2024年沪科版高三数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高三数学上册阶段测试试卷891考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、地面上有A，B，C，D四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的某类信息，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率限制，卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息，某日四个机构之间发送了三次信息后，都获得了卫星发回的同一条信息，那么是A接收到该信息后互相联系的方式共有（）A.16种B.17种C.34种D.48种2、已知偶函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且当x＞0时，f（x）=，则函数g（x）=4f（x）-log7（|x|+1）的零点个数为（）A.8B.10C.12D.143、设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R，都有xf′（x）＞f（x）成立，则（）A.3f（2）＞2f（3）B.3f（2）=2f（3）C.3f（2）＜2f（3）D.3f（2）与2f（3）的大小不确定4、【题文】已知三个点其中为常数。若则与的夹角为（）A.B.或C.D.或5、已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x-b的零点个数是（）A.0B.1C.2D.36、将y=2cos(x3+娄脨6)

的图象按向量a=(鈭�娄脨4,鈭�2)

平移，则平移后所得图象的解析式为(

)

A.y=2cos(x3+娄脨4)鈭�2

B.y=2cos(x3鈭�娄脨4)+2

C.y=2cos(x3鈭�娄脨12)鈭�2

D.y=2cos(x3+娄脨12)+2

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、函数y=x+（x＞2）取得最小值时相应的x的值是____．8、关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0恰有8个不同的实根，则k的取值范围是____．9、已知函数，若f（x）=3，则x的值为____．10、已知为向量，=1，=2，=25，则的夹角为____．11、（几何证明选讲选做题）已知G是△ABC的重心，AG交BC于E，BG交AC于F，△EFG的面积为1，则△EFC的面积为____．

12、已知函数为偶函数，则a=____．13、已知圆的方程为x2+y2﹣6x=0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是____评卷人得分三、判断题(共7题，共14分)14、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）16、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．17、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）18、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）19、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．20、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共1题，共7分)21、已知a∈S，1∉S，∈S，求证：1-∈S．评卷人得分五、解答题(共3题，共15分)22、已知数列{an}是等差数列，a1=1，a1+a2++a20=590

（1）求数列{an}的通项an；

（2）设数列{bn}的通项（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{bn}的前n项和．试比较Sn与的大小，并证明你的结论．23、已知数列{an}中a1=an=2-（n≥2，n∈N*），数列{bn}，满足bn=（n∈N*）；

（1）求证数列{bn}是等差数列；

（2）若sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）++（an-1）•（an+1-1）是否存在a与b∈Z，使得：a≤sn≤b恒成立．若有，求出a的最大值与b的最小值；如果没有，请说明理由．

24、在中，角的对边分别为已知：且．（Ⅰ）若求边（Ⅱ）若求的面积．评卷人得分六、综合题(共4题，共24分)25、某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据；结果统计如下：

。API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元）；空气质量指数API为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．

（1）试写出S（ω）表达式；

（2）试估计在本年内随机抽取一天；该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；

（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季；其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

。P（K2≥kc）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001Kc1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=

。非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10026、二次函数f（x）=ax2+bx+c；

（1）若a=2．当x∈[-1，3]时．f（x）最大值不大于7，求b+c的最大值；

（2）当|f（x）|≤1对x∈[-1，1]恒成立时，都有|ax+b|≤M对x∈[-1，1]恒成立，求M的最N小值．27、椭圆C：的焦距为2，且过点；已知F为椭圆的右焦点，A；B为椭圆上的两动点，直线l：x=2与x轴交于点G．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若动点A、B、G三点共直线l'，试求当△AOB的面积最大时直线l'的方程．28、给出下列四个命题：

①过平面外一点作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；

②一条直线与两个相交平面都平行；则它必与这两个平面的交线平行；

③对确定的两条异面直线；过空间任意一点有且只有唯一一个平面与这两条异面直线都平行；

④对两条异面直线；都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等．

其中正确的命题的序号是____．（请把所有正确命题的序号都填上）参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】【分析】由题意分三类，第一类：A直接发送给B，C，D三处，第二类：A直接发送给B，C，D中的两处，再由其中一处通知第四处，第三类：A直接发送给B，C，D中的一处，再由该处通知另两处，根据分类计数原理可得【解析】【解答】解：分三类，第一类：A直接发送给B，C，D三处，有=1（种）．

第二类：A直接发送给B，C，D中的两处，再由其中一处通知第四处，有=6（种）．

第三类：A直接发送给B，C，D中的一处，再由该处通知另两处，有=9（种）．

所以共有1+6+9=16种不同的方式；

故选A．2、C【分析】【分析】令g（x）=0得f（x）=log7（|x|+1），分别作出f（x）和y=log7（|x|+1）在（0，+∞）上的函数图象，根据函数的图象和奇偶性得出零点个数．【解析】【解答】解：令g（x）=0得f（x）=log7（|x|+1）；

作出y=f（x）和y=log7（|x|+1）在（0；8）上的函数图象如图所示；

由图象可知y=f（x）和y=log7（|x|+1）在（0；+∞）上有6个交点；

∴g（x）在（0；+∞）上有6个零点；

∵f（x）；g（x）均是偶函数；

∴g（x）在定义域上共有12个零点；

故选：C．3、C【分析】【分析】构造函数，利用函数的单调性判断即可．【解析】【解答】解：函数y=，则y′=，∵xf′（x）＞f（x），∴；

可得，对任意x∈R，函数y是增函数，∴；

可得3f（2）＜2f（3）．

故选：C．4、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D5、B【分析】【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x-log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1-log32＞0，f（-1）=log32-1-log32=-1＜0，判定即可．【解析】【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2；

∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1；

∵函数f（x）=ax+x-b；

∴f（x）=（log23）x+x-log32单调递增；

∵f（0）=1-log32＞0

f（-1）=log32-1-log32=-1＜0；

∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=ax+x-b的零点所在的区间（-1；0）；

故选：B．6、A【分析】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P隆盲(x隆盲,y隆盲)P(x,y)

则a=(鈭�娄脨4,鈭�2)=P隆盲P鈫�=(x鈭�x隆盲,y鈭�y隆盲)?x隆盲=x+娄脨4,y隆盲=y+2

代入到已知解析式中可得选A

法二由a=(鈭�娄脨4,鈭�2)

平移的意义可知，先向左平移娄脨4

个单位；再向下平移2

个单位．

故选A．

法一：以平移公式切入；利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果．

本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识；

易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移娄脨4

个单位，再向下平移2

个单位，误选C.

为简单题．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】【分析】由基本不等式可得答案，注意验证等号成立的条件【解析】【解答】解：y=x+=x-2++2≥2+2，当且仅当x=2+取等号；

综上，当x=2+时，函数取得最小值2+2

故答案为：8、略

【分析】【分析】将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．【解析】【解答】解：关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k

=0；

可化为（x2-1）2-（x2-1）+k=0；

（x≥1或x≤-1）（1）

或（x2-1）2+（x2-1）+k=0；

（-1＜x＜1）（2）

令f（x）=|x2-1|-（x2-1）2；

则由题意可得；函数f（x）的图象和。

直线y=k有8个交点．

令t=x2-1≥0，则f（x）=|t|-t2=g（t）；显然函数g（t）关于变量t是偶函数；

当t=±时，f（x）=g（t）取得最大值为，此时对应的x值有4个：±、±．

显然，当函数f（x）的图象和直线y=k有8个交点时，0＜k＜；

故答案为：．9、略

【分析】【分析】根据分段函数的分段标准讨论两种情况，分别利用两段解析式求解方程f（x）=3即可．【解析】【解答】解：当-3≤x＜0时，f（x）=2x+4=3，解得x=-

当0≤x≤3时，f（x）=x2-1=3；解得x=2或-2（舍）

综上：x=2或

故答案为：2或．10、略

【分析】

∵=25；

∴3+12+10=25；

∴=1

∴

∵θ∈[0；π]；

∴

故答案为：

【解析】【答案】根据两个向量的数量积等于25，按照数量积的运算法则整理，变为只含模长和要求的数量积的结果，得到的数量积；代入求夹角公式得到结果．

11、略

【分析】

因为G为三角形的重心那么AFAE分别为BCAC的中线

那么EF平行与AB所以△GBA和△GEF为相似三角形

所以==

则S△GBA=4

又因为=S△GBA=4

S△AGE=2

同理S△BGF=2

所以四边型EFAB面积为9

设S△CEF=x，则

S△CEF=3

故答案为3

【解析】【答案】本题考查三角形的重心性质；重心的几何特征到顶点的距离到到对边中点距离的2倍，由此比例关系求△EFC的面积，即可得到正确答案．

12、略

【分析】

因为f（x）为偶函数；

所以在函数f（x）定义域内；对任意x，都有f（-x）=f（x）；

即+ln（e-x+a）=-+ln（ex+a）；

变形得，x=ln（ex+a）-ln（e-x+a）=ln=ln

则=1；所以a=1；

故答案为：1．

【解析】【答案】根据偶函数的定义及对数运算性质可求a值．

13、2【分析】【解答】解：如图，

由x2+y2﹣6x=0，得（x﹣3）2+y2=9；

∴圆心坐标C（3，0），半径r=3；

由圆的性质可知；过点P（1，2）的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6；

最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长；

∵|CP|=

∴|AB|=2

即a1=2，a3=6；

∴公差d的最大值为．

故答案为：2．

【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，得到最大弦长，再求出过P且垂直于CP的弦的弦长，即最小弦长，然后利用等差数列的通项公式求得公差得答案．三、判断题(共7题，共14分)14、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．15、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√16、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．17、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×18、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√19、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×20、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共1题，共7分)21、略

【分析】【分析】根据a∈S，∈S，可得=1-∈S．【解析】【解答】证明：因为a∈S，a≠0，∈S；

可得=1-∈S．

所以a∈S，可得1-∈S．

命题得证．五、解答题(共3题，共15分)22、略

【分析】【分析】（1）设数列{an}的公差为d，由题意得；解之可得首项和公差，可得通项公式；

（2）可得Sn=loga[（1+1）（1+）（1+）]，=，问题转化为比较（1+1）（1+）（1+）与，推测（1+1）（1+）（1+）＞，下面由数学归纳法证明，可得最后结论．【解析】【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，由题意得

解得，所以an=3n-2．

（2）．由an=3n-2，；

知Sn=loga（1+1）+loga（1+）++loga（1+）

=loga[（1+1）（1+）（1+）]；

==

要比较Sn与logaan+1的大小，先比较（1+1）（1+）（1+）与

取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞；；

由此推测（1+1）（1+）（1+）＞．①

若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，Sn＞logaan+1；当0＜a＜1时，Sn＜logaan+1

下面用数学归纳法证明①式．

（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．

（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+）（1+）＞．

那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+）（1+）＞（1+）=（3k+2）．

因为==；

所以（3k+2）＞．

因而（1+1）（1+）（1+）（1+）＞．

这就是说①式当n=k+1时也成立．

由（ⅰ）；（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：

当a＞1时，Sn＞logaan+1；当0＜a＜1时，Sn＜logaan+1

由于①等价于k＜g（α）；k∈Z

∴k的最大值为223、略

【分析】

（1）由题意知bn=∴bn-bn-1=-=1（n∈N*）；

∴数列{bn]是首项为b1==-公差为1的等差数列．

（2）依题意有．an-1=

Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）++（an-1）•（an+1-1）=

设函数则函数在（+∞）上为减函数．

Sn在[3+∞）上是递增，且Sn＜故当n=3时，且Sn=取最小值-．

而函数在（-∞，）上也为减函数，Sn在（1，2]上是递增，且Sn＞

故当n=2时，Sn取最大值：S2=．Sn的最大值为．

a的最大值与b的最小值分别为-3；2

【解析】【答案】（1）由已知中bn=an=2-我们易得到bn-bn-1=1，再由a1=求出数列{bn]是首项b1，后即可得到数列{bn]是等差数列；

（2）由（1）中的结论，我们可得an-1=由此可将Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）++（an-1）•（an+1-1），进行化简，构造设函数讨论函数的单调性后，易得到当n=2时，Sn取最大值；即可得到结果．

24、略

【分析】试题分析：（Ⅰ）先由条件用和差公式化简，再根据三角形内角范围得到角再由得到角最后由正弦定理得到（Ⅱ）先由余弦定理及条件得到又因为从而可知为直角三角形，其中角为直角.又所以既而得到三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）由已知所以故解得(4分)由且得由即解得(7分)（Ⅱ）因为所以解得(10分)由此得故为直角三角形其面积(12分)考点：1.两角和差公式；2.正弦定理；3.余弦定理.【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）六、综合题(共4题，共24分)25、略

【分析】【分析】（1）根据在区间[0；100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；

（2）由500＜S≤900；得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；

（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解析】【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；

（2）设“在本年内随机抽取一天；该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A；

由500＜S≤900；得150＜ω≤250，频数为39；

∴P（A）=；

（2）根据以上数据得到如表：

。非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值K2=≈4.575＞3.841

所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．26、略

【分析】【分析】（1）a=2时，函数f（x）为开口向上的二次函数，通过对称轴与区间[-1，3]的比较，可以得出f（x）在此区间内的最大值，由最大值不大于7可以得到b+c的最大值．

（2）同过对二次函数f（x）中对称轴的分析，得出f（x）的最值，再由|f（x）|≤1，得出a或b的取值范围，再由此得出一次函数ax+b的绝对值的取值范围．【解析】【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=2x2+bx+c=2（x+）2+c-

对称轴为x=-

①当-≤1，即b≥-4时，函数f（x）最大值为f（3）=18+3b+c

∵f（x）最大值不大于7

∴18+3b+c≤7

∴b+c≤-3

②当-＞1，即b＜-4时，函数f（x）最大值为f（-1）=2-b+c

∵f（x）最大值不大于7

∴2-b+c≤7

∴b+c≤-3

由①，②得，b+c的最大值为-3

（2）f（x）=a（x+）2+c-，对称轴为x=-

f（x）图象为抛物线。

①当|-|≥1，即|a|≤||时，f（x）的最值为f（1）=a+b+c和f（-1）=a-b+c

∵|f（x）|≤1对x∈[-1；1]恒成立．

∴

∴

∴|b|≤1

令g（x）=ax+b

g（x）在x∈[-1，1]上，最值为g（1