上海师大附中2024年高考数学模拟试卷（3月份）

上海师大附中2024年高考数学模拟试卷（3月份）姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{A=x|x>−2}，B={x|xA．A⊆B B．A∩B=⌀C．A−⊆B2．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：dm）的关系式为V=πd3A．2π B．π C．π2 D．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，且c−2b+2A．1 B．3 C．2 D．24．在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=2，若CP=λ①λ+μ的最小值为−4②PA⋅PB③λ+μ的最大值为34④PA⋅PB其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共12小题，共54分。5．复数3+4i3−4i的虚部是6．双曲线x2−y7．若抛物线x2=my的焦点到它的准线距离为1，则实数m=8．(x+3x)n的二项展开式的各项系数之和为9．已知两个单位向量a，b满足|4a+b|=13，则向量a10．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x(1−x)，则f(11．设圆锥的底面中心为O，PB、PC是它的两条母线，且|BC|=2，若棱锥O−PBC是正三棱锥，则该圆锥的体积为．12．已知函数f(x)=2f'(3)⋅x−213．已知数列{an}，{bn}是公差相等的等差数列，且an+bn14．如图ABCDEF−A'B'C'D15．已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F116．已知n∈N∗，集合A={sinkπn|k∈N，0≤k≤n}，若集合A恰有三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（1）已知tan(3π4（2）已知△ABC中，tanA+tanB+3=3tanAtanB，且18．如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，且AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）若圆柱与三棱锥D−ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．19．某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班(45人)和高三二班(30人)进入决赛.决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．（1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；（2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在乙箱中再依次抽取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率．20．已知点F1，F2分别为双曲线Γ：x22−y2=1的左、右焦点，直线l：（1）当F1∈l时，求F2（2）若O为原点，直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，证明；当△COD的面积最小时，直线CD平行于x轴；（3）设P为x轴上一点，是否存在实数k(k>0)，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数g(x)=ax2−(a+2)x，h(x)=lnx（1）当a=1时，求函数y=g(x)在x=1处的切线方程；（2）当a为正数且1≤x≤e时，f(x)min=−2（3）若f(x1)−f(x2

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】A、B={x|x2+2x−15≥0}={x|x≥3或x≤-5}，集合A、B不具备包含关系，A错误；

B、A∩B={x|x≥3}，B错误；

C、A−={x|x≤-2}，B−={x|-5<x<3}，则A−、B−2．【答案】A【解析】【解答】解：设V=f(d)=π故答案为：A

【分析】首先对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式，计算出结果即可3．【答案】A【解析】【解答】∵a=3，∴c-2b+2acosC=0，

∴sinC-2sinB+2sinAcosC=0.

∴sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0，

∴sinC-2sinAcosC-2sinCcosA+2sinAcosC=0，

∴sinC-2sinC'cosA=0，

∵sinC>0，∴cosA=12，A∈(0，π)，

∴A=π3，

设该三角形外接圆的半径为r，

由正弦定理得asinA=34．【答案】A【解析】【解答】如图，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，

则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，因为PC=2，所以设P(2cosθ，2sinθ)，

则CP→=2cosθ，2sinθ，CA→=3，0，CB→=0，4，

所以CP→=λCA→+μCB→=3λ，4μ，

所以2cosθ=3λ2sinθ=4μ，即23cosθ=λ12sinθ=μ（θ为任意角），

所以λ+μ=23cosθ+12sinθ=5645．【答案】24【解析】【解答】3+4i3−4i=3+4i23−4i3+4i=-7256．【答案】2【解析】【解答】双曲线x2−y24=1，可得a=1，b=2，则c=1+4=57．【答案】±2【解析】【解答】∵x2=my=2·m2y，∴p=m2，又抛物线的焦点到它的准线距离为1，所以p=m28．【答案】54【解析】【解答】令x=1，则4n=256，解得n=4，所以展开式通项为：Tk+1=3kC4kx4-2k9．【答案】120°【解析】【解答】根据题意，设向量a，b的夹角为θ，若|4a+b|=13，则16a⃗2+b⃗2+8a⃗·b10．【答案】1【解析】【解答】因为f(x+1)=2f(x)，所以f(32)=f(12+1)=2f(12)=2×11．【答案】2【解析】【解答】已知如图所示：

∵棱锥O-PBC为正三棱锥，∴PB=PC=BC=2，OB=OC=OP，

∵PO⊥BO，PO⊥OC，由勾股定理得OB=0C=OP=2，即圆锥的底面圆半径r=2，高为2，

则该圆锥的体积为V=13π×22×212．【答案】16【解析】【解答】因为f(x)=2f'(3)⋅x−29x2+lnx，所以f'(x)=2f'(3)−49x+1x，则f'(3)=2f13．【答案】5+n【解析】【解答】设数列{an}，{bn}的公差为d，由an+bn=a1+b1+2(n-1)d=a1+b1-2d+2nd=2n+5，

可得2d=2a1+b1-2d=5，解得d=1a1+b1=7，则an=a1+n-1，bn=b1+n-1，

即abn=ab14．【答案】6【解析】【解答】由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组，若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，

连接AD，C'D，E'D，AB'，AF'，先考虑下底面，根据正六边形性质可知EF//AD//BC，所以E'F'//AD//B'C'，且B'C'=E'F'≠AD，故ADC'B'共面，且ADE'F'共面，故AF'，DE'相交，且C'D，AB'相交，故共面有2组，则正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线，同理可知正六边形对角线BE，CF所对的分别有两组，共6组，故对于上底面对角线A'D'，B'E'，C'F'同样各对两组，共6组，若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，所以共面的概率是6+12+12+6C122=611.

15．【答案】3【解析】【解答】已知如图所示：

依题得|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|=3|F1Q|，则|PF1|=43a，|QF1|=49a，|PF2|=23a，|QF2|=149a，

则cos∠QF1F2=-cos∠PF1F2，则2c2+49a2-149a22·2c·49a=-2c2+43a2-2316．【答案】{【解析】【解答】因为A={0，sinπn，sin2πn，…，17．【答案】（1）tan(原式=sin（2）因为tan(A+B)=所以tan(π−C)=−sin2B=2sinBcosB=32，且所以2B=π3或2π3，即B=当B=π6，则A=π当B=π3，则A=π【解析】【分析】(1)由已知结合两角和的正切公式可求tana，然后结合同角基本关系可求；

(2)由两角和的正切公式先求tan(A+B)，进而可求tanC，C，再由二倍角公式及特殊角三角函数值求出B，即可判断.18．【答案】（1）根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．∵EB⊂平面ABE，∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF⊂平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB⊂平面DEB，∴AF⊥DB．（2）过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH如图所示：

根据圆柱性质，平面ABD⊥平面ABE，AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABD．又DH⊂平面ABD，所以DH是ED在平面ABD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，由V圆柱：VD−ABE=3π，得EH=R，可知HDH=∴∠EDH=arctan【解析】【分析】(1)欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；

(2)点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可.19．【答案】（1）一班抽取4575×20=12人，二班抽取一班样本平均数为1，样本方差为1，二班样本的平均数为1.5，样本方差为0.25，总样本的平均数为12×1+8×1.512+8记总样本的样本方差为12×[1+(1−1.2)所以，这20人答对题目的样本均值为1.2，样本方差为0.76．（2）设事件A为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，事件B1为“王刚同学从甲箱中取出2事件B2为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1事件B3为“王刚同学从甲箱中取出2则B1、B2、B3P(B1)=C4P(A|B1)=58P(A)=P(B所求概率即是A发生的条件下B1发生的概率：P(【解析】【分析】(1)首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；

(2)根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.20．【答案】（1）由双曲线Γ：x22−y2∵F1∈l时，∴0=−∴直线l：y=33x+1，F2到（2）由双曲线Γ：x22−∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，∴−2由y=22xy=kx+1得交点由y=−22xy=kx+1得交点∴S△CDO=所以当△COD的面积最小时，直线CD平行于x轴；（3）假设存在实数k(k>0)，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，设P(m，0)，A(x1，由y=kx+1x2−2y2∴Δ=16k2−4(1−2k2)(−4)>0且x1+xAB的中点M(2k所以AB的垂直平分线方程为y−11−2k2=−PA⋅PB=0∴(k∴(k∴−4−4km+(1+m∴−4−4k×∴4k4+k2−3=0，解得k=±3存在实数k=32，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时【解析】【分析】(1)易求焦点坐标，可得F2到l的距离；

(2)求得两渐近线方程，联立方程可得S△CDO=12×1×|122−k−−122+k|，可证结论；

(3)假设存在实数k(k>0)，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，设P(m，0)，A(x121．【答案】（1）a=1时，g(x)=x2−3x故g(1)=−2，g'所以y=g(x)在x=1处的切线方程为y+2=−(x−1)，即x+y+1=0；（2）f(x)=g(x)+h(x)=ax2−(a+2)x+lnx则f'因为a>0，当a≥1时，易得f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)当1e<a<1时，f(x)在[1，1故f(x)当0<a≤1e时，f(x)在[1，e]上单调