【1对1】2021年高中数学学业水平考试专题综合检测-模拟试卷(十二)

12高中学业水平考试《数学》模拟试卷(十二)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1.eq\r(sin2120°)等于()A.±eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,2)2.抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是()A.eq\f(5,2)B.5C.10D.203.已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为()A.0B.－8C.2D.104.已知平面对量a＝(3，1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x＝()A.－3B.－1C.1D.35.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A.x－2y－1＝0B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0D.x＋2y－1＝06.若全集为实数集R，集合A＝{x|logeq\f(1,2)(2x－1)>0}，则∁RA＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.(1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)7.已知tanα＝eq\r(3)，π<α<eq\f(3π,2)，那么cosα－sinα的值是()A.－eq\f(1＋\r(3),2)B.eq\f(－1＋\r(3),2)C.eq\f(1－\r(3),2)D.eq\f(1＋\r(3),2)8.设O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(,2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(,2)，则△POF的面积为()A.2B.2eq\r(,2)C.2eq\r(,3)D.49.在空间直角坐标系中，点M(－3，1，5)，关于x轴对称的点的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－1，－5))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，1，－5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1，－5))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－1，－5))10.设a＝(eq\f(3,2)，sinα)，b＝(cosα，eq\f(1,3))，且a∥b，则锐角α等于()A.30°B.60°C.75°D.45°11.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④12.设Sn是等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，则eq\f(S9,S5)＝()A.1B.－1C.2D.eq\f(1,2)13.设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝eq\f(π,8)对称，则φ可能是()A.eq\f(π,2)B.－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)15.设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(\f(2,5))，则a，b，c的大小关系是()A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a16.假如两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为()A.8∶27B.2∶3C.4∶9D.2∶917.下列命题中，真命题是()A.∃x0∈R,B.∀x∈R，2x>x2C.“a＋b＝0”的充要条件是“eq\f(a,b)＝－1”D.“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件18.已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tan2α＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.－eq\f(3,4)D.－eq\f(4,3)19.若P(2,－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A.x－y－3＝0B.2x＋y－3＝0C.x＋y－1＝0D.2x－y－5＝020.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A.确定是锐角三角形B.确定是直角三角形C.确定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是直角三角形(第21题)21.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列推断错误的是(A.DB1⊥平面ACD1B.BC1∥平面ACD1C.BC1⊥DB1D.三棱锥P－ACD1的体积与P点位置有关22.垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A.x＋y－eq\r(2)＝0B.x＋y＋1＝0C.x＋y－1＝0D.x＋y＋eq\r(2)＝023.已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(x)－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x<x0，则f(x)的值()A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于024.下面是关于公差d>0的等差数列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an))的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(nan))是递增数列；p3：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列；p4：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋3nd))是递增数列．其中的真命题为()A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，25.若点O和点F(－2，0)分别是双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范围为()A.[3－2eq\r(3)，＋∞)B.[3＋2eq\r(3)，＋∞)C.[－eq\f(7,4)，＋∞)D.[eq\f(7,4)，＋∞)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是______________．27.已知A＝{x|eq\f(1,8)<2－x<eq\f(1,2)}，B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∩B＝________．28.设定点A(3，0)，动点P(x，y)的坐标满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,y≥2，,x＋y≤6，))则eq\o(OP,\s\up6(→))·cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．29.设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．30.已知函数f(x)＝eq\f(x2＋ax＋7＋a,x＋1)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥4恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31.(本题7分)已知等比数列{an}各项均为正数，且a1＋a2＝20，a3＝64，设bn＝eq\f(1,2)log2an.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记Tn＝eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋eq\f(1,b3b4)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)，求Tn.32.(本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)[第32题(A)](A)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝2，PA＝2，E，F分别是PC，PD的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．(B)如图，已知三棱锥A－BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示．[第32题(B)](1)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(2)在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥平面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在，请说明理由．33.(本题8分)定义在R上的单调函数y＝f(x)满足f(2)＝3，且对任意的x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)试求f(0)的值，并证明函数y＝f(x)为奇函数；(2)若f(m·3x)＋f(3x－9x)<3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．34.(本题8分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为4，且与椭圆x2＋eq\f(y2,2)＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M(0，1)，与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，求k的值．

122022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(十二)1.B2.B3.B4.C5.A6.D7.B8.C9.A10.D11.A12.A13.A14.C15.A16.C17.D18.C19.A20.C21.D22.A23.A24.D[提示：p2：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(nan))是递增数列是错的，例如an＝2n－9，则nan＝2n2－9n不是单调的；p3：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列也是错的，例如an＝n，则eq\f(an,n)＝1是常函数．]25.B[提示：由题意可知a2＝3，故eq\f(x2,3)－y2＝1，设P(x0，y0)，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x02＋2x0＋y02＝x02＋2x0＋eq\f(x02,3)－1＝eq\f(4,3)x02＋2x0－1(x0≥eq\r(3))，故(eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→)))min＝3＋2eq\r(,3)]26.(x－2)2＋(y＋eq\f(3,2))2＝eq\f(25,4)27.(2，3)28.429.eq\r(3)＋1[提示：由于PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，F1F2＝2c，所以PF2＝c，PF1＝eq\r(3)c，又依据双曲线的定义：eq\r(3)c－c＝2a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.]30.[eq\f(1,3)，＋∞)[提示：对于任意的x∈N*，f(x)≥4恒成立，即等价于f(x)min≥4，另x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(x)＝f(t)＝eq\f(t2＋（a－2）t＋8,t)＝t＋eq\f(8,t)＋a－2(t≥2且t∈N*)，∴f(t)min＝eq\f(11,3)＋a≥4，即a≥eq\f(1,3).]31.(1)an＝4n，bn＝n(2)Tn＝eq\f(n,n＋1)[第32题(A)]32.(A)(1)证明：∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD.又∵CD∥AB，∴EF∥AB，∴EF∥平面PAB.(2)解：取线段PA的中点M，连接EM，则EM∥AC，故AC与平面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连接EH.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又∵EF∥AB，∴EF⊥平面PAD.∵MH⊂平面PAD，∴EF⊥MH，故MH⊥平面ABEF，∴∠MEH是ME与平面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(5)，MH＝eq\f(\r(2),2)，得sin∠MEH＝eq\f(\r(10),10).∴AC与平面ABEF所成的角正弦值是eq\f(\r(10),10).[第32题(B)](B)解：(1)取BD的中点O，连接AO，则AO⊥平面CBD.以O为原点建立空间直角坐标系，如图．A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，2eq\r(3)，0)，D(－1，0，0).eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－2eq\r(,3)，0)，cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝－eq\f(\r(2),4).∴所求异面直线AB与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4).(2)设eq\o(CF,\s\up6(→))＝λeq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－λ，2eq\r(3)(1－λ)，λ)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BF,\s\up6(→))·\o(CA,\s\up6(→))＝2λ－12（1－λ）＝0，,\o(BF,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))＝λ－λ＝0，))解得λ＝eq\f(6,7)，|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝eq\f(6,7)|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\f(6,7)eq\r(14).33.(1)∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，①令x＝y＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．(2)∵f(2)＝3，即f(2)>f(0)，又f(x)在R上是单调函数，∴f(x)在R上是增函数．∵f(m·3x)＋f(3x－9x)<3，可化为f((m＋1)·3x－9x)<f(2)，∴(m＋1)·3x－9x<2对任意x∈R恒成立．即9x－(m＋1)·3x＋2>0对任意x∈R恒成立．令t＝3x，则t>0，问题等价于t2－(1＋m)t＋2>0在(0，＋∞)上恒成立，令g(t)＝t2－(m＋1)t＋2，其对称轴方程为t＝eq\f(m＋