【创新设计】2021高考数学(理)(江西)二轮专题突破练3

eq\a\vs4\al\co1(突破练三)1．设函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,6))＋2sin2eq\f(ωx,2)(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的相邻对称轴的距离为π.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)且f(A)＝eq\f(3,2)，△ABC的面积为S＝6eq\r(3)，a＝2eq\r(7)，求b，c的值．解(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinωx＋eq\f(1,2)cosωx＋1－cosωx＝eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(1,2)cosωx＋1＝sin(ωx－eq\f(π,6))＋1.∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin(x－eq\f(π,6))＋1.(2)由f(A)＝eq\f(3,2)，得sin(A－eq\f(π,6))＝eq\f(1,2).又∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).∵S＝eq\f(1,2)bcsinA＝6eq\r(3).∴eq\f(1,2)bcsineq\f(π,3)＝6eq\r(3)，bc＝24.由余弦定理，得a2＝(2eq\r(7))2＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝b2＋c2－24.∴b2＋c2＝52.又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.2．为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重(单位：千克)数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估量全市的总体数据，若从全市高三男生中任选3人，设X表示体重超过55千克的同学人数，求X的数学期望．解(1)设该校随机抽查的部分男生的总人数为n，前3个小组的频率分别为P1、P2、P3，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P2＝2P1，,P3＝3P1，,P1＋P2＋P3＋0.0375＋0.0125×5＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P1＝0.125，,P2＝0.25，,P3＝0.375.))由于P2＝0.25＝eq\f(12,n)，所以n＝48.(2)由(1)可得，一个男生体重超过55千克的概率为P＝P3＋(0.0375＋0.0125)×5＝eq\f(5,8).所以X～B(3，eq\f(5,8))，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(5,8))k(eq\f(3,8))3－k，k＝0,1,2,3.随机变量X的分布列为(可不写)：X0123Peq\f(27,512)eq\f(135,512)eq\f(225,512)eq\f(125,512)则E(X)＝0×eq\f(27,512)＋1×eq\f(135,512)＋2×eq\f(225,512)＋3×eq\f(125,512)＝eq\f(15,8).(或：E(X)＝3×eq\f(5,8)＝eq\f(15,8))3．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(anan＋1,2)(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(2Sn,－2nn＋1)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.解(1)∵Sn＝eq\f(anan＋1,2)，n∈N*，当n＝1时，S1＝eq\f(a1a1＋1,2)，∴a1＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2Sn＝a\o\al(2,n)＋an,2Sn－1＝a\o\al(2,n－1)＋an－1n≥2))得，2an＝2(Sn－Sn－1)＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋an－an－1，∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝1(n≥2)，∴数列{an}是等差数列，∴an＝n.(2)由(1)知Sn＝eq\f(nn＋1,2)，∴bn＝eq\f(2Sn,－2nn＋1)＝eq\f(n,－2n)，∴Tn＝eq\f(1,－2)＋eq\f(2,－22)＋…＋eq\f(n－1,－2n－1)＋eq\f(n,－2n)，－2Tn＝1＋eq\f(2,－2)＋…＋eq\f(n－1,－2n－2)＋eq\f(n,－2n－1)，两式相减，得－3Tn＝1＋eq\f(1,－2)＋eq\f(1,－22)＋…＋eq\f(1,－2n－1)－eq\f(n,－2n)＝eq\f(1－\f(1,－2n),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))－eq\f(n,－2n)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,－2n)))－eq\f(n,－2n)，∴Tn＝－eq\f(2,9)＋eq\f(2＋3n,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n.4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D(1)求证：BA1⊥AC1；(2)求二面角A－A1B－C的余弦值．(1)证明取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC.∵BC⊥AC，∴DE⊥AC.∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∴A1D⊥平面ABC.∴分别以DE，DC，DA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.则A(0，－1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，eq\r(3))，C1(0,2，eq\r(3))，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0,3，eq\r(3))，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－2，－1，eq\r(3))．∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BA1,\s\up6(→))＝0，BA1⊥AC1.(2)解设平面A1AB的法向量为n＝(x1，y1，z1)．eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,1，eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋\r(3)z1＝0,2x1＋2y1＝0))，令z1＝1，得x1＝eq\r(3)，y1＝－eq\r(3)，∴n＝(eq\r(3)，－eq\r(3)，1)．设平面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)．eq\o(CA1,\s\up6(→))＝(0，－1，eq\r(3))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,0,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(CA1,\s\up6(→))＝0，,m·\o(CB,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＋\r(3)z2＝0，,2x2＝0，))令z2＝1，得y2＝eq\r(3)，∴m＝(0，eq\r(3)，1)．故cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝－eq\f(\r(7),7).易知二面角A－A1B－C为锐二面角，∴二面角A－A1B－C的余弦值为eq\f(\r(7),7).5．已知点P(1，－eq\f(3,2))在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W＝eq\f(|AB|2,|MN|).试推断W是否为定值？若W为定值，恳求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．解(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，∴c＝1，椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)，可得2a＝eq\r(1＋12＋－\f(3,2)2)＋eq\r(1－12＋－\f(3,2)2)＝eq\f(5,2)＋eq\f(3,2)＝4，解得a＝2，∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①当直线斜率不存在时，|AB|2＝(2b)2＝4b2，|MN|＝eq\f(2b2,a)，∴W＝eq\f(|AB|2,|MN|)＝eq\f(4b2,\f(2b2,a))＝2a＝4.②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,y＝kx－1))得，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2[\f(8k2,3＋4k2)2－4×\f(4k2－12,3＋4k2)])＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2).设直线AB的方程为y＝kx(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,,y＝kx))消去y，并整理得：x2＝eq\f(12,3＋4k2)，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x3－x4|＝4eq\r(\f(31＋k2,3＋4k2))，∴W＝eq\f(|AB|2,|MN|)＝eq\f(\f(481＋k2,3＋4k2),\f(121＋k2,3＋4k2))＝4.由①②可得，W为定值4.综上所述，W为定值1.6．已知函数f(x)＝ax－bxlnx，其图象经过点(1,1)，且在(e，f(e))处的切线斜率为3(e为自然对数的底数)．(1)求实数a、b的值；(2)若k∈Z，且k＜eq\f(fx,x－1)对任意x＞1恒成立，求k的最大值；(3)证明：2ln2＋3ln3＋…＋nlnn＞(n－1)2(n∈N*，n＞1)．(1)解由于f(1)＝1，所以a＝1，此时f(x)＝x－bxlnx，f′(x)＝1－b(1＋lnx)，依题意，f′(e)＝1－b(1＋lne)＝3，所以b＝－1.(2)解由(1)知：f(x)＝x＋xlnx，当x＞1时，设g(x)＝eq\f(fx,x－1)＝eq\f(x＋xlnx,x－1)，则g′(x)＝eq\f(x－2－lnx,x－12).设h(x)＝x－2－lnx，则h′(x)＝1－eq\f(1,x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上是增函数．由于h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－ln4＞0，所以，存在x0∈(3,4)，使h(x0)＝0.当x∈(1，x0)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，即g(x)在(1，x0)上为减函数；同理g(x)在(x0，＋∞)上为增