广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷

广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={1,3,a2A．2 B．1 C．-2 D．-12．已知复数z满足|z−3+4i|=1，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若A．5 B．4 C．3 D．24．已知正四棱台ABCD−A1BA．722 B．726 C．5．设B,F2分别是椭圆C:y2a2+A．33 B．6513 C．126．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（）A．f(x)=sin(tanx) B．f(x)=tan(sinx)C．f(x)=cos(tanx) D．f(x)=tan(cosx)7．已知a=3A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a8．已知α,β是函数f(x)=3sin(2x+π6)−2A．23 B．53 C．15−2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知向量a,b不共线，向量a+b平分A．aB．(C．向量a与b在a+D．|10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件A．P(A1)=C．P(B∣A1)=11．已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1),N(xA．0<k<1e B．x1x2=e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列{an}的前n项和Sn=n13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟)的对应数据(Wi,fi)(i=1,2,⋯,8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f=cWk(c,k为参数).令x14．已知曲线C是平面内到定点F(0,−2)与到定直线l:y=2的距离之和等于6的点的轨迹，若点P在C上，对给定的点T(−2,t)，用m(t)表示四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应马出文字说明､证明过程或璌算步骤.15．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,（1）求B；（2）若点D在边AC上，且∠ABD=π2,16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M,N分别为（1）求证：MN∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值.17．已知函数f(x)=cosx+xsinx,（1）求f(x)的单调区间和极小值；（2）证明：当x∈[0,π)时，18．已知O为坐标原点，双曲线C:x2（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A,B两点，且OA⋅（3）已知点P是C上的动点，是否存在定圆O:x2+y2=r2(r>0)，使得当过点P能作圆O的两条切线19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n(n≥3,n∈N*)（1）若n=3，用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；（2）记A团队第k(1≤k≤n−1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk，集合

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因为集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}，且B⊆A，所以a2=a+2或a+2=3，解得a=1或a=-1或故答案为：A.【分析】根据已知条件，利用集合中元素的互异性以及集合的包含关系列式计算即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：设复数z=x+yix,y∈R，因为|则复数z表示以(3故答案为：D.【分析】设复数z=x+yix3．【答案】C【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为a3a故答案为：C．【分析】由题意，根据等比数列的性质求得q，再根据等比数列的求和公式求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：解：连接D1B1，DB，记O，H分别为因为ABCD−A1B1C1D易知D1B1//BH，D1B1=BH=2，故四边形因为DD1⊥BB1，所以D由D1D2+D由OH⊥面A1B1C1D1，D又正方形A1B1C1D1故正四棱台ABCD−A1B故答案为：B.【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台的体积即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：易知点B(b,0)则P(−b2,3c2)，因为点P在椭圆上，所以故答案为：A.【分析】由题意，求出点B,F26．【答案】D【解析】【解答】解：由图象可知，函数为偶函数，A、f(−x)=sin(tanB、f(−x)=tan(sinC、函数f(x)=cos(tanx)的定义域为(−π2+kπ,π2+kπ)故答案为：D.【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定判断即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：3b因为a=32=log33又因为bc=lg5lg3×故答案为：C．【分析】由题意，根据对数函数单调性比较a，b与a，c的大小，再结合对数运算性质及基本不等式比较b，c的大小，判断即可．8．【答案】A【解析】【解答】解：令f(x)因为x∈(0,又因为α,β是函数f(所以α,β是sin(2x+故2α+π6+2β+则cos(α−β)=故答案为：A．【分析】根据三角函数的对称性可得α+β=π9．【答案】B,C【解析】【解答】解：在平面内取一点O，作向量OA=a,OB=b，在因为向量a+b平分a与b的夹角，所以▱OACB是菱形，即A、无法确定a与b垂直，故A错误；B、(a+bC、向量a在a+b上的投影向量b在a+b上的投影向量D、由A可知，a⋅b不一定为0，则|a故答案为：BC.【分析】根据已知条件，利用向量加法的几何意义可得|a10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、甲箱中有3个红球和2个白球，则P(A1)=35，故A正确；

所以P(B)=P(A1)P(B|A1D、P(故答案为：ABD.【分析】由题意，根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、令f(x)=lnxx定义域为0，+∞当f'x>0，则x∈(0,e)，f(x)单调递增；当f'x<0，则x∈(e,+∞)，f(x)单调递减，

所以f(x)的极大值f(e)=1e，且x>1，f(x)>0，因为直线y=kx与曲线y=lnx相交于B、设M(x1,yy=lnx在My−lnx1=1因为k=lnx2−lnC、因为k=y1x因为P(x0即y0=x所以y1D、因为kx1=y1，所以lnk+lnx1=lny1，所以ln故答案为：ACD.【分析】构造函数f(x)=lnxx，计算即可判断A；写出A，B点处的切线程联立并化简得x0=x1x2lnx2−12．【答案】3【解析】【解答】解：因为数列{an}的前n项和为Sn=又因为当n=1时，a1=S1=2，满足a又因为y=x+9x在(1,3)单调递减，在(3,+∞)单调递增；故当n=3时，故答案为：3.【分析】由题意，根据Sn求得a13．【答案】−0.3​​​​​​​；【解析】【解答】解：由f=cWk，两边取对数可得令xi=ln因为回归直线方程y=bx+7.4必过样本中心点(x,y)，所以5=8故答案为：−0.3；【分析】根据回归直线方程y=bx+7.4必过样本中心点(x,14．【答案】2【解析】【解答】解：设点P(x,y)如图所示：当y<2时，由题意可得：|PF|+2−y=6化简得x2=4y+12，y∈[−3,当y≥2时，由题意可得：|PF|+y−2=6化简得：x2=60−20y,对于曲线C上的任意一点P，|PF|+|PT|≥而|TF|=4+(因此|PF|+|PT所以m(故答案为：2.【分析】根据已知条件，求出点P的轨迹方程，数形结合并利用到两点距离的和不小于这两点间距离求出最小值即可.15．【答案】（1）解：因为S=−34(a2+c2−b2（2）解：由（1）可知，B=2π3，因为∠ABD=π由题可知，AD=2DC=2，故BD=所以BA⋅因为c≠0，所以a=c，A=C=π在Rt△ABD中，c=AD⋅cos故△ABC的周长为AB+BC+AC=3【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B的范围求解即可；（2）由（1）的结论结合已知条件求得∠CBD=π6，利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得16．【答案】（1）证明：取PC中点E，连接ME,BE，因为M为DP中点，N为所以ME∥__12DC，又因为MN∥BE，因为MN⊄平面PBC，BE⊂平面PBC，所以MN∥平面PBC.（2）证明：因为∠DCB=∠PCB=π4,CD=PC,BC=BC，所以BCD≅△BCP，

过PPQ=DQ=2,PPQ⊥平面ABCD，因为PQ⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABCD.（3）解：以Q为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则C(设平面PAD的一个法向量n=(x,y,z)设CM与平面PAD所成角为θ，则sinθ=|【解析】【分析】（1）取PC中点E，由已知条件，结合线面平行的判定证明即可；（2）过P作PQ⊥BC于点Q，利用三角形全等结合线面垂直的判定、面面垂直的判定证明即可；（3）以Q为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.17．【答案】（1）解：求导可得f'(x)=−sinx+sinx+xcosx=xcosx，令f'(x)=0，解得x=0或当−π<x<−π2时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当当0<x<π2时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当所以f(x)的单增区间为(−π,−π2)（2）证明：当x∈[0,π)时，令F令φ(x)=所以φ(x)在[0,π)上单调递增，则φ(x)≥φ(0)=0，所以F'故F(x)≥F(0)=0，2f(x)≤e【解析】【分析】（1）求出函数f(x)（2）根据易知条件，构造函数，利用导数结合基本不等式证明即可.18．【答案】（1）解：由题意可得2c=42a2故双曲线方程为C:（2）解：当直线l斜率不存在时，设A(x因为点A在双曲线上，所以xA又因为OA⋅OB=xA当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A(x联立y=kx+mx2−y23=1则OA=(1+k化简得3k2+3=2所以|AB|===6当k=0时，此时|AB|=6当k≠0时，此时|AB|=6因为3−k2≠0，所以k2+综上可得|AB|≥6，即|AB|的取值范围为[（3）解：设P(x0,y0),设过P与圆O相切的直线为y−y0=k(x−所以(x0联立y−y0所以(3−x同理x所以k===⇒⇒−18【解析】【分析】（1）根据已知条件结合双曲线的性质列式求解即可；（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得3k（3）设P(x0,19．【答案】（1）依题意，X的所有可能取值为1,P(X=1)=34×所以X的分布列为：X123P3911数学期望E(X)=3（2）令p=34,其概率为(p若前(k−1)位玩家中第i(1≤i≤k−1)位