高考数学题型技巧变式一应俱全（下册）

2023高考数学题型*技巧*变式一应俱全（下册）专题6-1数列递推求通项15类归纳 5【题型一】通过“累加法”学通项思想1：基础型 5【题型二】通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型 6【题型三】通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型” 7【题型四】累积法 7【题型五】周期数列 8【题型六】构造二阶等比数列型（待定系数型） 8【题型七】分式递推 9【题型八】构造二阶等差数列 9【题型九】前n项积型 10【题型十】特殊通项1：“和”型求通项 10【题型十一】特殊数列2：正负相间讨论型 11【题型十二】特殊数列3：奇偶讨论型 11【题型十三】特殊数列4：“求和公式换元”型 12【题型十四】特殊数列5：因式分解型求通项 12【题型十五】特殊数列6：其他几类特殊数列求通项 13【题型十六】压轴小题 14专题6-2数列求和15种类型归纳 16【题型一】求和思维基础：由sn求an的关系 16【题型二】错位相消法三种思维求法 16【题型三】分组求和法 18【题型四】求和难点1：裂项相消基础思维 19f（n）【题型五】求和难点2：形如 pq 型函数型裂项相消 20【题型六】求和难点3：指数型裂项相消 21【题型七】求和难点4：指数等差型裂项相消 22【题型八】求和难点5：奇偶正负型裂项相消 23【题型九】求和难点6：裂项为“和”型以相消 24【题型十】求和难点7：指数型裂项为“和”以相消 25【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项 25【题型十二】求和难点9：三项积式裂项相消 26【题型十三】求和难点10：先放缩后裂项 27【题型十四】求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科） 28【题型十五】求和难点12：分段数列求和 28专题7-1线性规划归类 32【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系） 32【题型二】由参数确定图像形状 32【题型三】含参线性规划 33【题型四】目标函数变化型1：绝对值型 34【题型五】目标函数变化型2：分式型 35【题型六】目标函数变化型3：二次型 35【题型七】目标函数变化型4：向量型 36【题型八】导数和函数型 37专题7-2基本不等式归类 40【题型一】基础型 40【题型二】“1”的代换型 40【题型三】“和”与“积”互消型 41【题型四】以分母为主元构造型 41【题型五】构造分母：待定系数 421/255【题型六】分子含参型：分离分子型 42【题型七】反解代入型:消元法 43【题型八】因式分解型 43【题型九】均值用两次 44【题型十】换元型 44【题型十一】“和”与所求和系数不一致型 45【题型十二】“均值裂项”凑配型 45【题型十三】整体化同乘方程型 46【题型十四】三元最值型 46【题型十五】恒成立求参数型 46【题型十六】超难压轴小题 47专题8-1立体几何中的轨迹问题 49【题型一】由动点保持平行性求轨迹 49【题型二】动点保持垂直性求轨迹 50【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹 51【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹 52【题型五】投影求轨迹 54【题型六】翻折与动点求轨迹（难点） 55专题8-2立体几何截面问题的十种题型 61【题型一】做截面的基本功：补全截面方法 61【题型二】截面形状的判断 63【题型三】平行关系确定截面 64【题型四】垂直关系确定的截面 65【题型五】求截面周长 66【题型六】求截面面积 66【题型七】球截面 67【题型八】截面分体积 68【题型九】不规则截面（曲线形截面） 68【题型十】截面最值 70专题8-3一网打尽外接球 75【题型一】长方体模板1：三线垂直型 75【题型二】长方体模板2：构造长方体3个模型 76【题型三】直棱柱模板：线面垂直（重点） 76【题型四】垂面型 77【题型五】万能模板：外心垂线相交型（难点） 78【题型六】特殊几何体：正三棱锥和正四面体 79【题型七】四棱锥 80【题型八】组合体外接球 81【题型九】球定义法 82【题型十】圆锥与圆柱外接球 82专题8-4立体几何求角度、距离类型 86【题型一】求异面直线所成的角 86【题型二】求直线和平面所成角 87【题型三】求二面角的平面角 88【题型四】翻折中的角度 90【题型五】三种角度之间的相互关系 92【题型六】三种角度比大小 92【题型七】球中的角度 94【题型八】压轴小题中的角度题型 94【题型九】距离 96专题9-1圆锥小题压轴九类 100【题型一】第一定义及其应用 1002/255【题型二】第二定义及应用 100【题型三】第三定义及其应用 102【题型四】焦点三角形与离心率 103【题型五】定比分点 104【题型六】焦点三角形与四心 105【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质 106【题型八】切线与切点弦 107【题型九】多曲线 108专题9-2轨迹八类求法 112【题型一】直接法求轨迹 112【题型二】相关点代入法 112【题型三】定义法 113【题型四】交轨法 114【题型五】参数法 114【题型六】立体几何中的轨迹 115【题型七】向量与轨迹 116【题型八】复数中的轨迹（新高考） 117专题9-3圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型 121【题型一】五个方程题型框架 121【题型二】直线设法 122【题型三】双变量直线核心理解 123【题型四】直线过定点 124【题型五】圆过定点 125【题型六】面积的几种求法 126【题型七】面积最值 127【题型八】定值 128【题型九】最值与范围 129【题型十】 第六个方程的积累 130专题9-4圆锥曲线点代入和非对称等题型 134【题型一】基础型：韦达定理+点带入法 134【题型二】定比分点型：a=b 135【题型三】点带入型：抛物线独有的代入方法 136【题型四】非对称型：利用韦达定理构造“和积消去”型 137【题型五】切线 138【题型六】暴力计算型：求根公式 139【题型七】无韦达定理：点代入法 141【题型八】坐标运算 143【题型九】综合题 144专题9-5离心率归类训练 150【题型一】判断横放竖放求参 150【题型二】直接法 150【题型三】补连另一焦点利用定义 151【题型四】余弦定理1：基础型 152【题型五】余弦定理2：勾股定理用两次 152【题型六】余弦定理3：余弦定理用两次 153【题型七】中点型 154【题型八】多曲线交点1：和抛物线 155【题型九】多曲线交点2：与圆 156【题型十】多曲线交点3：双曲线和椭圆 156【题型十一】双曲线特性1：渐近线 157【题型十二】双曲线特性2：内心 1583/255【题型十三】难点1：借助向量构造 159【题型十四】难点2：小题大做型 160专题10-1统计：线性和非线性回归与残差 164【题型一】线性回归 164【题型二】残差 165【题型三】剔除数据重新计算 167【题型四】非线性回归1：指数型 169【题型五】非线性回归2：反比例型 171【题型六】非线性回归3：对数型 174【题型七】非线性回归4：其他函数型 176专题10-2概率压轴大题(理） 185【题型一】马尔科夫链基础模型 185【题型二】马尔科夫链之传球模型 186【题型三】游走模式 187【题型四】药物试验模式 189【题型五】商场促销 191【题型六】证明概率、期望等不等式 192【题型七】摸球与射击模型 193【题型八】模拟压轴题选讲 194专题10-3概率小题基础 200【题型一】古典概型 200【题型二】几何概型1：长度角度 200【题型三】几何概型2：面积 201【题型四】几何概型3：体积 202【题型五】几何概型4：坐标系型 204【题型六】几何概型5：线性规划 204【题型七】几何概型6：近似估值应用 205【题型八】几何概型7：导数函数等综合 206【题型九】几何概型8：微积分型（理） 207【题型十】圆锥曲线中的几何概型 208【题型十一】综合应用 208专题10-4排列组合小题归类 213【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空 213【题型二】人坐座位模型2：染色（平面） 213【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）: 214【题型四】书架插书模型 215【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同 216【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同 217【题型七】相同元素排列模型1：数字化法 217【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等 218【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等 219【题型十】 多事件限制重叠型 220【题型十一】多重限制分类讨论 220【题型十二】综合应用 221专题11-1参数方程与极坐标大题15种归类 226【题型一】消参难点1：分母二次分式型消参 226【题型二】消参难点2：正余弦对偶型 227【题型三】消参难点3：构造正切公式型 228【题型四】参数方程核心思维1：参数方程即动点坐标 229【题型五】参数方程核心思维2：抛物线的参数方程可化为斜率 230【题型六】极坐标思维1：极坐标弦长 231【题型七】极坐标思维2：两根韦达定理型 2324/255【题型八】极坐标思维3：求最值与范围 233【题型九】极坐标思维4：多线型 234【题型十】极坐标思维5：极坐标分段型 235【题型十一】直线参数方程思维1：换“起点”与化标准t 236【题型十二】直线参数方程思维2：弦长公式 237【题型十三】直线参数方程思维3：解析关于t的韦达定理 238【题型十四】直线参数方程思维4：综合难度较大的题 239【题型十五】综合：轨迹 240专题11-2不等式选讲归类 245【题型一】解不等式：含参 245【题型二】绝对值恒成立（存在）求参1：公式法“和” 245【题型三】绝对值恒成立（存在）求参2：公式法“差” 246【题型四】绝对值恒成立（存在）求参3：给解集（或子集） 247【题型五】绝对值恒成立（存在）求参4：利用单调性求参 247bca【题型六】绝对值恒成立（存在）求参5：形如 技巧型 248【题型七】绝对值和均值型 249【题型八】证明不等式1：柯西型“定位法” 249【题型九】证明不等式2：柯西“分母分子配对”型 250【题型十】证明不等式3：柯西取等与“圆系凑配”型 251【题型十一】证明不等式4：三元不等式证明 252【题型十二】证明不等式5：分析法与综合法 252专题6-1数列递推求通项15类归纳【题型一】通过“累加法”学通项思想1：基础型【典例分析】已知数列an中，已知a12，an1an2n，则a50等于（）A．2451B．2452C．2449D．24505/255【提分秘籍】基本规律数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。1.“等差”累加法，如典例分析2.“等比累加法”，如变式13.“裂项累加法”，如变式24.无理根式裂项累加法，如变式3【变式演练】1.已知数列a满足a2，aa2n，则a（）n1n1n9A．510B．512C．1022D．10242.已知数列{an}满足a11，an1an+1nn11，n∈N*，求数列的通项公式an.3.数列中，1=0,+1− =+1+1且 =9，则=_________【题型二】通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型【典例分析】已知数列an满足：a113，(n1)an1nan2n1，nN*，则下列说法正确的是（）A．an1anB．an1anC．数列an的最小项为a3和a4D．数列an的最大项为a3和a4【提分秘籍】基本规律换元型，是许多复杂通项的基本变换之一1.换元等差累加法，如典例分析2.换元对数相消累加法。如变式13.同除换元等比累加法，如变式24.同除换元裂项累加法，如变式3【变式演练】1.在数列a中，a12，an1anln11，则a（）n1nnA．a8B．2n1lnnC．1nlnnD．2nnlnn2.已知数列a满足a3，a n a n.n 1 2 n n1 n1 2n（2）设数列an的前n项和为Sn，求满足Sn12的所有正整数n的取值集合.6/255已知数列满足a1＝，an﹣an+1＝anan1nN*，则a10的值是（）3.{an}1n(n1)A．2B．1C．10D．532192【题型三】通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型”【典例分析】已知数列a满足a1，n(n1)an1aaa，则数列a的通项公式a____．n12nn1nnn【提分秘籍】基本规律1.双系数同除换元，如典例分析。2.同除裂项型，如变式13.同构型同除型，如变式2，也可以裂项分离常数，构造累加法【变式演练】1.已知数列{an}满足nan1(n1)an1(nN*),a32，则a2021______.2.已知数列an中，a12，nan1anan1，nN*，则ann的取值范围是_____________．【题型四】累积法【典例分析】已知数列an满足(n1)an1ann，a12，则a31的值为___，a2021的值为_____.【提分秘籍】基本规律累积法主要有“分式型”和“指数型”。【变式演练】1.已知数列{an}满足an0,a11,n(an12an)2an.a（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列3n5的前n项和Sn.n2.已知数列an的前n项和为Sn,a11,Snn2annN*，则数列an的通项公式为___________.3.数列a满足：a1，aaan2a，则数列a的通项公式a___________.n1212nnnn7/255【题型五】周期数列【典例分析】an，则a已知数列{a}满足a0,a3n1n13an120173A．0B．3C．3D．2【提分秘籍】基本规律1.周期数列型一：分式型，如典例分析2.周期数列型二：三阶递推型，如变式13.周期数列型三：乘积型，如变式24.周期数列型四：反解型，如变式3【变式演练】1.数列{a}中，a1，a3，aaa(n2,nN*)，那么a2019A．1B．2C．3D．-32.在数列an中，若a11,a22，并有an=an1an1对n1且nN*恒成立；则a2020a2021_______________．3.设数列an满足a12，且对任意正整数n，总有an111an2an成立，则数列an的前2019项的乘积为A．1B．1C．2D．.32【题型六】构造二阶等比数列型（待定系数型）【典例分析】已知数列{a}满足：a2an1(nN*)，a3.nn1n1（1）证明数列ban(nN*)是等比数列，并求数列{a}的通项；nnn（2）设cnan1an，数列{cn}的前n项和为{Sn}，求证：Sn1.anan1【提分秘籍】基本规律形容an1qanp(q0，1,p,q为常数）,构造等比数列an,p。特殊情况下，当q为2时，=p，q1如变式1【变式演练】1.数列{an}满足a12,an12an1则a6A．33B．32C．31D．348/2552.已知数列an中，a11，an3an14（nN且n2），则数列an通项公式an为（）A．3n1B．3n12C．3n2D．3n【题型七】分式递推【典例分析】2an*2在数列{a}中，a1，a(nN)，则是这个数列的第________________项．an2n12019【提分秘籍】基本规律形如an1Aan为主(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.BanC【变式演练】1.数列an满足：a11，且n2an1n1(nN*,n2)，则数列an的通项公式是an=_____．anan132.已知在数列an中，a11，an1an，则数列an的通项公式为an______.32an3.已知数列an满足a12,12an1(n2)．3an1an11（1）求数列an的通项公式;（2）设数列a的前n项和为S,用数学归纳法证明:Sn1lnn3.n22【题型八】构造二阶等差数列【典例分析】n1an1*数列an满足：a1，且an1nN，则数列an的前n项和sn__________.33ann【提分秘籍】基本规律apap(p1,p,形如n1nn为常数）构造等差数列a,，可通过同除构造等差数列pn【变式演练】1.数列an满足a11，an1(an1)an0（nN*），则a2018__________．2.数列{an}中，a1，a2a2n，则a1n1n17A．15216B．15217C．16216D．162179/2553.如果数列an满足a12，a21，且A．1B．1126【题型九】前n项积型

an1an anan1nan1 an11C．211

2,nN*，则a12（ ）1D．212【典例分析】已知数列an的前n项积为Tn，若对n2，nN，都有Tn1Tn12Tn2成立，且a11，a22，则数列an的前10项和为____．【提分秘籍】基本规律类比前n项和求通项过程：1.n=1，得a12.n2时，anTnTn1【变式演练】1.若数列an的前n项的积为1，则an_____________.n12.设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a11，且a2020a20211，a20201a202110，下列结论正确的是（多选题）A．S2020S2021B．a2020a202210C．数列Tn无最大值D．T2020是数列Tn中的最大值3.已知各项均不为零的数列an的前n项积Tn满足Tn1anan1an1，则Tn________，数列a的前Tnn项和Sn________．【题型十】特殊通项1：“和”型求通项【典例分析】已知数列{an}满足an＋an＋1＝1(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()72913A．5B．C．D．222【提分秘籍】10/255基本规律满足an1anf(n)，称为“和”数列，常见如下几种：1.“和”常数型，如典例分析。2.“和”等差型，如变式13.“和”二次型，如变式24.“和”换元型，如变式3【变式演练】1.知数列{an}满足：an1an4n3(nN*)，且a1=2，则an________________．2.已知数列an的前n项和为Sn，若Sn1Sn2n2nN*，且a1028，则a2A．－5B．－10C．12D．163.若数列an满足an2an1k（k为常数），则称数列an为等比和数列，k称为公比和，已知数列an是以3为an1 an公比和的等比和数列，其中a11，a22，则a2019______.【题型十一】特殊数列2：正负相间讨论型【典例分析】已知数列an中，a11，an1an(1)nnnN*，则a20___________.【提分秘籍】基本规律利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律【变式演练】1.已知数列an满足a11，anan1(1)nn2n…2，nN*，则a100___________.2.数列{a}满足a(1)na3n1，前16项和为540，则a.nn2n13.已知数列an满足an11nann，则an的前40项和为__________．【题型十二】特殊数列3：奇偶讨论型【典例分析】已知数列an的前n项和为Sn，且a11，2Snan1an，则S20A．200B．210C．400D．41011/255【提分秘籍】基本规律1.分段数列2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列【变式演练】1.已知数列an的首项a12，且满足anan12nnN*，则a20=________．1a,若a为偶数nN*，则下列结论成立的是（22.在数列an中，a1aaN*，an1nn）2019an,若an为奇数A．存在正整数a，使得an为常数列B．存在正整数a，使得an为单调数列C．对任意的正整数a，集合annN*为有限集D．存在正整数a，使得任意的m、nN*，当mn时，aman3.已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；(2)求数列{an}的通项公式．【题型十三】特殊数列4：“求和公式换元”型【典例分析】已知数列an满足a12a23a3...nann2nnN*.求数列an的通项公式.2【提分秘籍】基本规律和共式如sn=a1a2a3...an f(n)，把an任意换元可得【变式演练】1.若数列an满足a112,a12a23a3nann2an,则a2017______．2.已知数列an满足a12a23a3 nan2n13n，nN，则an_________________．3.在数列an中，a11,a12a23a3nann21an1nN*.则数列an的通项公式an_____．【题型十四】特殊数列5：因式分解型求通项【典例分析】已知正项数列an的前n项和Sn满足Sn2n2n1Snn2n=0nN,12/255(1)求数列an的通项公式;【变式演练】1.设a是首项为1的正项数列，且n1a21na2a 1a0n1,2,3, ，则a____，n n n n n 4an_____.2. a a2n1a 2n2n0.已知数列 n 的各项均为正数，且满足 n n（2）求数列2an的前n项和Sn.【题型十五】特殊数列6：其他几类特殊数列求通项【典例分析】1，4an22anan21an1nN.已知正项数列an满足a11n（）证明：数列a1是等比数列；11112（2）证明：nN.a2aa4a33n1【提分秘籍】基本规律1.二次型：形如an1Aan2BanC，如典例分析2.三阶递推：形如man2tan1pan型，多在大题中，有引导型证明要求，如变式13.“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”如变式24.数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程），如变式3【变式演练】1.在数列an中，a11，a23，an23an12ann1.（1）证明an1ann为等比数列；（2）求an.2.已知an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4．（1）证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式；3.设正数数列an的前n项和为Sn，且Sn11nN*，试求an，并用数学归纳法证明你的结an2an论.13/255【题型十六】压轴小题【典例分析】1.已如数列a，a1，且aan，则aaaa2n2a2n1a2n_____，a______.n1nn1n2123n2.已知数列an与bn满足bn1anbnan12n1,bn31n1nN*，且a12，则a2n__________．23.已知数列an是共有k个项的有限数列，且满足an1an1n(n2,…,k-1)，若a124，a251，anak0，则k_.4.已知数列{a}满足a2，且an2nan1(n2,nN*)，则a__________.an1n1n1n5.已知数列a满足a0,2a1an12an11aaan1aan1，且a1，则数列a的nnnnnn13n通项公式an__________．11.在数列{an}中，a1=1，an1an1(n≥2)，求数列{an}的通项公式.n2.已知数列{a}中，a5，nan1(n1)an，则该数列的通项a_______.n112nn3n3.已知数列a中，a1，an11ann1，则a2020（）n121an1A．3B．2C．D．1234.已知数列{an}中，a11，an12an3．（1）若bnan3，证明：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；14/255（3）若cnnbn，求数列cn的前n项和Sn．an*ana1an1(nN)a5.已知数列2a120__________．满足1，n，则6.已知数列an中，a11,a22且an22an12，则an__________．an12an7.若是正项递增等比数列，表示其前n项之积，且，则当取最小值时，n的值为_________.8.数列{an}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为9.已知数列an满足3a132a233a33nan2n1，则an的通项公式______．aa2b2,b14.10.数列an,bn满足n1nn,且a1bn16an6bn(1)证明:an12an为等比数列;(2)求an,bn的通项.11.已知数列an满足a12,a210,an2an12an,nN.(1)证明:数列an1an是等比数列;(2)求数列an的通项公式;15/255专题6-2数列求和15种类型归纳【题型一】求和思维基础：由sn求an的关系【典例分析】已知数列{an}的前n项和Sn2n12．（1）求{an}的通项公式；（2）记bnna1，求{bn}的前n项和Tn．n【提分秘籍】基本规律S,n1对于公式an1SnSn1,n2（1）当n2时，用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用SnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；（2）当n1时， a1S1求出a1；（3）对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写．【变式演练】1.数列an的前n项和为Snn2n1（nN*），求an2.已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2n.2（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn1，求数列bn的前n项和Tn.anan1【题型二】错位相消法三种思维求法【典例分析】（2020年新课标1理数17题）设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{an}的公比；（2）若a11，求数列{nan}的前n项和．【提分秘籍】基本规律以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方法。1.思维结构结构图示如下C(anb)qn1,则其前n项和S=（An+B)qncnn2.公式型记忆：其中A=a,BbA,CBq1q1a(knb)qn（,q1),则n3.可可裂项为如下a[p(n1)t)]qn1(pnt)qnCC,(C((pnt)qn)nn1nnk=pq-p其中可通过方程组计算出p、t值：b=pqtqt【变式演练】1.已知数列an中，a11，an0，前n项和为Sn，若an（nN*，且SnSn1n2）.（1）求数列an的通项公式；（2）记c 3an，求数列c的前n项和T.n 2n1 n n2.（系数为负的，增加了计算难度）已知数列an的前n项和为Sn，且an13Sn.（1）求数列an的通项公式；（2）若bnlog2an1，求数列anbn的前n项和Tn.【题型三】分组求和法【典例分析】已知数列an的前n项和Sn2n2n，数列bn满足4log2bnan3.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设cnbn4，求数列cn的前n项和Tn.anan1【提分秘籍】基本规律an bncn型，其中bn和cn都是容易求和的数列【变式演练】1.设数列an满足a12，an1an34nnN*；（1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.2.已知数列an的前n项和为Sn，an13annN*，且-3，S4，9a3成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn1nan1，求数列bn的前n项和Tn.nn1【题型四】求和难点1：裂项相消基础思维【典例分析】设数列an满足：a11，且2anan1an1（n2），a3a412.（1）求an的通项公式：1（2）求数列的前n项和.anan2【提分秘籍】基本规律基础原理：mm[11],如：1=1[11],pqqppq422424基本题型：（1）111;(2)11[11nn1(2n-1)(2n1)22n12n1n(n1)要求（避免掉坑）：（1）分母分解因式:11[11]n23nn(n3)nn3(2)系数不相同就提系数：1=1111[11]2n(n2)2nn（2n+4）2n2(3)求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的是首尾项（或正负项）对【变式演练】1.数列a中，a1，2an11nnN*，数列b满足b2nanN*．22（1）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设cnlog2n2，求数列的前n项和Tn．anccnn12.在等差数列an中，a18，a23a4．（1）求数列an的通项公式；（2）设bnn124annN*，Tn为数列bn的前n项和，若Tn95，求n的值．3.已知an是公差不为零的等差数列，a37 ，且a2,a4,a9成等比数列．（1）求an的通项公式；（2）设bn1，求数列bn的前n项和Sn.anan1f（n）【题型五】求和难点2：形如 pq 型函数型裂项相消【典例分析】等差数列an满足a13，a21，a51，a95成等比数列，数列bn满足b11，bn1bnan.（Ⅰ）求数列an，bn的通项公式；an（Ⅱ）数列的前n项和为Tn，证明Tn1.bnbn1【变式演练】an22an1an*1.数列an满足a11，a23且nN.an2an1an1an（1）设bnan，证明：数列bn是等差数列；an1an（2）设can12，求数列cn的前n项和为Sn.nanan12、已知各项均为正数的数列an前n项和为Sn，且a11,an1SnSn1(nN).（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）设bna23，求数列bn的前n项和Tn.a21n1【题型六】求和难点3：指数型裂项相消【典例分析】设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an12Sn1，nN*.（1）求通项公式an；an*1（2）设bnnN，数列b的前n项和为T，求证：T.an1an114nnn【提分秘籍】基本规律an*形如bnnNanman+1m【变式演练】1.已知数列an的前n项和为Sn,且an12Sn对一切正整数n恒成立.（1）求当a1为何值时,数列an是等比数列,并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，记数列bnan的前n项和为Tn，求Tn.(an11)(an1)2、已知等比数列an的前n项和为Sn，且S430，a2，a4的等差中项为10.（1）求数列an的通项公式；（）求T2222n.S1S2S2S3SnSn1【题型七】求和难点4：指数等差型裂项相消【典例分析】已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2,nN*，数列bn满足：b11,b21，3且3bn24bn1bn0, nN*．（1）求证：数列bn1bn是等比数列；【提分秘籍】基本规律形如cf(n)1，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的(knb)[k(n1)nb]an【变式演练】1.已知数列an满足：a1an；数列bn是等比数列，并满足b12，且b11，1，ann1b4，b1成等差数列.（1）求数列an，bn的通项公式；5anan1（2）若数列bn的前n项和是Sn，数列cn满足cn，求证：an2Sn2ccc1.12n23、设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0．已知b11，b22b31，(a2a6)b41，a4b2a5a3．Snc1c2c3cn(n{an}{bn}n11N*)（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设c，．n(n2)nbb11（ⅰ）求Sn；（ⅱ）证明(nN*)．2(n1)2n1k1kSk【题型八】求和难点5：奇偶正负型裂项相消【典例分析】已知正项等差数列an满足：Sn2a13a23an3，其中Sn是数列an的前n项和.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn1n12an14n2an1，证明：b1b2Lbn22nn12.【提分秘籍】基本规律形如bn1n1f(n)，可类比前边规律裂项相消pq【变式演练】1.设数列an的前n项和为Sn，且Sn12anSnnN*.（1）求S1、S2、S3的值；（2）求出Sn及数列an的通项公式；（3）设bn1n1n12anan1nN*，求数列bn的前n项和为Tn.2、已知数列an满足a11，nN*，a112a21nanan11.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn1n12n1，记数列bn的前n项和Sn，求Sn.an an1【题型九】求和难点6：裂项为“和”型以相消【典例分析】已知数列an中，an0，a11，前n项和为Sn，且(Sn2Sn12)(SnSn1)2SnSn1(n2).（1）求证：数列an是等差数列；（2）设bn1n2n1，求数列bn的前2n项和T2n.anan1【提分秘籍】基本规律可通过分离常数，或者公式ab 1 1，裂项为“和”，借助系数的正负相间，达到裂项ab ba相消的目的【变式演练】1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn12an212an.（1）求数列{an}的通项公式；2n1（2）若数列{bn}满足bn(1)n，求数列{bn}的前n项和Tn.2Sn2、已知递增的等差数列an的前n项和为Sn，S11，S2，S31，S4成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）已知bn(1)n(4n4)，求数列bn的前2n项和T2n.an1an2【题型十】求和难点7：指数型裂项为“和”以相消【典例分析】已知数列{an}满足an12an20，且a18.（1）证明：数列{an2}为等比数列；（2）设b(1)nan，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的nN*，mTn(2n1)(2n11)n恒成立，求m的取值范围.【提分秘籍】基本规律授课时，注意讲清楚裂项凑配的原理。如果学生接受难度大，可以逆向思维：反解代入【变式演练】1.已知数列an满足a12,an12an2n1.a（2）求数列an的前n项和Sn；1nn24n22n（3）记c，求数列cn的前n项和Tn.nanan1【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项【典例分析】已知数列an的前项和满足2SnnannnN，且a23.a1n2是常数数列；（1）求证：数列n1（2）设bn1，Tn为数列bn的前n项和，求使Tn9成立的最小正anan1an1an20整数n的值.【变式演练】1.如图所示，在fxx的图像下有一系列正三角形△AnAn1BnnN*，记AnAn1Bn3anfanbn的边长为，2.（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若数列cn满足cn1，证明：bn1bnbn1bn1bnbn1cc c21.2 3 n 22、在①a2，a3，a44成等差数列；②S1，S22，S3成等差数列；③an1Sn2中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列an中，前n项和为Sn，已知a12，且______.（1）求数列an通项公式；（2）数列bn的通项公式bn2n，nN*，求数列bn的前n项和Tn.an1an11【题型十二】求和难点9：三项积式裂项相消【典例分析】已知数列a满足a1，an1an，nN.21an（1）若1.①求数列an的通项公式；②证明：对nN，aaaaaaaaan(n5).123234nn1n212(n2)(n3)【提分秘籍】基本规律属于比较难的题型，做复习参考。一般情况下，可如下公式裂项：ptq11tpq1q1p[pt1tq1],(ptq)【题型十三】求和难点10：先放缩后裂项【典例分析】已知数列an的前n项和为Sn，a12，且对任意正整数n，都有an13Sn2，数列bn满足bnlog2an．（1）求数列an，bn的通项公式；（）求证：1115n1．b2b2b24n212n【变式演练】1.已知数列a的前n项和为S，a1，且当n2时，SnSn1.nn122Sn11（1）求数列an的通项公式；（2）若bn21nan，证明：b22b32b42 bn2123.2、数列an中，a11，a21，且an1n1nN*,n2.411annan*1令fnnN,n2，将fn用n表示，并求an通项公式；na(n1)an1n72令Tna12a22an2，求证：Tn.6【题型十四】求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科）【典例分析】已知Sn为数列an的前n项和，S210，Snn1an12nN*.（1）求数列an的通项公式；n1an*1（2）设bnnN，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn1.2n(n1)!2【题型十五】求和难点12：分段数列求和【典例分析】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为正项等比数列，且a13，b11，b3S212，a5a32b2.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；2(n为奇数）（2）若cnSn，设{cn}的前n项和为Tn，求T2n.b(n为偶数)n【变式演练】1.已知an为等差数列，bn为等比数列，a1b11,a55a4a3,b54b4b3．（Ⅰ）求an和bn的通项公式；（Ⅱ）记an的前n项和为Sn，求证：SnSn2Sn21nN*；3an2bn,n为奇数,anan2求数列cn的前2n项和．（Ⅲ）对任意的正整数n，设cnan1,n为偶数.bn12.设an是等差数列，bn是等比数列.已知a11，b12，b22a2，b32a32.（1）求an和bn的通项公式；1, n2k（2）数列cn满足cnan,n2k(kN)，设数列cn的前n项和为Sn，求S2n.1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.2.已知等差数列an中，2a1a312，a12a21a4.（1）求数列an的通项公式；1112（2）记数列an的前n项和为Sn，证明：L.S1S2Sn312n3.正项数列a的前n项和Sn满足：S2(n2n1)S(n2n)0(1)求数列a的nnnn通项公式an；(2)令bnn1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜(n2)2an25.644.已知等比数列a的前n项和为S（Sn0），满足S，S，S成等差数列，且aaa.n123123（1）求数列an的通项公式；（2）设bn3an，求数列bn的前n项和Tn.an1an115.已知正项数列an满足：a11，an21Sn1Sn，其中Sn是数列an的前n项和．（1）求数列an的通项公式；（2）设bnan1，证明：bbb1．2an12an1a43n12n（1）求数列{}1,2,46.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．（2）令项和．的通项公式；17.已知an是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与an的等差中项．（1）求证：数列Sn2为等差数列；（2）设b (1)n，求b的前100项和T ．n an n 1008.已知an是公比q1的等比数列，且满足a2a312，a1a432，数列bn满足：abab...ab32n14n6.（1）求数列an和bn的通项公式；bn21...cn11（2）令cn，求证：c1c2.bbabann1nn1n9.已知数列an是首项为a1，公比为q的等比数列．（1）求和：a1C20a2C21a3C22，a1C30a2C31a3C32a4C33；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；（3）设q1，Sn是等比数列an的前n项和，求：S1Cn0S2Cn1S3Cn2S4Cn3 (1)nSn1Cnn．10.已知正项等比数列an满足a12，a3a7322，数列bn的前n项和为Snn2n，（Ⅰ）求an与bn的通项公式；an,n2k1,kN（Ⅱ）设cnb,n2k,kN，求数列cn的前2n项和T2n．n专题7-1线性规划归类【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系）【典例分析】≤+若实数，满足，则的取值范围是___+≥【提分秘籍】基本规律1.线性，注意Z与截距之间的正反比例关系，如变式22.斜率型，要写层标准的斜率公式形式，如变式13.距离型，注意圆与直线（线段）的位置关系：点到线的垂直关系还是点到点的关系，如典例分析【变式演练】xy20y41.设x,y满足约束条件{2xy30，则的取值范围是()x6xy04,13C.,31,D.3,1A.B.3,7+≤,=−2.若实数，满足约束条件则目标函数的最大值是__________．≥,x03.设点Px,y是平面区域{xy10 内的任意一点，则x2y24x的最小值为2xy20A.1B.1C.9D.522【题型二】由参数确定图像形状【典例分析】xy02xy2，表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围是（）若不等式组y04xya44A.aB.0a1C.1aD.0a1或a333【提分秘籍】基本规律分类讨论，动图研究【变式演练】xy4,1.设不等式组yx0,表示的平面区域为D，若圆C:(x1)2(y1)2r2(r0)不x10,经过区域D上的点，则r的取值范围是A．2B．(22,252,32]C．(22,25]D．(0,22)(25,)x…0y…0表示的是一个对称四边形围成的区域，则k.2.不等式组xy21„0xkyk…03.已知圆的方程为x2y24，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x||y|a覆盖，则实数a的取值范围是（）A．a1B．a1C．0a1D．a0【题型三】含参线性规划【典例分析】给出平面区域如图所示，其中A（1，1），B（2，5），C（4，3），若使目标函数Zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是A．B．1 C．4 D．【提分秘籍】基本规律含参型，注意区分参数所在位置而采取的不同处理方法。（1）参数在目标函数x系数位置，如典例分析（2）参数在目标函数y系数位置，如变式1（3）参数在约束不等式位置，如变式2（4）多参数，如变式3（5）授课时要讲清楚“秒杀”法原理：三线共点法【变式演练】xya,且zxay的最小值为7，则a1.设x，y满足约束条件xy1,（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-3xy02.变量x,y满足约束条件x2y20，若z2xy的最大值为2，则实数m等于mxy0A．2B．1C．1D．2x13.已知点(x,y)是不等式组xy4表示的平面区域内的一个动点，且目标函数axbyc0z2xy的最大值为7，最小值为1，则abc的值为（）1aA．2B．C．-2D．-12【题型四】目标函数变化型1：绝对值型【典例分析】x3y70，则z|yx|的最大值为．已知x,y满足x1y1【提分秘籍】基本规律注意绝对值所在的位置，采取不同的策略：1.目标函数整体位置，典例分析2.单个变量位置，变式13.双绝对值位置，变式24.高考难题，变式3【变式演练】x3y301.已知实数x,y满足xy10，则z=2|x|+y的取值范围是___y1x2y202.2xy40,z2x3y1___.变量x,y满足约束条件则目标函数的取值范围是xy103.已知实数x，y满足x2y21，则2xy46x3y的最大值是．【题型五】目标函数变化型2：分式型【典例分析】x4y42xy3已知3x5y15，则的最大值为；x2x1,y2【提分秘籍】基本规律1.分式型，如果是斜率型，要注意分离常数，还要注意x，y的系数要提出来，如典例分析2.齐次分式型，可以同除换元，如变式1，但是要注意同除时，是否要讨论为0的情况。3.复杂分式型，实质是划归后（主要是同除或者分离常数），可换元转为基础型，如变式2【变式演练】1.点M(x,y)在圆x2(y2)21上运动，则xy的取值范围是()4x2y2A.(,1][1,)B.(,1][1,)0C.[1,0)(0,1]D.[1,1]44444444yxxy22.若x,y满足不等式组y0，则目标函数xy10,2x2y2则z3.已知x,y满足xy0,x3,

(x2y)23x2y1的取值范围是_____．3xy12x8y16的最小值是（）x(y4)A.23B.20C.28D.6233【题型六】目标函数变化型3：二次型B【典例分析】2−3≤6[−3,0]0,9−3,9．．C．D．【提分秘籍】基本规律这几道题，处理的方法各有特色，授课时注意分析其中的区别和联系【变式演练】xy600，则2xy的最大值为（1.设实数x，y满足x2y14）02xy10A.25B.49C.12D.242.xy3x4y12,x4y4,3x2y6则xy的最大值是已知实数、满足三个不等式：_______..2xy0,2y30,则z4x24xyy21的最大值为__________．3.已知变量x、y满足x0,x【题型七】目标函数变化型4：向量型【典例分析】xy0320所表示的可行域内任意一点，点A(1,已知点P3)，O为坐标原为不等式xyy0OAOP点，则的最大值为（）OPA．B．1C．2D．132【提分秘籍】基本规律.把向量转化为截距型等各类常规型求解。【变式演练】1.已知e1，e2为平面上的单位向量，e1与e2的起点均为坐标原点O，e1与e2夹角为.平面区（）=1+20≤，那么平面区域D的面积为域D由所有满足3A.1B.C.D.2.A(1,1)B(4,0)，C(2,2)已知，，平面区域是由所有满足ADABAC(12,13)的点D(x,y)组成的区域，则区域E的面积是（）．A．8B．12C．16D．20xy20,2表示平面区域,过区域中的任意一个点P,作圆2,3.已知不等式组x22y2x2y21的两条切线且切点分别为A,B,当APB最大时,PAPB的值为（）A．2B．3C．5D．322【题型八】导数和函数型【典例分析】已知二次函数fxx22ax2b有两个零点x1,x2，且1x11x22，则直线bxa1y30的斜率的取值范围是（）22232122A．,B．,C．,D．,,55525332【提分秘籍】基本规律函数和导数型涉及到线性规划，多是在函数性质以及“根的分布”题型中1()=ln(+1−)(−2)+(2−)≤0【变式演练】222.设函数时，，若，满足不等式，则当2的最大值为（）2.已知函数f32,gxlog2x2alog2xb2，若函数Fxfgx1xx有两个零点x,x，且满足1x2x4，则b2a的取值范围（）1212a11243434123A．(,)B．[,]C．(,][,)D．(,)323232553.f(x)ln1xf(x)+f(2y)0x3已知函数1x，若x,y满足1，则y的取值范围是（）11A.1,B.(1,)C.(-1,1)D.[-1,1]22xy2所表示的平面区域为D，其面积为S.①若S4，则k的值1.设不等式组y2k(x1)唯一；②若S1，则k的值有2个；③若D为三角形，则0k≤2；④若D为五边形，23则k4．以上命题中，真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4xy10，当目标函数zaxby(a0,b0)在该约束2.已知x,y满足约束条件y302x条件下取到最小值25时，a2b2的最小值为（）D.2A.5B.4C.5x2y40,时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是____.3.当实数x，y满足xy10,x1,4.如图，在OAB中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OPxOAyOB，则在直角坐标平面上，实数对x,y所表示的区域在直线yx3的右下侧部分的面积是（ ）A．7B．9C．4D．不能求225.设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为A．﹣8B．8C．12D．136．已知函数fx满足：①对任意0x1x2，都有fx1fx20；②函数yfx2的x1x2图象关于点2,0对称若实数，满足fa22bfb22a，则当a1,1时，a2ab的取值范围为（）A．1,1B．1,1C．1,1D．2,428242x11,x07．已知函数fxx2mfxn0n0有7个不同的，若方程fln(ex)1,x0x实数解,则2m3n的取值范围（）A．(2,6)B．(6,9)C．(2,12)D．(4,13)x2y28．已知实数x，y满足条件{3x26，则(x1)y的最大值是（）yA．1B．4C．9D．3389．已知正数a、b、c满足6c4ab5c2a，clnbaclnc，则b的取值范围是（）aA．2,eB．e,8C．2,82eD．e,e10．已知函数f(x)m1nlnx(m0,0„n„e)在区间1，e内有唯一零点，则n2的最大值为xm1e2e2A．B．C．e1D．122ee12xy6051bya0,b0的最大值为40，则11．在xy20条件下，目标函数zax的最abxy2小值是A．7B．9C．5D．24242xy4．已知动点P(x,y)满足x1，则226x的最小值是_______.x21)(y21y)1(x13C2，直线OP（其中O为．以点C(1,2)为圆心作圆，过点P(2,4)作圆的切线，切线长为坐标原点）交圆C于A,B两点，当点M(x,y)在优弧AB上运动时，x2y12xy的最大值为_________.专题7-2基本不等式归类【题型一】基础型【典例分析】在下列函数中,最小值是2的是A.yx2B.yx2(x0)xx12

ysinxcosx,x0,πD.y7x7x2【提分秘籍】基本规律1.基本公式（）22ab2ab2；（2）；（3）b22.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。【变式演练】1.已知关于x的不等式x25ax2a20a0的解集为x1,x2，则x1x2a的最x1x2小值是______．b4a2.若a、b都是正数，则11的最小值为().abA.5B.7C.9D.133.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使a21x恒成立的概率是（）a21A．1B．1C．2D．33234【题型二】“1”的代换型【典例分析】2xy7，则x+3y的最小值为__________已知x，y均为正实数，且6xy2【提分秘籍】基本规律“1”代换是基本型，要注意1.一正二定三相等2.见分子想分母，见分子想分子。【变式演练】1.已知a0，b0，321，则2a3b的最小值为（）baA．20B．24C．25D．282.已知a0，b0，3a41，则13b的最小值为（）abA．13B．19C．21D．27已知正实数a，b满足a＋＝，则2a212b24的最小值为3.b1ab_____【题型三】“和”与“积”互消型【典例分析】已知x、y都是正数，且满足x2yxy30，则xy的最大值为_________．【提分秘籍】基本规律1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式12.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2授课时，注意这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以用反解代入消参等方法【变式演练】1.已知x0，y0，且4x2yxy0，则2xy的最小值为（）A．16B．84C．12D．64222.已知x0,y0，且2x9y6xy9，则2x9y的最小值为____