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第五节极限的运算法则

无穷小的运算法则极限的四则运算法则复合函数极限运算法则1/22时,有一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.*证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(后面的例题)用数学归纳法可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2（同一过程中的）有界量与无穷小的乘积是无穷小，即O(1)·o(1)=o(1)证6/16推论1（在同一过程中）有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积是无穷小.7/16注意

无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.二、四则运算法则定理3推论4/22例1解5/22例3解7/22注

在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化等。解例4（消去零因子法）8/22例5求

解(无穷小因子分出法)9/22例6求解

（消去零因子法）10/22例7求解（分子有理化）11/22例9求解先变形再求极限.13/22例10解14/22例11解左右极限存在且相等,15/22例12解16/22总结：有理函数在无穷远的极限

17/22三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.定理7.设且x满足时,又则有

说明:若定理中则类似可得例13求极限20/22备用题

设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故三、小结：无穷小的运算法则，极限的四则运算法则（注意除法）,

有理函数的极限；

3.复合函数的极限运算法则。22/22

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