【优化方案】2020-2021学年高一下学期数学(必修3)第三章3.3.1课时作业

[学业水平训练]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本大事都具有等可能性B．几何概型中大事发生的概率与它的位置或外形无关C．几何概型在一次试验中可能毁灭的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．(2022·高考北京卷)设不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2，))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)解析：选D.平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为eq\f(4－π,4).3．在2022年五一劳动节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台马上乘上车的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,11) D.eq\f(9,10)解析：选C.记“乘客到达站台马上乘上车”为大事A，则A所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为11分钟，故由几何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(1,11).4．在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()A．1－eq\f(π,8) B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,2) D．1－eq\f(3π,4)解析：选B.函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求大事的概率为P＝eq\f(2π×2π－π3,2π×2π)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4)，故选B.5．(2021·高考湖南卷)已知大事“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：选D.由于满足条件的点P发生的概率为eq\f(1,2)，且点P在边CD上运动，依据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的eq\f(1,4)分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).6．(2022·西安质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点，则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是______．解析：设正方体的棱长为a，则所求概率P＝eq\f(VA1－ABC,VABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)a2·a,a3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．解析：记“射线OA落在∠xOT内”为大事A.构成大事A的区域最大角度是60°，全部基本大事对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．(2021·高考湖北卷)在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________．解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，冲突，舍去．当2<m<4时，由题意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值为3.答案：39．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8eq\r(2)的概率．解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP3个，所以组成直角三角形的概率为eq\f(3,10).(2)连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，易求得OD＝2eq\r(2)，当S点在线段MP上时，S△ABS＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×8＝8eq\r(2)，所以只有当S点落在阴影部分时，△SAB面积才能大于8eq\r(2)，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×42－eq\f(1,2)×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8eq\r(2)的概率为eq\f(4π－8,8π)＝eq\f(π－2,2π).10．(2022·潍坊高一检测)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设大事A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是a≥b.(1)全集Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)}，其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b的取值，大事A＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)}，故P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，而构成A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，如图所示的阴影部分，所以P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).[高考水平训练]1．(2022·郑州六校联考)如图，扇形AOB的半径为1，圆心角为90°，点C，D，E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，OE，从图中全部扇形中随机取出一个，面积恰为eq\f(π,8)的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：选A.题图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为eq\f(π,8)的扇形(即相应圆心角恰为eq\f(π,4)的扇形)共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于eq\f(3,10).2．如图，正方形OABC的边长为2.(1)在其四边或内部取点P(x，y)，且x，y∈Z，则大事“|OP|>1”的概率为________．(2)在其内部取点P(x，y)，且x，y∈R，则大事“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于eq\f(2,3)”的概率是________．解析：(1)在正方形的四边和内部取点P(x，y)，且x，y∈Z，全部可能的大事是(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有n＝9个，其中满足|OP|>1的大事是(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有m＝6个，所以满足|OP|>1的概率为P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).(2)在正方形内部取点，其总的大事包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于eq\f(2,3)，应当三角形的高大于eq\f(2,3)，所以这个区域为每个边长从两端各去掉eq\f(2,3)后剩余的正方形，其面积为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，所以满足条件的概率为eq\f(\f(4,9),4)＝eq\f(1,9).答案：(1)eq\f(2,3)(2)eq\f(1,9)3．2021年度世界新闻人物——斯诺登，他揭露了美国的监听丑闻．国家平安机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发觉30min长的磁带上在开头录音的1min内从第30s后的某一时刻开头，有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发觉，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从今处起往后的全部内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A发生就是在0到eq\f(2,3)min时间段内按错键．P(A)＝eq\f(\f(2,3),30)＝eq\f(1,45).4．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M分别是AB的中点．一只苍蝇在几何体ADF­BCE内自由飞行，求它飞入几何体F­AMCD内的概率．解：由