2024年北师大版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、函数f（x）=logx-2（5-x）的定义域为（）

A.（-∞；5）

B.（2；5）

C.（2；3）∪（3，5]

D.（2；3）∪（3，5）

2、集合{a，b}的子集的个数有（）

A.2个。

B.3个。

C.4个。

D.5个。

3、若函数满足且时，函数则函数在区间内的零点的个数为()A.6B.7C.8D.94、已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A.B.-C.2D.-25、在设计一个算法求15和18的最小公倍数中；设计如下的算法，其中不恰当的一步是（）

A.S2B.S1C.S4D.S36、AB

两名同学在5

次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若AB

两人的平均成绩分别是xAxB

观察茎叶图，下列结论正确的是(

)

A.xA<xBB

比A

成绩稳定B.xA>xBB

比A

成绩稳定C.xA<xBA

比B

成绩稳定D.xA>xBA

比B

成绩稳定评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、用二分法求函数f（x）=3x-x-4的一个零点；其参考数据如下：

。f（1.6000）=0.200f（1.5875）=0.133f（1.5750）=0.067f（1.5625）=0.003f（1.5562）=-0.029f（1.5500）=-0.060据此数据，可得方程3x-x-4=0的一个近似解（精确到0.01）为____．8、已知幂函数的图象经过点则__________.9、如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h2，则h2=____．

10、已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为____11、已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是____．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)12、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．13、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．14、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．15、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、解答题(共4题，共8分)20、（本小题满分14分）已知向量与向量的对应关系可用表示.试问是否存在向量使得成立?如果存在,求出向量如果不存在，请说明理由.21、【题文】（本小题满分13分）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求，使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①②③．（以上三式中均为常数，且）

（1）为准确研究其价格走势；应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)

（2）若求出所选函数的解析式（注：函数定义域是．其中表示8月1日，表示9月1日；，以此类推）；

（3）在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．22、【题文】已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.

(1)如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；

(2)求函数M(x)＝的最大值；

(3)如果不等式f(x2)f()>kg(x)对x∈[2,4]有解，求实数k的取值范围．23、设函数f（x）满足：①对任意实数m；n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m），③f（0）≠0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1

（1）求f（0）；f（1）的值。

（2）判断f（x）的奇偶性；并给出你的证明；

（3）试证明：函数f（x）为周期函数，并求出f（）+f（）++f（）的值．评卷人得分五、综合题(共3题，共15分)24、若记函数y在x处的值为f（x），（例如y=x2，也可记着f（x）=x2）已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图所示，且ax2+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，则下列结论成立的有____．

（1）ac＞0；

（2）；

（3）对所有的实数x都有f（x）＞x；

（4）对所有的实数x都有f（f（x））＞x．25、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

26、已知点A（-2，0），点B（0，2），点C在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，∠BAC=60°，那么点C的坐标为____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】

函数f（x）=logx-2（5-x）的定义域为：

{x|}；

解得2＜x＜5；且x≠3；

故选D．

【解析】【答案】函数f（x）=logx-2（5-x）的定义域为：{x|}；由此能求出结果．

2、C【分析】

∵集合{a，b}中有两个元素；

∴集合{a，b}有22=4个子集；

故选C．

【解析】【答案】若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集．由此能求出结果．

3、C【分析】【解答】因为函数满足所以函数是周期为2的周期函数，又因为时，所以作出函数的图像：

由图知：函数－g(x)在区间内的零点的个数为8个.

故选C4、A【分析】【解答】设幂函数y=f（x）=xα；

图象过点（3，）；

∴3α=

∴α=

∴f（x）=（x≥0）；

∴log4f（2）=log4=log42=×=

故选：A．

【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．5、C【分析】【解答】设计一个算法求15和18的最小公倍数中；

前两个步骤合理；第三个步骤也没有问题，确定的公因数正确；

在第四步上出现了错误，最小公倍数应该是2×32×5=90

错误出在第四步；

故选C．

【分析】观察前两个步骤合理，第三个步骤也没有问题，确定的公因数正确，在第四步上出现了错误，最小公倍数应该是2×32×5=90，得到结果。6、A【分析】解：由茎叶图知；可知道甲的成绩为969192103128

平均成绩为102

乙的成绩为99108107114112

；平均成绩为106

从茎叶图上可以看出B

的数据比A

的数据集中；B

比A

成绩稳定；

故选A．

根据所给的茎叶图；看出甲和乙的成绩，算出两个人的平均分，结果平均分甲大于乙，再算出两个人的成绩单方差，乙的方差大于甲的方差，得到结果．

本题考查茎叶图，考查平均数和方差，是一个统计问题，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度．【解析】A

二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】

由图表知；f（1.5625）=0.003＞0，f（1.5562）=-0.0029＜0；

∴函数f（x）=3x-x-4的一个零点在区间（1.5625；1.5562）上；

故函数的零点的近似值（精确到0.01）为1.56，可得方程3x-x-4=0的一个近似解（精确到0.01）为1.56；

故答案为1.56．

【解析】【答案】方程的近似解所在的区间即是函数f（x）=3x-x-4的一个零点所在的区间；此区间应满足：①区间长度小于精度0.01，②区间端点的函数值的符号相反．

8、略

【分析】试题分析：设幂函数为由题意知幂函数的图象经过点将点带入函数求得故幂函数为所以考点：幂函数的运算.【解析】【答案】9、略

【分析】

=（）3=

∴=倒置后：V水：V锥=h23：h3=

∴h2=（h3）=h．

故答案为：h．

【解析】【答案】圆锥正置与倒置时；水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．

10、48【分析】【解答】解：已知正四棱锥P﹣ABCD中；AB=6，PA=5；

取AB中点O；连结PO，则PO⊥AB，AO=3；

∴PO==4；

∴该正四棱锥的侧面积：

S=4S△PAB=4×x6x4=48．

故答案为：48．

【分析】利用正四棱锥的结构特征求解．11、-3【分析】【解答】解：+λ=（2；4）+λ（1，1）=（2+λ，4+λ）．

∵⊥（+λ）；

∴•（+λ）=0；

即（1；1）•（2+λ，4+λ）=2+λ+4+λ=6+2λ=0；

∴λ=﹣3．

故答案：﹣3

【分析】由向量=（2，4），=（1，1），我们易求出向量若向量+λ的坐标，再根据⊥（+λ），则•（+λ）=0，结合向量数量积的坐标运算公式，可以得到一个关于λ的方程，解方程即可得到答案．三、证明题(共8题，共16分)12、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．13、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．14、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．15、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、解答题(共4题，共8分)20、略

【分析】

设存在向量使得成立，2分所以①5分所以结合①，得②8分解①②组成的方程组得,或（舍去）11分所以符合题意，假设成立，13分所以存在向量14分【解析】略【解析】【答案】21、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）利用价格呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x（x-q）2+p为其模拟函数；（2）由题中条件：f（0）=4；f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式；

（3）确定函数解析式；利用导数小于0，即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．

试题解析：（1）根据题意，应选模拟函数

(2）得：

所以

(3）令

又在上单调递增，在上单调递减.

所以可以预测这种海鲜将在9月；10月两个月内价格下跌.

考点：1.根据实际问题选择函数类型；2.求函数解析式；3.导数的综合应用.【解析】【答案】（1）（2）（3）在9月，10月两个月内价格下跌.22、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2；

∵x∈[1,4]，∴log2x∈[0,2]；

∴h(x)的值域为[0,2]．

(2)：f(x)－g(x)＝3(1－log2x)．

当x>2时，f(x)<g(x)；当0<x≤2时，f(x)≥g(x)．

∴M(x)＝＝

当0<x≤2时，M(x)最大值为1；

当x>2时，M(x)<1；

综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.

(3)由f(x2)f()>kg(x)得。

(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x；

令t＝log2x，∵x∈[2,4]，∴t∈1,2]，∴存在t∈[1,2]使(3－4t)(3－t)>kt；

即k<=4t＋－15成立。

记h(x)=4t＋－15,则k<h(x)max即可，易得h(x)max=-2

综上：k<－2.

考点：函数的最值。

点评：解决的管家式利用对数式的运算，以及函数的性质，均值不等式来求解最值，属于中档题。【解析】【答案】（1）[0,2]．（2）当x＝2时，M(x)取到最大值为1.

（3）k<－2.23、略

【分析】

（1）利用赋值法即可求f（0）；f（1）的值。

（2）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；

（3）根据函数周期性的定义即可证明函数f（x）为周期函数；利用函数的奇偶性和周期性的性质即可求值．

本题主要考查抽象函数的综合应用，利用函数的奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．【解析】解：（1）令m=0；n=0，有f（0）+f（0）=2f（0）•f（0）即2f（0）[f（0）-1]=0；

∵f（0）≠0；∴f（0）=1．

又令m=n=1得f（2）+f（0）=2[f（1）2]；

又f（1+m）=f（1-m）得f（2）=f（0）；

∴[f（1）]2=1即f（1）=±1；而由已知f（1）＜1；

故f（1）=-1．（4分）

（2）令m=0；n=x得：f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）=2f（x）；

∴f（-x）=f（x）即f（x）为偶函数．

（3）由已知f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x）；

又f（x）为偶函数；有f（-x）=f（x）∴f（2+x）=f（x）；

∴f（x）为以2为周期的周期函数．

令得：．

即：．

再令：得：．

即：．

而．．由此得：

又由条件（2），故

又f（x）是以2为周期的周期函数，故．五、综合题(共3题，共15分)24、略

【分析】【分析】（1）抛物线开口向上；则a＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0，可判断（1）正确；

（2）根据ax2+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立；可得到抛物线与x轴没有交点，则△＜0，变形△＜0即可对（2）进行判断；

（3）把ax2+（b-1）x+c＞0进行变形即可得到ax2+bx+c＞x；

（4）把f（x）作为变量得到f（f（x））＞f（x），即有（4）的结论．【解析】【解答】解：（1）观察图象得；a＞0，c＞0，则ac＞0，所以（1）正确；

（2）∵ax2+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立；且a＞0；

∴y=ax2+（b-1）x+c的图象在x轴上方；

∴△＜0，即（b-1）2-4ac＜0；

∴＜ac；所以（2）正确；

（3）∵ax2+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立；

∴ax2+bx+c＞x对所有的实数x