江苏省南通市2024届高三下学期高考适应性考试（二）（二模）数学试题

江苏省南通市2024届高三下学期高考适应性考试（二）（二模）数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．sinA．12−34 B．12+2．已知复数z满足z2=−3+4i，则A．32 B．5 C．5 3．若(1+x)2+(1+x)A．49 B．55 C．120 D．1654．已知f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)，且f(1A．4 B．8 C．64 D．2565．已知函数y=3sinωx+cosωx（ω>0A．14 B．12 C．12116．某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（）A．15 B．25 C．30 D．357．已知曲线C1:x2+y2−4x+2y=0与曲线C2A．α+β=π2 C．α+β=π3 8．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，R分别为棱BC，A．53π B．83π C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9．已知向量a在向量b方向上的投影向量为(32,32)，向量b=(1,3A．(0,2) B．(2,0) C．10．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1，F2A．椭圆C的离心率为33 B．直线ABC．△AB1F211．某农科所针对耕种深度x（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据如下表：耕种深度x/cm81012141618每公顷产量y/t68mn1112已知m<n，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程：y=bx+a，i=16yi2=510，i=1（参考数据：两个变量x，y之间的相关系数r为2021，参考公式：b=i=1n(则（）A．m+n=17 B．b=47 C．a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知f(x)=x3−x2，当13．已知二面角α−l−β为直二面角，A∈α，B∈β，A∉l，B∉l，则AB与α，β所成的角分别为π6，π4，AB与l所成的角为14．已知抛物线C:y2=4x，过点(4,0)的直线与抛物线交于A，B两点，则线段四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.15．设数列{an}的前n项和为Sn，若（1）求a1，a2，并证明：数列（2）求S2016．已知函数f(x)=lnx−ax，g(x)=2（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若a>0且f(x)≤g(x)恒成立，求a的最小值.17．某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为1718．已知三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，（1）求证：B1（2）已知A1A=2，P∈平面ABC，且C1①求证：AG∥C②求A1P与平面19．已知双曲线E的渐近线为y=±33x（1）求双曲线E的方程；（2）直线l:x=t交x轴于点D，过D点的直线交双曲线E于B，C，直线AB，AC分别交l于G，H，若O，A，G，H均在圆①求D的横坐标；②求圆P面积的最小值.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：sin2π12=1-cos2．【答案】C【解析】【解答】解：因为复数z满足z2=−3+4i，设复数z=a+bi,a,b∈R，

所以，a+bi2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi=−3+4i，

所以，a2-b3．【答案】D【解析】【解答】解：因为二项式1+xn展开式的通项公式为Tr+1=Cnrxr0≤r≤n且r∈N,

又因为(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)10=a0+a14．【答案】D【解析】【解答】解：因为函数f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)，且f(12)=2，

令x=y=12,则f(12+12)=f(12)⋅f(12)5．【答案】B【解析】【解答】解：因为函数y=3sinωx+cosωx=32+12sinωx+π6=2sinωx+π6,

令-π2+2kπ≤ωx+π6≤π6．【答案】B【解析】【解答】解：假设该班级的人数为x，由题意，x-3+1-1<0.9x<x-3+1，解得20<x<30，

结合选项，该班级的人数可能为25.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合百分位数求解方法和假设法，从而得出该班级可能的人数.7．【答案】A【解析】【解答】解：因为曲线C1:x2+y2−4x+2y=0与曲线C2:f(x)=x2在第一象限交于点A，

联立二者方程，即x2+y2−4x+2y=0y=x2，得出x3+3x-4=0，因为点A在第一象限，

所以，x>0,y>0,所以，交点A(1，1)，

又因为曲线C1:x2+y2−4x+2y=0与曲线C2:f(x)=x2在A处两条曲线的切线倾斜角分别为α，β，

由f'(x)=2x，所以，曲线C2:f(x)=x2在点A处的切线斜率为k切=f'1=2×1=2，

所以tanβ=k切=2，因为直线C8．【答案】A【解析】【解答】解：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,D0,0,0,A12,0,2,B12,2,2,C11,1,1,

D10,0,2,P1,2,0,Q0,1,0,R0,2,1,O1,1,1,

则PR→=-1,0,19．【答案】A,D【解析】【解答】解：设向量a→=x,y，又因为向量a在向量b方向上的投影向量为(32,32)，

向量b=(1,3)，且a与b夹角π6，所以，a→·b10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设AF1=12B1F1=m,椭圆的焦距为2cc>0，

由椭圆的对称性可知，B1F2=B1F1=2m，

由椭圆的定义可知，B1F2+B1F1=4m=2a,即m=a2，

所以，AF1=a2,AB1=AF1+B1F1=32a,

由椭圆的定义可知，AF1+AF2=2a，所以，AF2=32a=AB1,

11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为i=16(yi−y)2=i=16yi2-6y2=510-6y2=24,y2=81,

所以，y=9,m+n=17，所以A对；

因为x=13,r=i=112．【答案】1【解析】【解答】解：因为f(x)=x3−x2，

则f(1+h)=1+h3−1+h2=1+2h+h21+h-1-2h-13．【答案】π【解析】【解答】解：如图，过点A，B分别作AC⊥l,BD⊥l于C,D,连接BC，AD，

分别取AC，AD，BD中点为E，F，G，连接EF，EG，FG，CG，

因为α⊥β于C，AC⊂α且AC⊥l,所以，AC⊥β，同理BD⊥α，

所以，AC⊥CG，∠ABC,∠BAD分别为直线AB与平面α，β所成的角，

所以，∠ABC=π6,∠BAD=π4,又因为AB=22,所以，AD=BD=2，

BC=32AB=6,AC=2，又因为E，F，G分别为AC，AD，BD的中点，

所以，EF=∥12CD,FG=∥12AB,CE=12AC=22,所以，∠EFG为直线AB与直线l所成角或补角，

又因为CD=AD14．【答案】y【解析】【解答】解：抛物线C:y2=4x，设过点(4,0)的直线为y-0=kx-4，即y=kx-4k,

因为过点(4,0)的直线与抛物线交于A，B两点，联立二者方程，即y=kx-4ky2=4x，

整理可得：k2x2-(8k2+4)x+16k2=0，x1+x2=--15．【答案】（1）解：当n=1时，由条件得a1−1当n=2时，由条件得(a1+因为Sn−12a两式相减得：an−1所以(a从而数列{a（2）解：由（1）知an与（1）类似，可证：a1+a2，所以S=(4×2−2)+(4×4−2)+⋯+(4×20−2)=【解析】【分析】（1）利用已知条件结合an,Sn的关系式和赋值法以及数列的和的定义，进而得出数列的首项和第二项的值；再利用已知条件结合an,Sn的关系式和分类讨论的方法以及检验法，从而由等差数列的定义证出数列{a16．【答案】（1）解：f'(x)=1当a<0时，由于x>0，所以f'(x)>0恒成立，从而f(x)在当a>0时，0<x<1a，f'(x)>0；从而f(x)在(0,1a（2）解：令h(x)=f(x)−g(x)=lnx−ax−2只要使h(x)≤0恒成立，也只要使h(x)h'由于a>0，x>0，所以ax+1>0恒成立，当0<x<2a时，h'(x)>0，当2a<x<+∞时，解得：a≥2e3，所以【解析】【分析】(1)利用已知条件结合分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数f(x)的单调区间.

(2)令h(x)=f(x)−g(x)=lnx−ax−2ax，要使f(x)≤g(x)恒成立，只要使h(x)≤0恒成立，也只要使h17．【答案】（1）解：法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C3再选出副队长，方法数也是C31，故共有方法数为方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A4若甲任队长，方法数为C31，故甲不担任队长的选法种数为答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.（2）解：①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17所以，前三次传球中满足题意的概率为：398答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349【解析】【分析】(1)利用两种方法结合排列数公式和组合数公式以及直接法和间接法，进而得出从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长共有的选法种数.

（2）利用已知条件结合分类加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而得出前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率.18．【答案】（1）证明：连A1G交BC于D，连由于G为△A1BC的重心，所以D在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为AB=AC，A1由于D为BC的中点，所以AD⊥BC，A1D⊥BC，又AD∩A1D=D，

所以BC⊥平面A1AD，因为A1A⊂平面A（2）证明：①∵A1A=AB=2，∠A1AB=60°，∴△A1AB由于G为△A1BC的重心，∴AG⊥平面A1BC，又C解：②设△ABC的重心为O，O∈AD，且AO:OD=2:1，在平面ABC内，过O作OE∥BC，连A1以O为原点，以OA，OE，OA1分别为x，y，A1所以A(233,0,0)OC所以C1设G(x,y,z)，A1则(x,所以AG=(−因为P∈平面ABC，所以设P(x,y,0)，由①知：C1所以(x+3,y+1,−26从而P(533,−1AG=(−83sinθ=【解析】【分析】（1）连A1G交BC于D，连接AD，由于G为△A1BC的重心，所以D为BC的中点，再利用两三角形全等判断方法，进而证出△A1AB≌△A1AC，再结合两三角形全等的性质得出A1B=A1C，再利用中点结合等腰三角形三线合一得出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，从而由线面垂直的定义和线线平行证出B1B⊥BC.

（2）①利用已知条件结合正三角形的定义判断出三角形△A1AB和三角形△A1AC为正三角形，得到四面体为正四面体，结合G为△A1BC的重心，进而得出线面垂直，再结合直线C1P⊥19．【答案】（1）解：因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x轴上，可设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1因为双曲线的左顶点为A(−3,0)，所以a=3，（2）解：①D(t,0)，设直线BC的方程为：my=x−t，将x=my+t代入方程：得：(m2−3)y2设B(x1,y1)，设直线AG得倾斜角为α，不妨设0<α<π2，则由于O，A，G，H四点共圆知：∠HOD=∠AGH，所以直线OH的倾斜角为π2−α，直线AC的方程为：y=y2x2+3(x+所以kOH=y2(t+⇒(t+3又x1=my(t+3⇒(t+3⇒(t+3化简得：4t2+33t−3=0故点D的坐标为(3②AG:y=tanα⋅(x+3)，由OH:y=1若G，H在x轴上方时，G在H的上方，即tanα>0时，5若G，H在x轴下方时，即tanα<0时，534tanα<又直线AG与渐近线不平行，所以tanα≠±所以0<α<π，tanα>5