 ．例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为.8三、玩转练习1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为( )A．20B．205C．25D．25532．在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AB6，BC8，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为( )A．624B．576C．672D．7203．在直三棱柱ABCA1B1C1中．侧棱长为2，ABBCCA，则此三棱柱的外接球的半径()33A．1B．C．2D．434．已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和3，此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为()A．8B．16C．32D．6433335．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB23，ACB120，AA14，则该三棱柱外接球的表面积为()16A．2B．64C．32D．8236．在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB2，ACB90，CC11，则该三棱柱外接球的体积()A．1B．4C．9D．8227．直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCAA12，则该三棱柱的外接球的表面积为()A．4B．8C．12D．3238．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是()A． B．2 C．4 D．69．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，二面角A1BDC1的大小为3，则该正四棱柱外接球的表面积为( )A．12 B．14 C．16 D．1810．正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，则该正六棱柱的外接球的表面积是( )A．4a2 B．5a2 C．8a2 D． 10a211．正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A．4B．5C．8D．1012．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为()A．20B．25C．100D．20013．已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A．13B．12C．11D．1014．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为()A．500B．500C．4000D．40003315．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是．16．已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为2，33则该三棱柱的外接球的体积为．17．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC3，BAC120，AA12，则此三棱柱外接球的表面积为．18．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ACCC11，若此三棱柱的外接球的体积为6，AB19．在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为23，在底面ABC中，C60,AB3，则此直三棱柱的外接球的表面积为 ．20．在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB1，AC，BB12，则该三棱柱的外接球表面积为3．21．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC120且ABAC3，BB14，则此三棱柱外接球的表面积为．22．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC4，BAC90，AA12，则此三棱柱外接球的表面积为．23．已知直三棱柱ABCA1B1C1的高为2，BC，BAC120，则该三棱柱外接球的表面积为33；24．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，侧面BCC1B1的面积为16，则直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径的最小值为．25．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，则正四棱柱的外接球的表面积为．26．已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为 ．27．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA12，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边长，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着ABCDA运动一次，则点M经过的路径长为 ．28．在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADCD，AB2BC4，四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上．若四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为 ．29．已知六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为123，则该六棱柱外接球的表面积等于 ．30．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为 ．31．正六棱柱的底面边长为a，高为h，则它的外接球的表面积为 ．32．已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为 ．34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为 ．第5讲 直棱锥模型一、解题技巧归纳总结1．直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）如图，PA平面ABC，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O1的半径O1Dr(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得abc2r)，OO11PA；sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO12Rr2OO12.二、典型例题例1.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥MABCD为阳马，侧棱MA底面ABCD，且MABCAB2，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．例2.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为23正方形．若PA26，则OAB的面积为．例3.已知球O面上的四点A,B,C,D,DA平面ABC,ABBC,DAABBC3，则球O的体积等于 .三、玩转练习1．已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，BC平面PAB，若ABBC1，PA2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．24B．8C．6D．832．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥PABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，AB2，AD4，二面角PBCA为60，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为()A．16B．20C．64D．3233．在三棱锥SABC中，SA平面ABC，SA4，底面ABC是边长为3的正三角形，则三棱锥SABC的外接球的表面积为( )A．19 B．28 C．43 D．764．三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A．4B．4C．8D．2035．三棱锥PABC中，ABBC15，AC6，PC平面ABC，PC2，则该三棱锥的外接球表面积为()A．25B．25C．83D．8332326．在三棱锥SABC中，侧棱SC平面ABC，SABC，SC1，AC2，BC3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．14 B．12 C．10 D．87．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60,ABAC23,PA2，则三棱锥PABC的外接球的表面积为( )A．20 B．24 C．28 D．328．三棱锥PABC中，PA平面ABC，BCCA，AC1，BC2，PA2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A．9B．36C．9D．9249．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC120，AC2，AB1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为5，则该三棱锥外接球的表面积为．510．如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC120，PA4．若三棱锥PABC外接球的半径为22，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为 ．11．在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AP2，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且AB1，AD3，直线PM与平面ABCD所成的角为．记点M的轨迹长度为，则tan；当三棱锥PABM4的体积最小时，三棱锥PABM的外接球的表面积为 ．12．已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，SAAB4，BC6，AC213，则三棱锥SABC外接球的表面积为 ．13．已知四面体PABC中，PAPB4，PC2，AC25，PB平面PAC，则四面体PABC外接球的表面积为 ．14．如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA4，cosACB13，若三棱锥PABC外接球的表面积为52，则三棱锥PABC体积的最大值为 ．15．已知在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABACPA2，且在ABC中，BAC120，则三棱锥PABC的外接球的体积为 ．16．矩形ABCD中，AB4，BC2，PA平面ABCD，PA2，E，F分别是AB，DC的中点，则四棱锥PEBCF的外接球表面积为17．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA2，ABAC3，又cosBAC53，则该三棱锥外接球的表面积为 ．18．中国古代数学经典九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biēnào)．若三棱锥PABC为鳖臑，且PA平面ABC，PAAB2，又该鳖臑的外接球的表面积为24，则该鳖臑的体积为 ．19．三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA2AC23，AB1，ABC60，则三棱锥PABC的外接球的表面积为 ．20．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA平面ABCD，PA4，AB3，AD1，则该“阳马”外接球的表面积为 ．第6讲 侧棱相等模型一、解题技巧归纳总结1．侧棱相等模型：如图，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h(也是圆锥的高)；222222r2h2第三步：勾股定理：OAOAOOR(hR)r，解出R.112h2．正棱锥外接球半径：Rr2h2.2h二、典型例题1.已知四棱锥的PABCD的侧棱长均为30，底面是两邻边长分别为2和32的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（）A.18B.32C.36D.483例2.体积为18的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，3且R:BC2:3，点E为BD的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是.3.在三棱锥PABC中，PAPBPC26,ACAB4，且ACAB，则该三棱锥外接球的表面积为________.4.在三棱锥PABC中，PAPBPC3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）A.B.C.4D.433例5.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是 ．三、玩转练习1．在三棱锥PABC中，PAPBPC2，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥PABC的外接球的体积为( )A．43 B．83 C．163 D．232．在三棱锥PABC中，PAPBPC6，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的表面积为( )A．12 B．24 C．36 D．483．在三棱锥PABC中，PAPBPC6，ACAB2，且ACAB，则该三棱锥外接球的表面积为( )A．4 B．8 C．16 D．94．在三棱锥PABCD中，PAPBPC26，ACAB4，且ACAB，则该三棱锥外接球的表面积为( )A．4B．36C．48D．245．在三棱锥PABC中，PAPBPC，ABAC1，BC，则该三棱锥外接球的体积为()234B．8D．32A．2C．433336．正三棱锥PABC中，PA5，AB23，则该三棱锥外接球的体积为()A．500B．100C．25D．125367．已知体积为3的正三棱锥PABC的外接球的球心为O，若满足OAOBOC0，则此三棱锥外接球的半径是( )A．2 B．2 C．32 D．348．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60角，则正三棱锥的外接球的体积为( )A．4B．16C．16D．32339．如图，在三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，若AB22，则此正三棱锥外接球的体积是( )A．12B．4C．43D．1233310．已知正四棱锥PABCD中，PA2，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为()A．16B．12C．10D．811．已知正四棱锥OABCD中，底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为()3A．9B．9C．4D．212．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为( )A．22B．52C．169D．3385252512513．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为22，则这个四棱锥的外接球的体积为( )A．16B．32C．16D．3233，体积为9，则其外接球的表面积为()14．已知正六棱锥的底面边长为332A．16B．36C．48D．6415．已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB2，P是平面ABC外的一点，且满足PAPBPC，APB120，则三棱锥PABC外接球的表面积为 ．16．在ABC中，AB8，BC6，AC10，P为ABC外一点，满足PAPBPC55，则三棱锥PABC的外接球的半径为 ．17．如图，在四面体PABC中，PAPBPC4，点O是点P在平面ABC上的投影，且tanAPO22，则四面体PABC的外接球的体积为 ．18．在三棱锥PABC中，PAPBPC92，AB8，AC6．顶点P在平面ABC内的射影为H，若AHABAC且21，则三棱锥PABC的外接球的体积为 ．19．．在三棱锥PABC中，PAPBPC26，ACAB4，且ACAB，则该三棱锥外接球的表面积为 ．20．三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PAPBPC，PB平面PAC，则三棱锥PABC外接球的表面积为 ．21．在三棱锥PABC中，PAPBPC2，AB2，BC10，APC2，则三棱锥PABC的外接球的表面积为 ．22．在三棱锥PABC中，已知PABC，PBAC，PAPBPC2AB4，则三棱锥PABC外接球的表面积为 ．23．如图所示，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，且PAPBPCPD23，AB6，则四棱锥PABCD外接球的体积为 ．24．已知三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC2，PAPB，则三棱锥PABC的外接球的体积为 ．25．已知三棱锥PABC中，PAPBPC，ABC是边长为2等边三角形，侧棱与底面所成夹角的余弦值为6，则该三棱锥外接球的表面积为．326．已知三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，侧棱PAPBPC，点O为三棱锥1PABC的外接球O的球心，AB8，AC6，已知AOABACHP，且1，则球13O的表面积为．27．已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB3，P是平面ABC外的一点，且满足PAPBPC，APB120，则三棱锥PABC外接球的半径为；该球体积为．28．在正三棱锥SABC中，侧棱SC侧面SAB，侧棱SC2，则此正三棱锥的外接球的表面积为．329．在六棱锥PABCDEF中，底面是边长为2的正六边形，PA2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于 ．30．已知正六棱锥SABCDEF，AB3，SA5，则该六棱锥的外接球的表面积为 ．第7讲侧棱为外接球直径模型一、解题技巧归纳总结方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.二、典型例题例1．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此三棱锥的体积为()A．1B．2C．2D．2446122．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB22，PC5，则三棱锥PABC外接球的表面积为 ．3．三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC、BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是 ．三、玩转练习1．在三棱锥ABCD中，BCCD，RtBCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16，则三棱锥ABCD体积的最大值为()A．1B．2C．1D．43332．已知三棱锥SABC外接球的直径SC6，且ABBCCA3，则三棱锥SABC的体积为()39C．39A．2B．22D．244223．已知三棱锥SABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥SABC的体积为16，则此三棱锥的外接球的表面积为()3A．68B．16C．64D．8033334．已知三棱锥SABC的体积为12，ACBC1，ACB120，若SC是其外接球的直径，则球的表面积为( )A．4 B．6 C．8 D．165．三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC，BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是( )A．2B．2C．2D．36124126．已知三棱锥SABC的外接球为球O，SA为球O的直径，且SA2，若面SAC面SAB，则三棱锥SABC的体积最大值为()A．1B．2C．1D．2337．三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径AD2，且ABC，BCD都是等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是()11A．B．2C．2D．34328．已知三棱锥PABC的外接球O，PC为球O的直径，且PC2，PAPB，AB1，那么顶点P3到平面ABC的距离为()A．23233B．3C．6D．643439．已知三棱锥SABC外接球的直径SC6，且ABBCCA3，则三棱锥SABC的体积为 ．10．在三棱锥ABCD中，底面为Rt△，且BCCD，斜边BD上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16，则三棱锥ABCD的体积的最大值为 ．11．已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为16，则该三棱锥的外接球的表面积．312．已知三棱锥SABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥SABC的体积为8，则此三棱锥的外接球的表面积为．3第8讲共斜边拼接模型一、解题技巧归纳总结1．共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD中，ABAD，CBCD，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,BD为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点O为公共斜边BD的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OAOCOBOD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等,故点O就是四面体ABCD外接球的球心,公共的斜边BD就是外接球的一条直径.二、典型例题例1.在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A.125B.125C.125D.12512963例2.三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC,ABBC，则三棱锥PABC的外接球的半径为三、玩转练习1．在梯形ABCD中，AB//CD，ADAB，AB4，ADCD2，将梯形ABCD沿对角线AC折叠成三棱锥DABC，当二面角DACB是直二面角时，三棱锥DABC的外接球的表面积为( )A．4B．8C．12D．162．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD．则四面体ABCD的外接球的2体积为()A．1B．2C．D．42333．在平行四边形ABCD中，ABBD，4AB22BD21，将此平行四边形沿BD折成直二面角，则三棱锥ABCD外接球的表面积为()A．B．C．2D．422242，若将其沿BD折成直二面角ABDC，4．在平行四边形ABCD中，满足ABADAB，2ABBD则三棱锥ABCD的外接球的表面积为()A．16B．8C．4D．25．如图，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，ABAD，BDCD．将该四边形沿对角线BD折成一个直二面角ABDC，则四面体ABCD的外接球的体积为( )A．2B．3C．2D．3326．矩形ABCD中，AB6，BC8，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A．500B．100C．100D．400337．如图，在平行四边形ABCD中，2|AB|2|BD|240，ABD90，沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的表面积是( )A．16 B．8 C．4 D．28．如图所示，在平行四边形ABCD中，ABBD0,且4AB|22BD|21，沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的表面积是( )A．2B．1C．D．2448429．平行四边形ABCD中，ABBD0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BDC，且2|AB|2|BD|24，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为()A．B．C．4D．2242240，沿BD折成直二面角ABDC，则三10．在平行四边形ABCD中，ABBD0，且2ABBD棱锥ABCD的外接球的表面积是()A．16B．8C．4D．211．在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为()A．125B．125C．125D．125129632240，若将其沿AC折成直二面角DACB，12．在平行四边形ABCD中，ACCB0，2BCAC则三棱锥DACB的外接球的表面积为()A．16B．8C．4D．213．如图，二面角l满足半平面，半平面内有一点A（不在l上），半平面内有一点C（不在l上），A，C在直线l的射影分别为B，D(B，D不重合），ABCD1，BD3，则三棱锥ABCD外接球的表面积为 ．14．已知等边三角形ABC的边长为8，D为BC边的中点，沿AD将ABC折成直二面角BADC，则三棱锥ADCB的外接球的表面积为15．如图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的体积为 cm3．16．在矩形ABCD中，已知AB4，BC3，将该矩形沿对角线AC折成直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为 ．17．将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为18．把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为 ．19．在平行四边形ABCD中，ABBD0,2|AB|2|BD|26，若将ABD沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD外接球的表面积为 ．第9讲最值模型一、解题技巧归纳总结这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等二、典型例题1.已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36B．64C．144D．2562.已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥OABC的体积为()A．3B．23C．2D．12333例3.体积为18的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，3且R:BC2:3，点E为BD的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是.例4.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为．例5.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．三、玩转练习1．如图，四边形ABCD的面积为22，且ABDBDC90，把BCD绕BD旋转，使点C运动到P，此时向量BA与向量DP的夹角为90．则四面体ABDP外接球表面积的最小值为( )A．82B．6C．8D．10232．已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积V12，AB2，若四面体AB1CD1的外接球的表面积为S，则S的最小值为( )A．8 B．9 C．16 D．323．如图，在四棱锥PABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且AB2，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，已知当ANMN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A．9B．16C．25D．6423494．如图，直角三角形ABC，ABC2，ACBC2，将ABC绕AB边旋转至ABC’位置，若二面角CABC’的大小为2，则四面体C’ABC的外接球的表面积的最小值为()3A．6B．3C．3D．225．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，AA12，当阳马BACC1A1体积为43时，堑堵ABCA1B1C1的外接球的体积的最小值为( )A．4B．82C．32D．64233336．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC120，AP2,AB2，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为3，则三棱锥PABC的外接球的表面积是()A．9B．9C．18D．40227．已知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DC中点，F在线段D1C1上运动，则三棱锥FADE的外接球的表面积最小值为( )A．14B．9C．545D．52564648．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角DACB的大小为(0180)，则三棱锥DABC的外接球的体积的最小值是()832A．2B．33C．4D．与的值有关的数39．如图，三棱锥PABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为( )A．256B．82C．32D．3633310．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，SAPC2，ABC30，则三棱锥PABC的外接球体积的最小值为()A．4B．4C．64D．323311．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，已知DAB6，BAC4，三棱锥的外接球的表面积为4，该三棱锥的体积的最大值为( )A．3B．3C．3D．336244812．如图，在三棱锥ABCD中，ADBD，ACBC，DAB6，BAC4．三棱锥的外接球的表面积为16，则该三棱锥的体积的最大值为( )A．7B．43C．8D．14333313．已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足BABC6，ABC2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为()A．8B．16C．16D．323314．三棱锥PABC中．ABBC，PAC为等边三角形，二面角PACB的余弦值为36，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8．则三棱锥体积的最大值为()A．1B．2C．1D．12315．已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足ABBC3，AC3，若该三棱锥体积的最大值为33，则其外接球的半径为()4A．1B．2C．3D．2316．在三棱锥PABC中，AB2，ACBC，D为AB中点，PD2，若该三棱锥的体积的最大值为23，则其外接球表面积为()A．5B．49C．64D．25129417．已知三棱锥PABC的底面是正三角形，PA3，点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心，当三棱锥PABC体积最大值时，三棱锥PABC的外接球的体积为()99A．3B．6C．6D．32218．已知三棱锥DABC的外接球的表面积为128，ABBC4,AC42，则三棱锥DABC体积的最大值为()27108163216A．B．6C．6D．263233319．已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，且BABC6，ABC3，若该三棱锥体积的最大值为23，则其外接球的表面积为 ．20．如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA4，cosACB13，若三棱锥PABC外接球的表面积为52，则三棱锥PABC体积的最大值为 ．21．在三棱锥PABC中，ABBC，三角形PAC为等边三角形，二面角PACB的余弦值为36，当三棱锥PABC的体积最大值为1时，三棱锥PABC的外接球的表面积为．3第10讲垂面模型一、解题技巧归纳总结垂面模型如图1所示为四面体PABC，已知平面PAB平面ABC，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O1和O2．（2）分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．（3）过O1作AB的垂线，垂足记为D，连接O2D，则O2D AB．（4）在四棱锥ADO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如图2所示，底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．二、典型例题1.已知ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB22，PC5，则三棱锥PABC外接球的表面积为 ．2.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB22，PC5，则三棱锥PABC外接球的表面积为 ．3.在三棱锥PABC中，ABAC4，BAC120，PBPC43，平面PBC平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为 ．4．在菱形ABCD中，DAB60，将这个菱形沿对角线BD折起，使得平面DAB平面BDC，若此时三棱锥ABCD的外接球的表面积为5，则AB的长为 ．三、玩转练习1．在边长为a菱形ABCD中，DAB60，将这个菱形沿对角线BD折起，使得平面DAB平面BDC，若此时三棱锥ABCD的外接球的表面积为5，则a()A．5B．C．D．33522．在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AP25,AB6,ACB3，且直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为()5252A．13B．52C．D．13333．已知在三棱锥CABD中，ABD是等边三角形，BCCD，平面ABD平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为4，则AC()3A．3B．6C．D．32224．如图，已知四棱锥PABCD的底面为矩形，平面PAD平面ABCD，AD22，PAPDAB2，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为( )A．2 B．4 C．8 D．125．如图所示，已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为( )A．16B．8C．16D．6436．在正方形ABCD中，AB2，沿着对角线AC翻折，使得平面ABC平面ACD，得到三棱锥BACD，若球O为三棱锥BACD的外接球，则球O的体积与三棱锥BACD的体积之比为( )A．2:1 B．3:1 C．22:1 D．4:17．已知四棱锥P一ABCD中，平面PAD平面ABCD，其中ABCD为正方形，PAD为等腰直角三角形，PAPD2，则四棱锥PABCD外接球的表面积为()A．10B．4C．16D．88．已知空间四边形ABCD，BAC23，ABAC23，BD4，CD25，且平面ABC平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A．24 B．48 C．64 D．969．在三棱锥ABCD中，ABC和BCD都是边长为23的等边三角形，且平面ABC平面BCD，则三棱锥ABCD外接球的表面积为()A．8B．12C．16D．2010．在三棱锥PABC中，AC2AB22，BC10，APC90，平面ABC平面PAC，则三棱锥PABC外接球的表面积为()A．4B．5C．8D．1011．已知三棱锥ABCD中，ABACBDCD，ABAC，BDCD，且三棱锥ABCD的外接球的表面积为32，则当平面ABC平面BCD时，三棱锥ABCD的表面积等于( )A．1683 B．32163 C．883 D．1616312．在三棱锥ABCD中，平面ABC平面ADC，ADAC，ADAC，ABC3，若此三棱锥的外接球表面积为28，则三棱锥ABCD体积的最大值为()5A．7B．12C．6D．3313．如图，AA1，BB1均垂直于平面ABC和平面A1B1C1，BACA1B1C190，ACABA1AB1C12，则多面体ABCA1B1C1的外接球的表面积为( )A．2 B．4 C．6 D．814．已知三棱锥ABCD中，ABC是边长为23的正三角形，BDCD2，平面ABC平面BCD，则三棱锥ABCD的外接球的体积为()282032A．7B．8C．5D．633315．在三棱锥ABCD中，BCD是等边三角形，平面ABC平面BCD．若该三棱锥外接球的表面积为60，且球心到平面BCD的距离为3，则三棱锥ABCD的体积的最大值为()A．3B．9C．27D．813316．在四棱锥ABCDE中，ABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为( )A．2121 B．84 C．721 D．282117．已知空间四边形ABCD，BAC23，ABAC23，BD10，CD8，且平面ABC平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A．64 B．112 C．96 D．12818．在边长为2的菱形ABCD中，BD23，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC平面ACD，则所得三棱锥ABCD的外接球表面积为()A．8B．14C．20D．32333319．在三棱锥ABCD中，ABC与BCD都是正三角形，平面ABC平面BCD，若该三棱锥的外接球的体积为2015，则ABC边长为()A．33B．63C．63D．624320．在三棱锥ABCD中，ABC与BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC平面BCD，则该三棱锥的外接球的体积为( )A．515 B．60 C．6015 D．201521．把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥DABC的外接球的表面积为()A．32B．27C．18D．922．已知空间四边形ABCD，BAC2，ABAC2，BDCD6，且平面ABC平面BCD，则33空间四边形ABCD的外接球的表面积为()A．60B．36C．24D．1223．如图，已知矩形ABCD中，AB43BC8，现沿AC折起，使得平面ABC平面ADC，连接BD，得到三棱锥BACD，则其外接球的体积为( )A．500B．250C．1000D．500933324．在三棱锥ABCD中，BACBDC60，平面ABC平面DBC，当三棱锥ABCD的体积的最3 3大值为 8 时，其外接球的表面积为( )A．5 B．6 C．7 D．8第11讲 二面角模型一、解题技巧归纳总结二面角模型如图1所示为四面体PABC，已知二面角PABC大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O1和O2．（2）分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．（3）过O1作AB的垂线，垂足记为D，连接O2D，则O2D AB．（4）在四棱锥ADO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如图2所示，底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．二、典型例题1.在三棱锥PABC中，ABBC，三角形PAC为等边三角形，二面角PACB的余弦值为36，当三棱锥PABC的体积最大值为1时，三棱锥PABC的外接球的表面积为．32.在等腰直角ABC中，AB2，BAC90，AD为斜边BC的高，将ABC沿AD折叠，使二面角BADC为60，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为 ．3.在三棱锥ABCD中，ABD和CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角ABDC的平面角为60，则三棱锥的外接球的表面积为．4.在平面五边形ABCDE中，A60，ABAE63，BCCD，DECD，且BCDE6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是 ．5.在三棱锥SABC中，AB6，BC8，AC10，二面角SABC、SACB、SBCA的大小均为4，设三棱锥SABC的外接球球心为O，直线SO交平面ABC于点M，则三棱锥SABC的内切球半径为，SO．OM三、玩转练习1．在三棱锥ABCD中，ABBCCDDA7，BD23，二面角ABDC是钝角．若三棱锥ABCD的体积为2．则三棱锥ABCD的外接球的表面积是()A．12B．37C．13D．53342．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥PABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，AB2，AD4，二面角PBCA为60，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为()A．16B．20C．64D．3233．如图，在体积为233的四棱锥PABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PAB为等边三角形，二面角PABC为锐角，则四棱锥PABCD外接球的半径为( )A．21B．C．D．323324．在四面体ABCD中，BCCDBDAB2，ABC90，二面角ABCD的平面角为150，则四面体ABCD外接球的表面积为()A．31B．124C．31D．124335．如图，边长为4的正方形ABED的对边AB、ED的中点为C、F，将此正方形沿着CF折成120的二面角，连AB、DE得一直三棱柱，则此三棱柱外接球的表面积等于( )A．16 B．32 C．8 D．646．已知三棱锥PABC中，ABBC，AB22，BC3，PAPB32，且二面角PABC的大小为150，则三棱锥PABC外接球的表面积为( )A．100 B．108 C．110 D．1117．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点，且AB2，若二面角B1BC1E为45，则四面体BB1C1E的外接球的表面积为()A．17B．12C．9D．1028．在菱形ABCD中，A3，AB43，将ABD沿BD折起到PBD的位置，若二面角PBDC的大小为2，三棱锥PBCD的外接球心为O，则三棱锥PBCD的外接球的表面积为()34A．2B．2C．112D．213739．在三棱锥SABC中，SBSCABBCAC2，二面角SBCA的大小为60，则三棱锥SABC外接球的表面积是()A．14B．16C．40D．52339910．如图，直角三角形ABC，ABC2，ACBC2，将ABC绕AB边旋转至ABC’位置，若二面角CABC’的大小为2，则四面体C’ABC的外接球的表面积的最小值为()3A．6 B．3 C．32 D．211．四边形ABDC是菱形，BAC60，AB3，沿对角线BC翻折后，二面角ABCD的余弦值为13，则三棱锥DABC的外接球的体积为()A．B．C．D．2567212．在三棱锥ABCD中，ABD与CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角ABDC的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．16B．7C．28D．83313．在三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA3，SB23，二面角SABC的大小为60，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．14．已知直三棱柱ABCAB1C1中，ACBC2，ACBC，设二面角CABC1的平面角为，且tan，现在该三棱柱的内部空间放一个小球O1，设小球O1的表面积为S1，三棱柱的外接球O2的表面2积为S2，则S1的最大值为．S215．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为32，设三棱锥AADE外接球的直径为a，则a．211|AB|16．已知空间四边形ABCD中，ABBDAD2，BC1，CD3，若二面角ABDC的取值范围为[，2]，则该几何体的外接球表面积的取值范围为．4317．已知边长为6的菱形ABCD中，BAD120，沿对角线AC折成二面角BACD的大小为的四面体且cos1，则四面体ABCD的外接球的表面积为．318．已知三棱锥ABCD，BC6，且ABC、BCD均为等边三角形，二面角ABCD的平面角为60，则三棱锥外接球的表面积是 ．19．在三棱锥PABC中，顶点P在底面ABC的投影G是ABC的外心，PBBC2，且面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60，则三棱锥PABC的外接球的表面积为 ．20．在菱形ABCD中，A60，AB2，将ABD沿BD折起到PBD的位置，若二面角PBDC的大小为120，则三棱锥PBCD的外接球的表面积为 ．第12讲 坐标法模型一、解题技巧归纳总结1．坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x,y,z)，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难