【原创】江苏省2020-2021学年高二数学1-1本章练习及答案：第二章-09圆锥曲线与方程

本章检测：圆锥曲线与方程1．抛物线y＝eq\f(1,a)x2的焦点坐标是 2．以eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为3．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是4．设椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为eq\f(1,2)，则此椭圆的方程为5．抛物线2y＝x2上距离点A(0，a)(a＞0)最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是6．设F1，F2为双曲线x2－4y2＝4a2(a＞0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2，则a的值为7．等轴双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得的弦长为eq\r(41)，则双曲线的实轴长是 ()．8．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是 ．9．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作始终线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)等于10．已知点A(0，－3)，B(2,3)，点P在x2＝y上，当△PAB的面积最小时，点P的坐标是 11．椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距为2，则m＝________.12．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜a)中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是______．13．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．14．已知抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点F恰好是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为________．15．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，eq\o(FA,\s\up6(→))与x轴正方向的夹角为60°，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|为__________．16．(13分)已知双曲线与椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为eq\f(3,7)，求双曲线的方程．17．(13分)如图，已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝4eq\r(2).过椭圆焦点F1作始终线，交椭圆于两点M，N.(1)求椭圆的方程；(2)当∠F2F1M＝eq\f(π,4)时，求|MN|.18．(13分)已知两点A(eq\r(2)，0)、B(－eq\r(2)，0)，动点P在y轴上的射影为Q，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))2.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设直线m过点A，斜率为k，当0<k<1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为eq\r(2)，试求k的值及此时点C的坐标．19．(12分)如图所示，若椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1上存在两点A、B关于l：y＝4x＋m对称，求m的取值范围．20．(12分)椭圆C的一个焦点F恰好是抛物线y2＝－4x的焦点，离心率是双曲线x2－y2＝4离心率的倒数．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，当点G的横坐标为－eq\f(1,4)时，求直线l的方程．1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))2.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.3.x2－y2＝84.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝15.0＜a≤1解析设抛物线上任一点P(x0，y0)，则|AP|＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y0－a2)＝eq\r(2y0＋y\o\al(2,0)－2ay0＋a2)＝eq\r(y\o\al(2,0)＋21－ay0＋a2)＝eq\r(y0＋1－a2＋2a－1).由于y0≥0，若|AP|在y0＝0时取最小值，则1－a≥0，所以a≤1，故0＜a≤1.6.1解析双曲线为eq\f(x2,4a2)－eq\f(y2,a2)＝1，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2＝4c2＝20a2，即：(|eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))|)2＋2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝20a2，∴16a2＋4＝20a2，∴a2＝1，∵a＞0，∴7.3解析直线4x＋5y＝0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，则有eq\r(1＋\f(16,25)x\o\al(2,1))＝eq\f(\r(41),2)，可得xeq\o\al(2,1)＝eq\f(25,4)，取x1＝eq\f(5,2)，y1＝－2，∴a2＝eq\f(25,4)－4＝eq\f(9,4)，∴|a|＝eq\f(3,2)，∴2|a|＝3.8.eq\f(1,2)解析本题主要考查圆锥曲线中椭圆的几何性质．左焦点F(－c,0)，右顶点A(a,0)，不妨设点B在其次象限，则B(－c，eq\f(b2,a))，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))得：xP－xA＝2(xB－xP)，代入坐标得，0－a＝2(－c－0)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).9.4a解析如图所示，设PQ与x轴成θ角，焦点F到准线的距离为eq\f(1,2a)，∴p＝eq\f(1,2a)－psinθ，∴p＝eq\f(1,2a1＋sinθ)，∴eq\f(1,p)＝2a(1＋sinθ)，q＝eq\f(1,2a)＋qsinθ，∴q＝eq\f(1,2a1－sinθ)，∴eq\f(1,q)＝2a(1－sinθ)，∴eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)＝4a.10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))解析因△PAB中，AB的长为定值，因此AB边上的高最小时，S△PAB的面积最小，平移直线AB使之与抛物线相切，此时两直线间的距离为P到AB距离的最小值．由题设条件得AB的方程为y＝3x－3.即3x－y－3＝0，设相切时直线方程为3x－y＋m＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y，3x－y＋m＝0))消去y得x2－3x－m＝0，Δ＝9＋4m∴m＝－eq\f(9,4)，进而求得x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(9,4).11.5或312.解析S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2＝eq\f(1,2)c·|y1|＋eq\f(1,2)c·|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标)，∴S△ABF2＝eq\f(1,2)c|y1－y2|≤eq\f(1,2)c·2b＝bc.答案bc13.解析设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，y＝x))整理得x2－2px＝0.又∵直线与抛物线交于A，B两点，∴xA＋xB＝2p.又eq\f(xA＋xB,2)＝2，∴2p＝4，即抛物线C的方程为y2＝4x.答案y2＝4x14.解析由题意知：－eq\f(p,2)＝－eq\r(a2－b2)①且eq\f(2b2,a)＝2p②由①②得：eq\f(b2,2a)＝eq\r(a2－b2)＝c，∴b2＝2ac，又a2＝b2＋c2∴a2＝2ac＋c2即e2＋2e∴e＝eq\r(2)－1.答案eq\r(2)－115.解析设A(x，y)(x>0，y>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，kAF＝\f(y,x－\f(p,2))＝\r(3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)p，x＝\f(3p,2).))∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(21),2)p.答案eq\f(\r(21),2)p16.解椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1的焦点为F1(0，－eq\r(13))，F2(0，eq\r(13))．离心率e＝eq\f(\r(13),7).∴双曲线的离心率eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，又∵c＝eq\r(13)，∴a＝3，∴b2＝c2－a2＝4，∴双曲线方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝117.解(1)由题意知：2a＝6,2c＝4eq\r(2)，∴b2＝a2－c2＝9－8＝1，且焦点在x轴上，∴椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)当∠F2F1M＝eq\f(π,4)时，直线MN的斜率k＝1.又F1(－2eq\r(2)，0)，∴直线MN的方程为y＝x＋2eq\r(2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋y2＝1，y＝x＋2\r(2)))得：10x2＋36eq\r(2)x＋63＝0.若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(18\r(2),5)，x1x2＝eq\f(63,10).∴|MN|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(6,5).即|MN|的长为eq\f(6,5).18.解(1)设动点P的坐标为(x，y)，则点Q(0，y)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－x,0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)－x，－y)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2－2＋y2，由于eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))2，所以x2－2＋y2＝2x2，即动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.(2)设直线m：y＝k(x－eq\r(2))(0<k<1)，依题意，点C在与直线m平行且与m之间的距离为eq\r(2)的直线上，设此直线为m1：y＝kx＋b，由eq\f(|\r(2)k＋b|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，得b2＋2eq\r(2)kb＝2.①把y＝kx＋b代入y2－x2＝2，整理，得(k2－1)x2＋2kbx＋(b2－2)＝0.则Δ＝4k2b2－4(k2－1)(b2－2)＝0，即b2＋2k2＝2.②由①②得k＝eq\f(2\r(5),5)，b＝eq\f(\r(10),5)，此时，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2\r(5),5)x＋\f(\r(10),5)，y2－x2＝2))⇒C(2eq\r(2)，eq\r(10))．19.解设直线AB的方程为y＝－eq\f(1,4)x＋n，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x＋n，\f(x2,2)＋\f(y2,3)＝1))消去y得25x2－8nx＋16n2－48＝0.∵AB与椭圆有两公共点A、B，∴方程有两实根，∴Δ>0，即n2<eq\f(25,8).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8n,25)，设AB中点M(x0，y0)，则x0＝eq\f(4,25)n，y0＝－eq\f(1,4)x0＋n＝eq\f(24,25)n.即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,25)n，\f(24,25)n))，又点M在直线y＝4x＋m上，∴eq\f(24,25)n＝eq\f(16n,25)＋m，∴n＝eq\f(25,8)m，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\