【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

2021届高三数学（理）提升演练：二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题一、选择题1．若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，,2x＋y－7≥0，,x≥0，y≥0，,))则3x＋4y的最小值是()A．13 B．15C．20 D．282．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()A．[－2,2] B．[－2,3]C．[－3,2] D．[－3,3]3．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4,3x＋y≤4))，所表示的平面区域被直线y＝kx＋eq\f(4,3)分为面积相等的两部分，则k的值是()A.eq\f(7,3) B.eq\f(3,7)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)4．已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一个动点，则·的取值范围是()A．[－1,0] B．[0,1]C．[0,2] D．[－1,2]5．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0,x＋y≥0,x≤3))，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为()A．a≥1 B．a≤－1C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≥－16．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3≤2x＋y≤9，,6≤x－y≤9，))则z＝x＋2y的最小值为()A．－8 B．－6C．0 D．12二、填空题7．在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,y≤2,x－y≤0))表示的平面区域的外接圆的方程为________．8．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－ay－1≥0,2x＋y≥0,x≤1))(a∈R)，若目标函数z＝x＋3y只有当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝0))时取得最大值，则实数a的取值范围是________．9．已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0,x＋y≥0,x≤3))，则z＝eq\f(4x,2－y)的最小值为________．三、解答题10．已知▱ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在▱ABCD的内部，求z＝2x－5y的取值范围．11．由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤x，,y≤2－x，,t≤x≤t＋10<t<1))所确定的平面区域的面积S＝f(t)，试求f(t)的表达式．12．某养分师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的养分中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.假如一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的养分要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？详解答案一、选择题1．解析：不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，,2x＋y－7≥0，,x≥0，y≥0，))表示的可行域如图所示，依据目标函数z＝3x＋4y的几何意义简洁求得，当x＝3，y＝1时，z有最小值13.答案：A2．解析：由于a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1可转化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1x≥0，y≥0,x－y≤1x≥0，y＜0,－x＋y≤1x＜0，y≥0,－x－y≤1x＜0，y＜0))，由图可得其对应的可行域为边长为eq\r(2)，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点(0，－1)时z有最小值－3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为[－3,3]．答案：D3．解析：由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋eq\f(4,3)恰过A(0，eq\f(4,3))，y＝kx＋eq\f(4,3)将区域平均分成面积相等两部分，故过BC的中点D(eq\f(1,2)，eq\f(5,2))，eq\f(5,2)＝k×eq\f(1,2)＋eq\f(4,3)，k＝eq\f(7,3).答案：A4．解析：平面区域如图中阴影部分所示的△BDN，N(0,2)，D(1,1)，设点M(x，y)，因点A(－1,1)，则z＝·＝－x＋y，由图可知；当目标函数z＝－x＋y过点D时，zmin＝－1＋1＝0；当目标函数z＝－x＋y过点N时，zmax＝0＋2＝2，故z的取值范围为[0,2]，即·的取值范围为[0,2]．答案：C5．解析：作出x，y满足的可行域，如图阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.答案：C6．解析：依据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3≤2x＋y≤9,6≤x－y≤9))得可行域如图中阴影部分所示：依据z＝x＋2y得y＝－eq\f(x,2)＋eq\f(z,2)，平移直线y＝－eq\f(x,2)得过M点时取得最小值．依据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝9,2x＋y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－5))，则zmin＝4＋2×(－5)＝－6.答案：B二、填空题7．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC为等腰直角三角形，A(2,2)，B(1,1)，C(1,2)，因此△ABC的外接圆的圆心为(eq\f(3,2)，eq\f(3,2))，半径为eq\f(\r(2－12＋2－12),2)＝eq\f(\r(2),2).所以所求外接圆的方程为(x－eq\f(3,2))2＋(y－eq\f(3,2))2＝eq\f(1,2).答案：(x－eq\f(3,2))2＋(y－eq\f(3,2))2＝eq\f(1,2)8．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域，其中直线x－ay－1＝0经过定点(1,0)且斜率为eq\f(1,a)，结合图形可知，只有当eq\f(1,a)>0，即a>0时，目标函数z＝x＋3y才能在点(1,0)处取得最大值(如图(1))；若eq\f(1,a)<0，则可行域变为开放的区域，目标函数z＝x＋3y不存在最大值(如图(2))．所以实数a的取值范围是a>0.答案：(0，＋∞)9．解析：作出不等式组所表示的可行域(图略)，z＝eq\f(4x,2－y)＝22x·2y＝22x＋y，令ω＝2x＋y，可求得ω＝2x＋y的最小值是－2，所以z＝eq\f(4x,2－y)的最小值为2－2＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)三、解答题10．解：由题可知，平行四边形ABCD的点D的坐标为(0，－4)，点(x，y)在平行四边形内部，如图，所以在D(0，－4)处目标函数z＝2x－5y取得最大值为20，在点B(3,4)处目标函数z＝2x－5y取得最小值为－14，由题知点(x，y)在平行四边形内部，所以端点取不到，故z＝2x－5y的取值范围是(－14,20)．11．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP，如图所示，其面积S＝f(t)＝S△OPD－S△AOB－S△ECD，而S△OPD＝eq\f(1,2)×1×2＝1.S△OAB＝eq\f(1,2)t2，S△ECD＝eq\f(1,2)(1－t)2，所以S＝f(t)＝1－eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)(1－t)2＝－t2＋t＋eq\f(1,2).12．解：法一：设需要预订满足养分要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,12x＋8y≥64，,6x＋6y≥42，,6x＋10y≥54.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,3x＋2y≥16，,x＋y≥7，,3x＋5y≥27.))作出线性约束条件所表示的可行域，如图所示，z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0，8)处的值分别是zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，zB＝2.5×4＋4×3＝22，zC＝2.5×2＋4×5＝25，zD＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足养分要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足eq\b