《导学案》2021版高中数学(人教A版必修5)教师用书：1.4应用举例(一)-讲义-

第4课时应用举例(一)1.把握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义.2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.3.学会解三角形应用题的一般步骤.重点、难点:用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.中国的“海洋国土”面积约300万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显.近几年,我国海军先后参与了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开头走出近海,深化远海进行演习,实力在不断增加,为护卫我们的“蓝色国土”供应了坚实的保障.2005年7月11日,是中国宏大航海家郑和下西洋600周年纪念日.2005年4月25日,经国务院批准,将每年的7月11日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日固定下来,海洋强国正成为13亿华夏儿女的共同幻想.问题1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经格外先进.在较早时期,人们在海上航行时,定位船只的方法通常是依据方位角、方向角和距离来进行的.那么何为方位角、方向角呢?方位角:从正北方向顺时针到目标方向线的水平角;方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角.此外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角——在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角和仰角——在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角,这些是测量中的常用的名词,在我们的学习中也会经常毁灭.

问题2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些?(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;

(2)R为△ABC外接圆的半径,则sinA=

,sinB=

,sinC=

;

(3)余弦定理的推论可以用式子表示为cosA=

,cosB=

,cosC=

.

问题3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤?分如下四个步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图.

(2)建模:依据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题.

(3)求解:利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解.

(4)检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.

问题4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的?应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是依据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,通过解这些三角形,从而使实际问题得到解决.解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意图,要理解好应用题中有关的名词、术语,如坡角、仰角、俯角、方位角等,要留意解的实际意义以及题目中给出的精确度.

留意数学思想方法在本课时中的应用:(1)化归与转化思想,即将实际问题抽象概括,转化为解三角形的问题;(2)方程思想,即在三角形中应用正、余弦定理列方程求解;(3)函数思想,题目中涉及最值问题的往往需要考虑建立函数解析式求最值.1.若P在Q的北偏东44°50',则Q在P的().A.东偏北45°10'B.东偏北45°50'C.南偏西44°50' D.南偏西45°50'【解析】依据P在Q的北偏东44°50',可以推断Q在P的南偏西44°50',故选C.【答案】C2.一船向正北航行,观看正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,连续航行半小时后,观看一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的航行速度是每小时().A.5海里 B.5海里C.10海里 D.10海里【解析】如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10(海里),在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是=10(海里/小时).【答案】C3.在直径为30m的圆形广场中心上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照到整个广场,则光源的高度为m.

【解析】轴截面如图,则光源高度h==5(m).【答案】54.在同一平面内,在A处测得B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,求B、C间的距离.【解析】依据题意得:∠BAC=120°,AB=2,AC=3,∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos120°=19,∴BC=.利用正、余弦定理求解距离问题如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.【方法指导】要求A,B之间的距离,可以在△ABC或△ADB中找关系,但不管在哪个三角形中,AC(BD),BC(AD)这些量都是未知的,需要依据已知条件找出合适的关系式,求出它们的值,剩下的只需解三角形即可.【解析】在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴AC=CD=.在△BDC中,∵∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,由正弦定理,可得BC==2sin(30°+45°)=2sin30°cos45°+2cos30°sin45°=.在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,∴AB2=()2+()2-2×××cos75°=5+-(3+)(cos30°cos45°-sin30°sin45°)=5故两目标A,B间的距离为千米.【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法.(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用格外广泛的“三角网”测量方法的原理,其中AB可视为基线.(3)计算方法:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=.同理cos75°=.熟记后可直接应用.利用正、余弦定理求解高度问题如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20m,求山高CD.【方法指导】过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,在△AEC中建立关系.【解析】如图,过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,设CD=xm,则AE=(x-20)m,∵tan60°=,∴BD===x(m).在△AEC中,x-20=x,解得x=10(3+)m.故山高CD为10(3+)m.【小结】(1)测量高度时,要精确     理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.利用正、余弦定理求解角度问题在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发觉在北偏东45°方向,相距12nmile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进,若侦察艇以每小时14nmile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.【方法指导】构造要进行计算的△ABC,利用时间表示出三角形的另外两边,依据余弦定理可以求解出三角形的三边,再依据正弦定理可以计算α的正弦值.【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.依据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.依据正弦定理得=,解得sinα==.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义.(2)在解应用题时,理清已知与所求,再依据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,在解题过程中也要留意体会正、余弦定理综合使用的特点.某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A动身有一条南偏东35°走向的大路,在C处测得与C相距31km的大路上的B处有一人正沿此大路向A走去,走了20km后到达D处,此时测得CD距离为21km,求此人在D处距A的距离.【解析】如图,∠CAD=25°+35°=60°.在△BCD中,由余弦定理,得cosB===.故sinB=.在△ABC中,由正弦定理,得AC===24.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos即312=AB2+242-2×AB×24cos60°,∴AB2-24AB-385=0,解得AB=35或AB=-11(舍去),∴AD=AB-BD=15(km).故此人在D处距A还有15如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.【解析】在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得=,所以BC==.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心马上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,求cosθ.【解析】如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=20.由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=×-×=.或由cosθ=sinB及正弦定理有sinB=·sin120°=×=.1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为().A.α>βB.α=βC.α+β=90° D.α+β=180°【解析】依据仰角与俯角的定义可知α=β.【答案】B2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观看站C的距离都等于akm,灯塔A在观看站C的北偏东20°,灯塔B在观看站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为().A.akm B.akmC.akm D.2【解析】由题意知∠ACB=120°,AC=BC=a.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×(-)【答案】B3.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10nmile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是nmile.

【解析】在△ABC中,由正弦定理可得=,即BC===5.【答案】54.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°,且A、B两点之间的距离为60m,求树的高度h.【解析】由正弦定理得:=,∴PB=,∴h=PBsin45°=(30+30)m.(2021年·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲动身2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问乙动身多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?【解析】(1)在△ABC中,由于cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.从而sinB=sin[π-(