北京市延庆区2024届高考一模数学试题

北京市延庆区2024届高考一模数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={ x|x<3}，B={ 1， 2 ，3}A．(−∞， 3) C．{ 1， 2 } D．{ 1， 2 ，3}2．若复数z满足z⋅i=21−i，则A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i3．在(2x−1xA．40 B．− 40 C．80 D．− 804．已知抛物线 C： y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−4A．4 B．5 C．6 D．75．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12A．4 B．5 C．6 D．86．“sin2θ>0”是“θA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数f(x)A．(0，1) C．(−∞，0) 8．设a=log32，b=log96，c=12A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c9．在等边△ABC中，AB=2，P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1，Q为边BC上的动点，则线段PQ长度的最大值是（）A．3−1 B．3+1 C．3+210．已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，A．18 B．14 C．π16二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知双曲线C：y2a2−x12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=60∘，sinA=3sinC，b=7，则c=13．已知函数f(x)=xα(14．北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则上层有扇形石板块．15．已知函数f(x)=x①存在实数a，使得函数f(x)②存在实数a<0，使得函数f(x)③存在实数a，使得函数f(x)④存在实数a，使得函数f(x)其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知函数f(x)=2sin（1）求a的值；（2）将f(x)的图象向右平移π3个单位得到17．第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：12月16日星期六9：30单人雪橇第1轮10：30单人雪橇第2轮15：30双人雪橇第1轮16：30双人雪橇第2轮12月17日星期日9：30单人雪橇第3轮10：30单人雪橇第4轮15：30团体接力（1）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；（2）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记X为看到双人雪橇的次数，求X的分布列及期望E(（3）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“ξ1=1”表示小明在周六看到单人雪橇，“ξ1=0”表示小明在周六没看到单人雪橇，“ξ2=1”表示小明在周日看到单人雪橇，“18．如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面ADD（1）求证：D1B//（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角D−C1E−条件①：C1条件②：D1条件③：AD⊥C注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1 (a>b>0（1）求E的方程；（2）设P为第二象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线BP与直线CD交于点N，求证：MN⊥BD．20．已知函数f(x)=−ln（1）若曲线y=f(x)的一条切线方程为y=x−1，求a的值；（2）若函数f(x)在区间(1，2)上为增函数，求（3）若∀x∈(1e2，+∞)21．已知数列{an}（1）若数列{an}为1（2）若an=2n，是否存在i ， j∈N（3）若an=n，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为b1，b

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为A={x|x<3},B={1,2,故答案为：B【分析】根据并集的运算即可求解.2．【答案】C【解析】【解答】因为z⋅i=21−i，

所以故答案为：C【分析】根据复数的除法运算求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】设(2x−1x)5的通项是Tk+1，

则Tk+1=C5k(2x)5−k(−1故答案为：D【分析】求出二项式定理的通项公式，并化简合并，令5−2k=3即可求解.4．【答案】B【解析】【解答】由抛物线 C: y2=8x因为M到直线x=−4的距离为7，所以M到抛物线准线x=−2的距离为5，根据抛物线定义知，|MF|等于M到抛物线准线x=−2的距离，

所以故答案为：B【分析】根据抛物线的定义可知|MF|等于5．【答案】C【解析】【解答】如图，以A为原点，AB、AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系如图所示：因为正方形ABCD的边长为2，

则A(0,0)，D(0,2)，点P满足AP=12故答案为：C.【分析】以A为原点，AB、AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，写出各点坐标，并表达出AP,→6．【答案】C【解析】【解答】因为sin2θ=2sinθcosθ，sin2θ>0

所以2sinθcosθ>0，所以“sin2θ>0”是“θ故答案为：C.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二倍角公式，正弦函数和余弦函数在各个象限中的符号即可得解.7．【答案】A【解析】【解答】函数f(x)=3x−2x−1的导函数为：f'(x)=3xln3−2，所以存在唯一x0∈(所以当x<x0时，f'(x所以函数f(x)在(−∞又f(0)所以由f(x)故答案为：A【分析】先求出函数的导函数，再由指数函数的简单性质判断f'(x)单调性，再由零点的存在性定理可判断得存在唯一x0∈(8．【答案】D【解析】【解答】因为a=log32是以3为底的对数式，

则化简b可得，b=log96=lo又3<2<6，函数y=log3x在(0,+∞)单调递增，

则f3故答案为：D【分析】由对数的运算可化简b，再将c化为对数式，再由对数函数的单调性即可得到结果.9．【答案】D【解析】【解答】根据题意，在等边△ABC中，AB=2，P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1，Q为边BC上的动点，画出图形如图：如图可知，点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，

Q为边BC上的动点，

当|PQ|=|AQ|+|AP|=|AQ|+1时，

线段PQ取最大值，而当Q与点C重合时，|AQ|最大，且最大值为2，此时线段PQ长度的最大值为2+1=3，故答案为：D.【分析】数形结合，由图可知点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析即可.10．【答案】A【解析】【解答】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，

图1

连接PC，则PC1如图，在平面ABCD上，分别以AB,AD为

图2则A(0,由PA≥PC1，得即x2+y设直线l:2x+2y−3=0与DC,则点P在△CMN内部(含边界)，即满足条件的点P构成的图形为△CMN及其内部，易知M(12,1)∴满足条件的点P构成的图形为△CMN的面积为S△CMN故答案为：A．【分析】数形结合，在平面ABCD上，分别以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系，设P(11．【答案】y=±【解析】【解答】知双曲线C：y2a2−x2b2=1的渐近线方程为y=±abx，所以双曲线的渐近线方程为y=±a故答案为：y=±【分析】根据双曲线的离心率、渐近线方程以及c212．【答案】1；3【解析】【解答】因为∠B=60∘，b=7，

在△ABC中，由余弦定理可得：b2=a2所以7=9c2+所以a=3c=3，

所以S△ABC故答案为：1；33【分析】利用正弦定理、余弦定理可求得c，再根据三角形面积公式求解即可.13．【答案】23【解析】【解答】令α=23，则f(x)且f(−x)=(−x)23=3(−x)2=f(x)，

故f故答案为：23【分析】用特殊值法，令α=214．【答案】405【解析】【解答】记从中间向外每环扇面形石板数为{an}，则{an设每层有k环，则n=3k，Sn所以Sn=na即n2+n−756=0，解得n=27或所以k=9，则S9即上层有扇形石板405块.故答案为：405．【分析】理解题意，记从中间向外每环扇面形石板数为{an}，则{an}是等差数列，且公差为d=9，a1=9，设每层有15．【答案】①③【解析】【解答】根据题意可得，令a=0，则f(x)=x2，x<1，0当a<0时，f(x)当1<x<e时，f'(x)<0所以f(x)在[1所以x=e时，f(x)有最小值f(e此时，x<1时，f(x)=x2−2ex与最小值为−1矛盾，若x<1时，f(x)=x即a>−1时，f(x)min=f(−a当x=−a≥1时，f(x)综上，当a<0时，函数f(x)的最小值不为−1由②知，a<−1时，x<1时，f(x)单调递减且f(0)=0，

当x≥1时，f当a>0时，f(x)=a当a<0时，f(x)=a综上a≠0时，f(x)=a故不存在实数a，使得函数f(x)恰有4故答案为：①③【分析】用特殊值法，令a=0判断①，分类讨论函数两部分的最值判断②，根据零点确定函数的零点可判断③④.16．【答案】（1）解：因为f(x)=sin其中sinφ=a1+所以1+a又因为a>0，解得a=3（2）解：由（1）可得f(x)=sin将f(x)的图象向右平移π由2kπ−π2≤2x−即函数g(x)【解析】【分析】（1）根据辅助角公式以及二倍角公式化简三角函数，从而求解即可；（2）先表示出平移后的三角函数g(x)，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.17．【答案】（1）解：记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件A.由表可知，每天随机观看一场比赛，共有4×3=12种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有2×2=4种不同方法．所以P(（2）解：随机变量X的所有可能取值为0，根据题意，P(P(X=1)=CP(X=2)=C随机变量X的分布列是：X012P241数学期望E(X)=0×2（3）解：由题意，P(ξ1=0)=所以E(ξ1)=0×因为P(ξ2=0)=所以E(ξ2)=0×所以D(ξ【解析】【分析】（1）根据古典概型以及分类乘法计数原理求解即可；（2）先求出随机变量X的所有可能取值，并分别求出各个取值时的概率，列出分布列，求出期望即可；（3）根据方差公式分别计算D(ξ18．【答案】（1）证明：方法一：在四棱柱ABCD−A1B1C连结OE，在△D1BC中，因为O、E分别为所以OE//D1B，又因为OE⊂平面C1所以D1B//方法二：在四棱柱ABCD−A1B1C连结D1F，BF，因为FC1//所以FB//C1E，又FB⊄平面C1DE，C1因为EF//CC1//D所以D1F//DE，又D1F⊄平面C1DE，因为D1F∩FB=F，FB，D1F⊂因为D1B⊂平面D1FB，所以（2）解：选择条件①：因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1故CD⊥平面ADD1A1，又DD即四边形DCC1D1为矩形，因为与选择条件①：C1D=13等价，故条件C1D=选择条件②：连结D1A，因为底面ABCD正方形，所以BA⊥AD又因为侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1所以BA⊥平面ADD1A1，又D1在Rt△D1AB中，因为D1B=在△D1AD中，因为AD=2，D又AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，所以DD所以建立空间直角坐标系D−xyz如图所示：

其中D(0，0，0)，且DC1=(0，2设n=(x，y，z)为平面C不妨设y=−3，则x=6，z=2，可得n=因为二面角D−C1E−B1所以二面角D−C1E−选择条件③：因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，因为AD⊥C1D，且DC∩所以AD⊥平面C1D1DC，因为D1因为侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1所以D1D⊥平面ABCD，又所以如图建立空间直角坐标系D−xyz，（下面同选择条件②）.【解析】【分析】（1）方法一：利用线面平行的判定定理证明即可；方法二：利用面面平行的判定定理证明即可得出结论；（2）选①：条件C1D=13不能确定棱柱特点；选②③：证明D19．【答案】（1）解：由题设，2b=2ca=所以E的方程为x2（2）解：已知如图所示：因为椭圆E的方程为x24+设直线PD的方程为y=k(x−2)由y=k(x−2)由−12<k<0可得Δ>0所以xP=8直线BC的方程为x−2+y由y=−12x−1直线PB的方程为y−0−4k1+4k直线CD的方程为x2+y由y=12x−1，因为xM=x【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）首先设直线PD的方程为y=k(x−2)20．【答案】（1）解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，设切点为因为f'(x)=−因为y0=−ln所以−lnx0+(所以11+a=1，解得（2）解：因为f'(x)=−所以f'(x因为x∈(1，所以a+1≥0，即a∈[−1，（3）解：因为f'(x当2+a≤0，即a≤−