天津市五所重点高中2023-2024届高三数学联考试卷

天津市五所重点高中2023-2024届高学联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题（本大题共9小题,共45.0分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1．已知集合A={x∣x2−3≤0A．{−2，−1C．{−1，12．设命题p：∀x<−1，x2+x>0，则A．∃x<−1，x2+x≤0 B．∃x≥−1C．∀x<−1，x2+x≤0 D．∀x≥−13．函数f(A． B．C． D．4．直线l1：(3+m)x+4y=5−3m，lA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设a=2.10.3，b=log43，c=log21.8，则a、b、c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn为数列{SnA．51 B．52 C．84 D．1047．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，且VADE，△BCF均为正三角形，A．423 B．2 C．228．已知函数f(A．fB．f(C．不等式f(xD．将f(x)的图象向右平移π9．已知函数f(x)=|2x+2A．(−∞B．(−C．(−∞D．[二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)10．已知复数z=2+i1−i，则复数z11．已知圆C1：x2+y2+4x+1=0和圆12．曲线y=2x−lnx在x=1处的切线的倾斜角为13．定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=−f(14．若a>0，b>0，且b+8a−2ab=0，则2a+b的最小值为；此时a=15．如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=2，BC=6，且AD=λBC，AD⋅三、解答题（本大题共5小题,共60.0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=32，b=6，C=（1）求c；（2）求cos(A−（3）求cos(A−B−C)17．如图，在四棱雉P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，（1）求证：DE⊥平面PAC（2）求平面APC与平面PCD所成的余弦值；（3）设Q为棱CP上的点（不与C，p重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQ18．已知圆C经过点A(1，3)和B（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点(0，3)，且l与圆（3）P为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(x+119．已知数列{an}是公比q>1的等比数列，前三项和为13，且a（1）求数列{an}（2）设数列{cn}的通项公式cn=an（3）求i=1n20．已知函数f(（1）讨论f(（2）当a<0时，证明f(（3）若不等式f(x)

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为A={x|xB={y|y=2所以A∪B={−2，故答案为：B.

【分析】本题考查集合的并集运算.先求出集合A，B为：A={−1，0，2．【答案】A【解析】【解答】解：∵命题p：∀x<−1，x2∴p的否定为：∃x<−1，x2故答案为：A.

【分析】由全称命题的否定为特称命题结合题意即可得出结果。3．【答案】A【解析】【解答】解：当x>0时，f(x)=3x，其在当x<0时，f(x)故答案为：A.

【分析】本题考查函数图象.当x>0时，函数解析式为：f(x)=3x，可知在(0，+∞)单调递增，可判断C，D错误；当4．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，显然m+5≠0，所以当直线l1//l2时，满足所以“m=−1或m=−7”是“l1//l

【分析】本题主要考查了两直线的位置的判定及应用，以及必要不充分条件的判定.由两条直线平行，A1A2=B5．【答案】B【解析】【解答】：a=2.10.3＞2.10=1，∵b=log43=lo且3<1.8∴b＜c＜1．∴a＞c＞b．故答案为：B．【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性结合a，b，c与特殊值的大小关系，从而比较出a，b，c三者的大小关系。6．【答案】A【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d由21S8=10S12解得a1=32，d=1，所以，则Sn+1n+1−所以，T12故答案为：A.

【分析】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式.根据等差数列的通项公式和前n项和公式可列出a1、d的方程组，解方程组可求出a1、d，再表示出Sn的表达式，利用等差数列的定义可证明{7．【答案】D【解析】【解答】解：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则由题意等腰梯形ABFE全等于等腰梯形CDEF，则EG=HF=2−1取AD的中点O，连接GO，因为AG=GD，所以GO⊥AD，则GO=(∴S△ADG因为AB//EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，因为四边形所以AB⊥AD，又因为AD∩AG=A，AD，AG⊂平面ADG，所以AB⊥平面所以EF⊥平面AGD，同理可证EF⊥平面BCH，∴多面体的体积V==1故答案为：D.

【分析】本题考查棱锥的体积公式.如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，取AD的中点O，连接GO，利用勾股定理可求出GO的值，再利用三角形的面积公式可求出S△ADG8．【答案】C【解析】【解答】解：由函数图象可知，最小正周期为T=4(11π4−将点(5π4，3)代入又|ϕ|<π2，所以φ=π所以f(3π令f(x)≥32，则sin(13x+π12)≥1所以不等式f(x)≥32的解集为将f(x)=3sin(13x+π12)的图象向右平移π12解得6kπ−5π3≤x≤6kπ+令k=1得13π3≤x≤22π故答案为：C.

【分析】本题考查根据函数图象确定函数解析式和三角函数的性质.根据函数图象可先求出周期T，再代入点(5π4，3)，可求出φ，进而求出函数f(x)解析式，可判断A选项；将自变量代入函数解析式可判断B选项；由f(x)≥32，可得9．【答案】A【解析】【解答】解：根据f(x)=|2x+2由图可知：当f(x)=0时，此时由两个根，分别为−2，当0<t<1时，此时f(x)=t有4个交点，当1≤t≤3时，此时f(x)=t有3个交点，当t>3时，此时f(x)=t有2个交点，故要使得[f(x)]2f(x)=0显然不是[f(设g(t)=t2+mt+2的两个零点分别为t故当0<t1<1，t故需要满足g(0)=2>0g(1)=3+m<0g(3)=11+3m<0，解得当1≤t1<t2故需要满足1<−m2<3综上可得−3≤m<−22或故答案为：A.

【分析】本题考查函数与方程的综合运用.根据分段函数的解析式，作出函数的图象，采用换元法：令f(x)=t，原问题转化为：方程t2+mt+2=0有6个不同的实数根，对t进行分类讨论：当0<t1<110．【答案】1.5【解析】【解答】解：z=所以复数z的虚部为3故答案为：32【分析】本题考查复数的运算法则.根据复数除法运算分子和分母同时乘以1+i可得z=111．【答案】2【解析】【解答】解：圆C1：(x+2)2圆C2：(x+1)2所以|C两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得：(x2+y2+4x+1)−(x2+y2故答案为：2.

【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先对圆C1和圆C2进行配方，配成标准方程，再找出圆C1和圆C2的圆心和半径，将两个圆的方程相减：(x12．【答案】-0.6【解析】【解答】解：由y=2x−lnx所以tanα=所以cos(2α−故答案为：−3

【分析】本题考查切线方程的求法.先求出导数为：y'=−2x213．【答案】-1【解析】【解答】解：由f(−x)=−f(x)可得函数f(x)为奇函数，由f(x−2)=f(x+2)可得f(故函数的周期为4，所以f(lo因为−1<log2∴f(lo故答案为：−1.

【分析】本题考查函数的周期性和奇偶性.根据题意：f(−x)=−f(x)，和f(x−2)=f(x+2)可得f(x+4)14．【答案】9；1.5【解析】【解答】解：因为b+8a−2ab=0，所以12a因为a>0，b>0，所以2a+b=(2a+b)(1当且仅当b2a=8a所以2a+b的最小值为9，此时a=3故答案为：9；32【分析】本题考查基本不等式求最值.先将b+8a−2ab=0，变形为：12a+415．【答案】13；【解析】【解答】解：因为AD=λBC，所以因为∠B=60°，所以∠BAD=120°，所以AD=−1建立如图所示的坐标系xoy，

因为∠B=60°，AB=2，BC=6，可得A(0，设M(m，0)，因为|MN所以AM=(mAM⋅当m=1所以AM⋅DN的最小值为故答案为：13，11

【分析】本题考查平面向量基本定理的应用和平面向量的数量积公式.利用平行线的性质先求出∠BAD=120°，根据题意AD⋅AB=−2，再利用数量积公式可求出λ的值；建立平面直角坐标系，设M(m，0)，则N(m+116．【答案】（1）解：由余弦定理得c2∴c=3（2）解：由正弦定理asinA=csin∵a<b，∴A为锐角，∴cosA=∴cos（3）解：由(2)可得cos2A=1−2∵B+C=π−A，∴cos【解析】【分析】(1)由余弦定理即可求c；

(2)由正弦定理可求sinA，再求出cosA，根据余弦差角公式即可求cos(A−π4)；17．【答案】（1）因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为AB⊥AD，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，2，0)，P(0，0，4)，E(2，1，0)所以DE因为DE·AC又AP∩AC=A，AP⊂平面所以DE⊥平面PAC.（2）设平面PAC的法向量m，由(1)可知m=设平面PCD的法向量n因为PDuu所以n⋅PD=0不妨设z=1，得n=cos又由图示知二面角A−PC−D为锐角，所以二面角A−PC−D的余弦值为25（3）设CQCP=λ所以Q=(2−2λ，因为直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55所以|cos〈即36λ2−24λ+9=3，解得【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直，利用空间向量求平面与平面所成的角，直线与平面所成的角.（1）利用直线与平面垂直的性质可推出：PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，先写出点的坐标，再表示出DE→，AC（2）写出平面中两个相交向量，再求出平面APC与平面PCD的法向量，利用向量的夹角计算公式饿求出答案；（3）设CQCP=λ(0<λ<1)，可表示点Q18．【答案】（1）因为圆心C在直线x−y+1=0上，所以设圆C的圆心C(a，所以圆的方程为(x−a因为圆C经过点A(1，所以(1−a)2解得a=5r=5所以圆C的方程为(x−5（2）由题意设直线l的方程为y=kx+3或x=0，当l的方程为x=0时，验证可知l与圆C相切；当l的方程为y=kx+3，即kx−y+3=0时，圆心C到直线l的距离为d=|解得k=−8所以l的方程为y=−815x+3所以直线l的方程为x=0或8x+15y−45=0.（3）由(1)知圆心为C(则圆心与点(−1，−2因为(x+1)2+(y+2)2可以看作圆上任意一点【解析】【分析】本题考查圆的定义，圆的切线方程，点与圆的位置关系.（1）因为圆心在直线x−y+1=0上，先设圆心坐标，半径，写出圆的方程，把点A，B的坐标代入圆的方程可得方程组：(1−a(2)分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，设出l的方程为，利用圆切线的性质：圆心到直线的距离等于半径可可列出方程|5k−6+3（3）根据圆的几何性质可将问题转化为圆上的点到点(−1，−219．【答案】（1）由题意得a1解得a1=1q=3所以an=3n−1，又所以bn（2）设奇数项的和为An+1A设偶数项的和为BnB所以S2n+1（3）(2bi−4)【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的定义，数列的求和公式.（1）根据等比数列的通项公式和等差中项的定义可列出方程组，解方程组可求出a1=1q=3，利用等比数列的通项公式可求出an；进而根据b1（2）原问题可转化为数列的分组求和问题：利用等比数列前n项求和公式求出奇数项的和，利用等差数列前n项求和公式求出偶数项的和，将奇数项和与偶数项和相加可求出答案；（3）由（1）可得(2b20．【答案】（1）解：由题意，得f(x)若a≥0，则当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)综上所述，若a≥0，f(x)在(0，（2）由（1）知，当a<0时，f(x)在x=−所以f(x)≤−34a−2等价于ln当x∈(0，1)时，g所以g(x)在(故当x=1时，g(x)所以当x>0时，g(从而当a<0时，−1即f(（3）①当a≥0时，由(1)知f(x)在(所以当