湖北省八市联考2024年高三下学期数学3月联考试卷

湖北省八市联考2024年高三下学期数学3月联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题1．设集合A={1,2}，B={2,A．A∩B=∅ B．A∪B=C C．A∪C=C D．A∩C=B2．若a=(2,−3)A．−5 B．−3 C．3 D．53．设复数1+i是关于x的方程axA．a+2b=0 B．a−2b=0 C．2a+b=0 D．2a−b=04．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，M，N分别为A．A1B B．A1D C．5．已知今天是星期三，则67A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五6．已知函数f(x)为偶函数，其图像在点(1,f(1))处的切线方程为x−2y+1=0，记f(x)的导函数为f'A．−12 B．12 7．设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（）A．35 B．45 C．558．设直线l:x+y−1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若|MNA．32 B．23 C．1二、多项选择题9．某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（）性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生aba+b男生cdc+d合计a+cb+d100参考数据：本题中χα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828A．表中a=12，c=30B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多C．根据小概率值α=0.05的D．根据小概率值α=0.01的10．某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=1x的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若A．y=−x是它的一条对称轴 B．它的离心率为2C．点(2,2)是它的一个焦点 11．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d存在两个极值点x1,x2(x1A．当a>0时，n=3 B．当a<0时，m+2=nC．mn一定能被3整除 D．m+n的取值集合为{4三、填空题12．若tan(θ+π4)=3，则13．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若3S14．记maxx∈[a,b]{f四、解答题15．在△ABC中，已知AB=22，AC=23，（1）求B的大小，（2）若BC>AC，求函数f(x)=sin(2x−B)−sin(2x+A+C)在[−π,16．如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为p(（1）当p=12时，求（2）记3s后质点的位置对应的数为X，若随机变量X的期望E(X)>0，求p的取值范围.17．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=5，点M在PD上，点N为BC的中点，且PB∥平面MAC（1）证明：CM∥平面PAN，（2）若PC=3，求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值.18．已知双曲线C1:x2−y2b2=1经过椭圆C2:x2a（1）求C1，C（2）设P为C1上一点，且在第一象限内，若直线PF1与C2交于A，B两点，直线PF2与C2交于C，D两点，设AB，CD的中点分别为M，N，记直线MN19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)2!x2（1）根据该公式估算sin1（2）由该公式可得：cosx=1−x22!+x4（3）设n∈N*，证明：

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由题意A∩B={2},故答案为：C.【分析】本题考查并集和交集的概念.根据集合交集的概念：数集的交集找出两个集合的公共元素，据此可判断A和D选项；根据集合并集的概念：数集的并集将两个集合的元素合在一起，剔除公共元素，据此可判断B和C选项.2．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知a+2所以a⋅(故答案为：B【分析】本题考查平面向量的数量积的坐标运算公式.先根据平面向量的坐标运算先求出a+23．【答案】D【解析】【解答】解：将1+i代入方程得：a(1+i)2−2a(1+i)+b=0故答案为：D.【分析】本题考查复数的乘法运算.根据复数1+i是方程的根，所将1+i代入方程，可得一个方程，化简方程可求出a和b的关系式.4．【答案】D【解析】【解答】解：连接AB因为P,M,N分别为AB,BB1,又MP⊄面AB1D1,AB又MN⊄面AB1D1,B1又MP∩MN=M,MP,MN⊂面MNP，故面则垂直于平面MNP的直线一定垂直于面AB显然CC1⊥面A1B又B1D1⊥A故B1D1⊥面A1C1同理可得A1C⊥AB1，又故A1C⊥面AB1D若其它选项的直线垂直于平面MNP，则要与A1故答案为：D.【分析】本题考查直线与平面垂直的判定定理.连接AB1,B1D1,AD1,A1C1,AC，利用三角形的中位线定理可证明：MP//面AB1D5．【答案】A【解析】【解答】解：6==C即67−1除以7的余数为5，所以故答案为：A.【分析】本题考查二项式定理展开式的应用.先将67−1改写为：6．【答案】A【解析】【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(−x)，两边求导，可得[f(x)]'又f(x)在(1,f(1))处的切线方程为：x−2y+1=0，所以所以f'故答案为：A【分析】本题考查函数的奇偶性，导函数的几何意义.根据函数为偶函数可得：f(x)=f(−x)，对等式两边同时进行求导可得：f'(x)=−f'(−x)7．【答案】C【解析】【解答】解：设A<B<C=π2，根据题意可得cosC=0即2cosB=cosA，又A+B=π2，则2cosB=2sinA，2sin故答案为：C.【分析】本题考查等差中项的应用，三角函数的诱导公式.先设出三个角度的大小关系，根据等差中项的定义可推得：2cosB=cosA，再结合三角形为直角三角形利用三角函数的诱导公式可得：2cosB=2sin8．【答案】B【解析】【解答】解：设点O关于直线l的对称点为A(x则x12+y1由题意知y=kx(x≥0)与直线l不平行，故k≠−1，由y=kxx+y−1=0，得x=1k+1故直线AP的斜率为kAP直线AP的直线方程为：y−1=1令y=0得x=1−k，故M(1−k,令x=0得y=1−1k，故由对称性可得由|MN|=136得解得k+1k=136若k=32，则第二次反射后光线不会与故k=2故答案为：B【分析】本题考查点关于直线对称，直线方程，两点间的距离公式.根据对称性可先求O关于直线l的对称点A，直线l与射线进行联立可求出点P的坐标，进而求出直线AP方程，根据对称性M、N两点坐标，根据两点间的距离公式再结合|MN9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由题可知，抽取男生人数为600×1001000=60由等高条形图知，抽取男生感兴趣的人数为60×0.5=30人，抽取男生不感兴趣的人数为抽取女生感兴趣的人数为40×0.3=12人，抽取女生不感兴趣的人数为2×2的列联表如下：性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生122840男生303060合计4258100由此表可知，a=12,B、女生不感兴趣的人数约为400×2840=280所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生少，B错误；C、零假设为H0K依据小概率值α=0.05的独立性检验，有充分证据推断因此可以认为不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异；C正确；D、零假设为H0K依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断因此可以认为成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异；D正确．故答案为：ACD.【分析】本题考查独立性检验.先根据分层抽样的定义可计算出抽取男生人数和女生抽取的人数，以及抽取男生感兴趣的人数和抽取女生感兴趣的人数，据此可完成2×2的列联表，进而求出a和c的值，通过计算女生不感兴趣的人数和男生不感兴趣的人数可判断B选项；利用列联表中的数据计算观测值，再跟临界值进行比较，可判断C和D选项.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2，容易知道y=x是实轴，y=−x是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程y=x与反比例函数表达式y=1x得实轴顶点所以a=2,c=2，其中一个焦点坐标应为(由双曲线定义可知||PM|−|PN||=2a=22故答案为：ABD.【分析】本题考查双曲线的定义和双曲线的简单几何性质.根据题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，根据等轴双曲线的定义可求出双曲线的离心率.再根据y=x是实轴，y=−x是虚轴，可求出实轴顶点(1,11．【答案】A,B【解析】【解答】解：由题意可知f'(x)=3ax2+2bx+c由f'(f(x))=3a[f(x)]2+2bf(x)+c=0当a>0时，令f'(x)>0，解得x<x1或x>x可知：f(x)在(−∞,x1则x1为极大值点，xA、若x1≥0，则因为f(x1)>f(x2则f(x)=x2有2个根，f(x)=x若f(x2)=x2若f(x2)=x2若f(x2)=x2A正确；

B、如图所示：当a<0时，令f'(x)>0，解得x1<x<x2；令可知：f(x)在(x1,则x2为极大值点，x若x2≤0，则因为f(x1)<f(x2若f(x1)=−x1>0，即x1若f(x1)=−x1=0，即x1若f(x1)=−x1<0，即x1此时m+2=n，B正确；

C和D、如图所示：综上所述：mn的取值集合为{3,6,8,故答案为：AB.【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，函数的零点问题.先进行求导可得：f'(x)=3ax2+2bx+c，再对由f'(f(x))=3a[f(x)]2+2bf(x)+c=0进行因式分解可求出f(x)=x1或f(x)=x2，分12．【答案】1【解析】【解答】解：由tan(θ+π4)=3即tanθ+11−tan故答案为：1【分析】本题考查两角和的正切公式.先根据两角和的正切公式进行展开可得：tanθ+11−tan13．【答案】(−1【解析】【解答】解：由S=a因为q+q2+1=可得a1由3S2>即3a即3a即−a1(1+q)(则a1(q−1)<0若a1>0，则1+q若a1<0，则1+q所以公比q的取值范围为：(−1,故答案为：(−1,【分析】本题考查等比数列的前n项和公式，等比数列前n项和公式的性质.利用等比数列的前n项和公式可将条件3S2>S6>0转化为：a1(1+q3)>014．【答案】2【解析】【解答】解：由|m+n−2n|=|(maxn∈[0令t=|(n−1)2+m−1|，当n=0时，t=|m|，当n=1时，最大值只可能在n=0或n=1或n=9处取得，所以t=|(n−1所以maxn∈[0当m∈[−3,3]时，原式的最小值为2．或者由|m+n−2n|=|(n−1)2+m−1|在n∈[0,9]时的最大值只可能在n=0或n=1或n=9处取得，令t=|(n−1故答案为：2.【分析】本题考查函数的最值.对问题式子进行配方可得：|m+n−2n|=|(n−1)2+m−1|，设n为变量，采用换元法令t=|(n−1)2+m−1|，可通过分类讨论求出15．【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理可得：ABsinC=解得sinB=32，又0<B<π，故B=π（2）：由BC>AC，可得A>B，故B=π3，f(x)=令−π2解得−π12+kπ≤x≤由于x∈[−π,π]，取k=−1，得取k=0，得−π12≤x≤5π12故f(x)在[−π,π]上的单调递增区间为[−π,−7π【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.

（1）根据题目条件利用正弦定理可列出式子22（2）根据大边对大角可确定角B的值为：B=π3，利用三角形的内角和定理和诱导公式可将解析式化简为：16．【答案】（1）解：5s后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，所求概率为：C5（2）解：X所有可能的取值为-2，0，2，4，且P(X=−2)=CP(X=0)=CP(X=2)=CP(X=4)=C由E(X)=−2(1−p)又因为0<p<1，故p的取值范围为13【解析】【分析】本题考查独立重复实验的概率，二项分布.

（1）根据题意可判断出该实验为独立重复实验，利用独立实验的公式可列出概率公式，将p=1（2）先写出随机变量可能值，再利用二项分布求出随机变量对应的概率取值，利用期望公式可求出期望，根据E(X)>0，可列出不等式−2(17．【答案】（1）解：连接BD交AC与点O，连接OM如图所示：

易知平面PBD与平面MAC的交线为OM，∵PB∥平面MAC，∴PB//OM，又∵O为BD的中点，∴M为PD的中点.取PA的中点E，连接EM，EN，∵EM∥_∴EM∥__CN，又∵CM⊄平面PAN，EN⊂平面PAN，∴CM//平面PAN.（2）解：取AB的中点S，连结PS，CS，∵PA=PB=5∴PS⊥AB，且PS=PB2−BS∴PC2=P又∵AB，SC是平面ABCD内两条相交的直线，∴PS⊥平面ABCD.以S为坐标原点，SB的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系S−xyz，易知A(−1,0,0)，B(1,0,由M为PD的中点，N为BC的中点，可得M(−12AP=(1,0,2)，设m=(则m⋅AP=0m⋅设n=(则n⋅AM=0n⋅设平面PAN与平面MAC的夹角为θ，则cosθ=|即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为1121【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求平面与平面所成的角.（1）连接BD交AC与点O，利用三角形的中位线定理可证明EM//CN且EM=CN，进而推出四边形EMCN为平行四边形，利用平行四边形的性质可证明（2）取AB的中点S，利用勾股定理可证明PS⊥平面ABCD，以S为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面PAN和平面MAC的法向量，利用空间向量的夹角公式可求出答案.18．【答案】（1）解：依题意可得a2−1=1，得由e1e2=6故C1的方程为x2−y2（2）解：易知F1(−1设P(x0,y0)，直线P则k1=y0x0在C1:x可得k1设直线PF1的方程为：y=可得(2