2025年中考数学一轮复习之锐角三角函数

第1页（共1页）2025年中考数学一轮复习之锐角三角函数一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝1，∠ABC＝α，则CO的长为（）A．cosαtanα B．tanαC．cosα×tanα D．12．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为200m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．50m B．503m C．100m D3．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα=35，堤坝高BC＝15m，则迎水坡面A．20m B．25m C．30m D．35m4．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB，CD分别相交于点F，G．测得AB＝3m，CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为（）（结果保留一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）A．4.2m B．4.0m C．3.7m D．3.6m5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（）A．35 B．45 C．43 6．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）米．A．200cos20° B．200sin20° C．200cos20° 7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度i=A．513m米 B．512m米 C．1213m8．在计算tan15°的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到D使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝a，则AB＝DB＝2a，BC=3a，CD=(2+3)a，RtA．2+1 B．2-1 C．2 9．如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知游步机手柄AB与地面DE平行，端板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝a，支架AC长为1m，∠CAB＝120°，则距步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为（）A．32+1.5sinα BC．32+1.5cosα 10．如图，在正方体中，∠BD1B1的正切值为（）A．22 B．32 C．1 D二．填空题（共5小题）11．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡AB=8017米，坡度为1：4；将斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD，其坡度为1：1.5．则改造后斜坡CD的长为12．如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.62513．如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为．14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，cosB=35，点M在边AB上，点N在边BC上，且AM＝BN，连接MN，当△BMN为等腰三角形时，AM＝15．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共5小题）16．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？17．广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成．广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底A水平距离450米的地点B，测得塔身主体的顶端C的仰角为45°，天线桅杆的顶端D的仰角为53°9′．（1）根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）；（2）求天线棉杆的高度．（参考数据：tan53°9'≈18．在郑州之林公园内有一座如意雕塑（图1），它挺拔矗立在CBD前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2所示的方案测量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度AC为3m时，测得如意雕塑最高点E的仰角∠ECD＝45°；②保持测量器位置不变，调整测量器高度AB为4.1m时，测得点E的仰角∠EBG＝44°．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度EF．（结果精确到1m．参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）19．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝9m（A，E，F在同一条直线上）．请解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.7320．如图，观测点C在东西走向的海岸线CN上，观测员发现某船在北偏东12°方向的A点，该船向正东方向行驶10小时后，到达北偏东57°方向的B点．已知该船的行驶速度为40海里/时，求这艘船与海岸线CN之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

2025年中考数学一轮复习之锐角三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝1，∠ABC＝α，则CO的长为（）A．cosαtanα B．tanαC．cosα×tanα D．1【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】A【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，BC=ACtan∠ABC，在Rt△BOC中，OC＝BC•【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，∴BC=AC∵AB∥OQ，∴∠BCO＝∠ABC＝α，在Rt△BOC中，AC＝1，OC＝BC•cos∠BCO=ACtanα×cos故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．2．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为200m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．50m B．503m C．100m D【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】D【分析】根据已知易得BC＝100m，再根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．【解答】解：如图：∵该金字塔的下底面是一个边长为200m的正方形，∴BC=12×200＝100∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴AC＝BC•tan60°＝1003（m），∴则金字塔原来高度为100m，故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα=35，堤坝高BC＝15m，则迎水坡面A．20m B．25m C．30m D．35m【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】B【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，sinα=3则BCAB∵BC＝15m，∴AB＝25m，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB，CD分别相交于点F，G．测得AB＝3m，CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为（）（结果保留一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）A．4.2m B．4.0m C．3.7m D．3.6m【考点】解直角三角形的应用；轴对称的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】C【分析】过点B作BH⊥CD于点H，证明四边形GFBH为矩形，得出GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，求出∠DBH＝45°，得到BH＝DH＝GF＝1m，求出∠EDG＝47°，再解直角三角形得出EG的长，再由EF＝EG+GF计算即可得出答案．【解答】解：如图所示，过点B作BH⊥CD于点H，由题意，得BF=12∵EF垂直平分AB，垂足为F，EF垂直平分CD，与CD交于点G，BH⊥CD，∴∠BFG＝∠FGH＝∠BHG＝90°，∴四边形GFBH为矩形，∴GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，∴DH＝DG﹣GH＝1m，∵∠ABD＝135°，∴∠DBH＝45°，∴BH＝DH＝GF＝1m，∵∠BDE＝92°，∴∠EDG＝47°，在Rt△EDG中，tan∠∴EG＝DGtan47°≈2.5×1.07≈2.68（m），∴EF＝EG+GF≈2.68+1≈3.7（m），故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（）A．35 B．45 C．43 【考点】解直角三角形．【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】C【分析】如图连接格点BD、CD．在Rt△ABD中求出∠A的正切值．【解答】解：如图，连接格点BD、CD．在Rt△ABD中，tanA=BD故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，连接BD构造直角三角形是解决本题的关键．6．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）米．A．200cos20° B．200sin20° C．200cos20° 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】D【分析】根据正弦的定义进行解答即可．【解答】解：∵sin∠∴AB＝AC•sin∠C＝200sin20°，故选：D．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度i=A．513m米 B．512m米 C．1213m【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；列代数式．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】A【分析】设大厅两层之间的距离为5x米，根据坡度的概念用x表示出扶梯的水平宽度，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设大厅两层之间的距离为5x米，∵扶梯的坡度i＝5：12，∴扶梯的水平宽度为12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝m2，解得：x=m∴大厅两层之间的距离为513m故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．8．在计算tan15°的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到D使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝a，则AB＝DB＝2a，BC=3a，CD=(2+3)a，RtA．2+1 B．2-1 C．2 【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】B【分析】如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设AC＝1，求出CD，可得结论．【解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D，∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，∴∠D＝22.5°，设AC＝1，则BC＝1，AB=2AC=∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+2∴tan22.5°＝tanD=ACCD故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．9．如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知游步机手柄AB与地面DE平行，端板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝a，支架AC长为1m，∠CAB＝120°，则距步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为（）A．32+1.5sinα BC．32+1.5cosα 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】A【分析】过点C作CG⊥AB，交BA的延长线于点G，交DE的延长线于H，根据正弦的定义分别求出CG、CH，计算即可．【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB，交BA的延长线于点G，交DE的延长线于H，∵手柄AB与地面DE平行，∴CH⊥DE，在Rt△CDH中，∠CDH＝α，CD＝1.5m，∵sin∠CDH=CH∴CH＝CD•sin∠CDH＝1.5sinα，∵∠CAB＝120°，∴∠CAG＝60°，∴CG＝AC•sin60°=3∴距步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：（1.5sinα+3故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．10．如图，在正方体中，∠BD1B1的正切值为（）A．22 B．32 C．1 D【考点】锐角三角函数的定义．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】由题意得BB1＝A1B1＝A1D1，∠BB1D1＝90°，设BB1＝A1B1＝A1D1＝x，则B1【解答】解：由题意得：BB1＝A1B1＝A1D1，∠BB1D1＝90°，设BB1＝A1B1＝A1D1＝x，则：B1D1=A1∴tan∠故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键要熟练掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=a二．填空题（共5小题）11．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡AB=8017米，坡度为1：4；将斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD，其坡度为1：1.5．则改造后斜坡CD的长为5013【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】5013米．【分析】根据直角三角形的性质求出AE，进而求出CE，根据坡度的概念求出DE，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABE中，AB＝200米，AEBE∴设AE＝x米，BE＝4x米，∴AB=AE2+B∴x＝80，∴AE＝80米，∴CE＝AE+AC＝100（米），∵斜坡CD的坡度为1：1.5，∴DE＝150米，由勾股定理得：CD=CE2答：斜坡CD的长为5013米．故答案为：5013米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为20.8米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】20.8．【分析】延长AD交BF于点H，根据余弦的定义求出HC，进而求出HB，再根据正切的定义计算即可．【解答】解：如图，延长AD交BF于点H，在Rt△DCH中，CD＝8.48米，∠DCH＝32°，∵cos∠DCH=DC∴HC=DCcos∴BH＝HC+BC＝13（米），∵∠DCH+∠AHB＝90°，∠A+∠AHB＝90°，∴∠A＝∠DCH＝32°，在Rt△AHB中，tanA=BH∴AB=BHtanA故答案为：20.8．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．13．如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为6002．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】6002．【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×20＝600（米），∴AD＝AC•sin45°＝3002（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝6002（米）．故答案为：6002．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，cosB=35，点M在边AB上，点N在边BC上，且AM＝BN，连接MN，当△BMN为等腰三角形时，AM＝5或6011【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】5或6011或50【分析】分三种情况结合等腰三角形的性质和解直角三角形讨论求解即可．【解答】解：当BM＝BN时，如图1，∵AM＝BN，∴BM＝AM，∴AM=当MB＝MN时，如图2，作ME⊥BC，则有BE=∵BM＝10﹣AM，且cosB=∴BEBM=3解得：AM=当NB＝NM时，如图3，作NF⊥AB，则有BF=∵AM＝BN，且cosB=∴BFBN=3解得：AM=综上所述，答案为：5或6011或50【点评】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．15．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为3．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】3．【分析】连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理的逆定理证明△CND是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD=DNCN∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？【考点】解直角三角形的应用．【答案】见试题解答内容【分析】过C点作AB的垂线交直线AB于点D，构建等腰Rt△BCD，在Rt△DAC中利用锐角三角函数的定义即可求出AC＝2CD．然后在Rt△DAC中利用勾股定理来求CD的长度．【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．∴∠ADC＝90°．∵探测线与地面的夹角分别是30°和45°，∴∠DBC＝45°，∠DAC＝30°．∵在Rt△DBC中，∠DCB＝45°，∴DB＝DC．∵在Rt△DAC中，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD．∵在Rt△DAC中，∠ADC＝90°，AB＝8，∴由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2．∴（8+CD）2+CD2＝（2CD）2．∴CD=4∵CD=4∴CD＝（4+43∴有金属回声的点C的深度是（4+43【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成．广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底A水平距离450米的地点B，测得塔身主体的顶端C的仰角为45°，天线桅杆的顶端D的仰角为53°9′．（1）根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）；（2）求天线棉杆的高度．（参考数据：tan53°9'≈【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）详见解答；（2）150米．【分析】（1）根据题意画出示意图；（2）在Rt△ABC中，先求出AC，再在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角间关系求出AD，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：（1）几何示意图如图所示：（2）在Rt△ABC中，∵∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∴AC＝AB＝450米．在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=AD∴AD＝tan∠ABD•AB＝tan53°9′•450≈4＝600（米）．∴CD＝AD﹣AC＝600﹣450＝150（米）．答：天线棉杆的高度为150米．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质与判定、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．18．在郑州之林公园内有一座如意雕塑（图1），它挺拔矗立在CBD前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2所示的方案测量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度AC为3m时，测得如意雕塑最高点E的仰角∠ECD＝45°；②保持测量器位置不变，调整测量器高度AB为4.1m时，测得点E的仰角∠EBG＝44°．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度EF．（结果精确到1m．参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】如意雕塑的高度EF约为40米．【分析】延长CD交EF于M，延长BG交EF于N，根据矩形的性质得到FM＝AC＝3米，FN＝AB＝4.1米，CM＝BN，MN＝BC＝1.1米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CD交EF于M，延长BG交EF于N，则FM＝AC＝3米，FN＝AB＝4.1米，CM＝BN，∴MN＝BC＝1.1米，设CM＝BN＝x米，在Rt△BNE中，∠EBG＝44°，∴EN＝BN•tan44°≈0.97x米，在Rt△ECM中，∠ECD＝45°，∴EM＝CM•tan45°＝x米，∵MN＝EM﹣EN＝x﹣0.97x＝1.1米，∴x≈36.7，∴EM＝CM＝36.7（米），∴EF＝EM+FM＝36.7+3≈40（米），答：如意雕塑的高度EF约为40米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．19．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝9m（A，E，F在同一条直线上）．请解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）33（2）1.7m．【分析】（1）在Rt△DAE中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解；（2）如图所示，延长FC交AB于点G，可得△DGC是等边三角形，再计算出AF的长度，在Rt△AFG中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解．【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，∴AD=∴灯管支架底部距地面高度AD的长为33（2）如图所示，延长FC交AB于点G，∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，∵∠GDC＝60°，∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，∴△DGC是等边三角形，∴DC＝DG，∵EF＝9m，AE＝3m，∴AF＝AE+EF＝12m，在Rt△AFG中，AG=∴DC=∴灯管支架CD的长度约为1.7m．【点评】本题主要考查解直角三角形的实际运用、等边三角形的判定与性质，掌握仰角俯角求直角三角形，特殊三角函数值求边长是解题的关键．20．如图，观测点C在东西走向的海岸线CN上，观测员发现某船在北偏东12°方向的A点，该船向正东方向行驶10小时后，到达北偏东57°方向的B点．已知该船的行驶速度为40海里/时，求这艘船与海岸线CN之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】这艘船与海岸线CN之间的距离约为298海里．【分析】作AD⊥BC于点D，BH⊥CN于点H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，BH⊥CN于点H，∵∠MCD＝57°，∠MCA＝12°，AB∥CH，∴∠ACB＝45°，∠BCH＝∠ABC＝33°，∴AD＝CD＝sin∠ABC•AB＝400×sin33°，BD＝AB•cos33°＝400×cos33°，∴BC＝CD+BD＝400×（sin33°+cos33°）≈522（海里），则BH＝BC•sin33°≈298（海里），答：这艘船与海岸线CN之间的距离约为298海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．

考点卡片1．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．2．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．4．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．锐角三角