【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修5：第二章-解三角形-单元同步测试

其次章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系是()A．A>B B．A<BC．A≥B D．不能确定解析由sinA>sinB知a>b，由三角形大边对大角知A>B.答案A2．在△ABC中，A、B均为锐角，sinA＝eq\f(4,5)，cosB＝eq\f(12,13)，则cosC的值为()A.eq\f(16,65) B.eq\f(36,65)C．－eq\f(16,65) D．±eq\f(16,65)解析由sinA＝eq\f(4,5)，A为锐角，cosA＝eq\f(3,5)，由cosB＝eq\f(12,13)，sinB＝eq\f(5,13)，cosC＝－cos(A＋B)＝－[cosAcosB－sinAsinB]＝－eq\f(16,65).答案C3．在△ABC中，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，则B等于()A．30° B．60°C．120° D．60°或120°解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).又b>a，∴B＝60°或B＝120°.答案D4．在△ABC中，sin2A－sin2C＋sin2B＝sinAsinB，则A．60° B．45°C．120° D．30°解析由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，整理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∴cosC＝eq\f(1,2).又C为三角形内角，∴C＝60°.答案A5．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC肯定是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形解析由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac＝ac即(a－c)2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案D6．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，则eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC)＝()A．2 B.eq\f(1,2)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)解析由正弦定理可知eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2.答案A7．三角形某两边之差为2，且夹角的余弦值为eq\f(3,5)，面积为14，那么这个三角形的这两边长分别是()A．3和5 B．4和6C．6和8 D．5和7解析设这两边为x，x＋2.由题意可得S＝eq\f(1,2)x(x＋2)sinθ＝eq\f(1,2)x·(x＋2)×eq\f(4,5)＝14，得x＝5，或x＝－7(舍)，故选D.答案D8．在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)·cosB，那么△ABC肯定是()A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形解析由题可知，sinC＝sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.∴△ABC为等腰三角形．答案B9．在△ABC中，b＝8，c＝8eq\r(3)，S△ABC＝16eq\r(3)，则A＝()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA＝16eq\r(3)，即32eq\r(3)sinA＝16eq\r(3)，sinA＝eq\f(1,2).又A为三角形的内角，∴A＝30°，或A＝150°.答案C10．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛A动身以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.eq\f(150,7)min B.eq\f(15,7)hC．21.5min D．2.15h解析如图所示，过t小时，甲船到达D点，CD＝eq\r(10－4t2＋6t2－2×10－4t·6t·cos120°)＝eq\r(28t2＋20t＋100).∴当t＝eq\f(20,2×28)＝eq\f(5,14)时，甲、乙两船相距最近，∴t＝eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)min.答案A二、填空题(5×5＝25分)11．在△ABC中，AC＝eq\r(6)，BC＝2，B＝60°，则A＝______；AB＝________.解析∵eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(6),sin60°)，∴sinA＝eq\f(\r(2),2).又BC<AC，∴A＝45°.又C＝180°－A－B＝75°，∴eq\f(AB,sinC)＝eq\f(\r(6),sin60°).∴AB＝eq\r(3)＋1.答案45°eq\r(3)＋112．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2,3)π，则a＝________.解析由正弦定理得eq\f(1,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f(2,3)π)，得sinB＝eq\f(1,2).又b<c，∴B＝eq\f(π,6)，故∠A＝π－eq\f(2,3)π－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，∴a＝1.答案113．设△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4eq\r(2)bc.则sinA的值为________．解析由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2\r(2),3)，又0<A<π，故sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)14．已知△ABC的面积为eq\f(15\r(3),4)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝________.解析由题意得eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sinA＝eq\f(1,2)×3×5sinA＝eq\f(15\r(3),4)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0，∴A是钝角，∴A＝120°，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AC,\s\up6(→))|2－2|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|cosA,\s\up6()))＝7.答案715．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边的长是方程3x2－27x＋32＝0的两根，那么BC边长等于________．解析由题意得x1＋x2＝9，x1x2＝eq\f(32,3)，由余弦定理，得BC2＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)－2x1x2cos60°＝49.∴BC＝7.答案7三、解答题(共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)在△ABC中，C－A＝eq\f(π,2)，sinB＝eq\f(1,3).(1)求sinA的值；(2)设AC＝eq\r(6)，求△ABC的面积．解(1)由C－A＝eq\f(π,2)及A＋B＋C＝π，得2A＝eq\f(π,2)－B,0<A<eq\f(π,4).故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(\r(3),3).(2)由(1)得cosA＝eq\f(\r(6),3)，由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，∴BC＝eq\f(sinA,sinB)AC＝3eq\r(2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC＝eq\f(1,2)AC·BC·cosA＝3eq\r(2).17．(12分)在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，推断△ABC的外形．解∵cosA>sinB，∴sin(eq\f(π,2)－A)>sinB.∵A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq\f(π,2)－A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为单调增函数，∴eq\f(π,2)－A>B，∴A＋B<eq\f(π,2).∵A＋B＋C＝π，∴C∈(eq\f(π,2)，π)．∴△ABC为钝角三角形．18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(sinB＋sinC，sinA－sinB)，n＝(sinB－sinC，sin(B＋C))，且m⊥n.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求cosB的值．解(1)由m⊥n可得m·n＝0.即sin2B－sin2C＋sin2A－sinAsin由正弦定理得b2－c2＋a2－ab＝0，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2).又C为三角形的内角，∴C＝eq\f(π,3).(2)∵sinC＝eq\f(\r(3),2)，sinA＝eq\f(4,5)，∵eq\f(\r(3),2)>eq\f(4,5)，知C>A.∴cosA＝eq\f(3,5).∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝eq\f(4\r(3)－3,10).19．(13分)已知角A、B、C为△ABC的内角，其对边分别为a、b、c，若向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，a＝2eq\r(3)，且m·n＝eq\f(1,2)，△ABC的面积S＝eq\r(3)，求b＋c的值．解∵m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，且m·n＝eq\f(1,2)，∴－cos2eq\f(A,2)＋sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1,2).即cosA＝－eq\f(1,2).又0<A<π，∴A＝eq\f(2π,3).∵S＝eq\f(1,2)bc·sinA＝eq\f(1,2)bc·sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),4)bc＝eq\r(3)，∴bc＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝12，∴(b＋c)2＝16，故b＋c＝4.20．(13分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．解(1)由题意得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)×2ab·cosC，∴tanC＝eq\r(3).又C为△ABC的内角，∴C＝eq\f(π,3).(2)∵∠C＝eq\f(π,3)，∴sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－A))＝sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤eq\r(3).当A＝eq\f(π,3)，即△ABC为等边三角形时取等号．∴sinA＋sinB的最大值为eq\r(3).21．(13分)已知向量m＝(coseq\f(x,4)，1)，n＝(eq\r(3)sineq\f(x,4)，cos2eq\f(x,4))．记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解(2a－c)cosB＝bcosC(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.∴cosB＝eq\f(1,2)，则B＝eq\f(π,3)，∴0<A<eq\f(2π,3).∴eq\f(π,6)<