【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：4.3-平面向量的数量积-

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十五)平面对量的数量积(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.△ABC中A(2,1),B(0,4),C(5,6),则=()A.7 B.8 C.9 【解析】选C.由已知得=(-2,3),=(3,5),所以=-2×3+3×5=9.2.(2021·厦门模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b()A.-π4 B.π6 C.π4【解析】选C.由于2a+b=(3,3),a-b=设2a+b与a-b的夹角为α所以cosα=QUOTE(2a+b)·(a-b)|2a+b||a-b|=932·3=2又α∈[0,π],故α=π43.(2021·滨州模拟)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=()A.-3 B.-2 C.-1 D.1【解题提示】利用坐标表示a+2b,再利用垂直条件得方程求解.【解析】选A.由已知得a+2b=(,3),故(a+2b)·c=(,3)·(k,)=k+3=0.解得k=-3.【加固训练】已知平面对量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当m=1时,(a-b)·a=a2-a·b=1-1×2×cos60°=0,故(a-b)⊥a;反之当(a-mb)⊥a时,有(a-mb)·a=a2-ma·b=1-m·(1×2×cos60°)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)⊥a”的充要条件.4.(2021·铜陵模拟)如图,在圆C中,点C是圆心,点A,B在圆上,AB→·值()A.只与圆C的半径有关B.只与弦AB的长度有关C.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【解析】选B.如图,作CM⊥AB,则M是AB的中点,AB→·AC→=|AB→||AC→|cos∠CAM=|AB→|5.(2021·宁德模拟)在△ABC中,∠A=120°,=-1,则||的最小值是()A. B.2 C. D.6【解析】选C.由当且仅当时等号成立.所以||≥,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·江西高考)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=13,若向量a=3e1-2e2,则|a|=【解析】a·a=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4=9-12×13+4=9,故|a答案:37.在平面直角坐标系xOy中,已知则实数λ的值为.【解析】由已知得=(-3,3),设C(x,y),则=-3x+3y=0,所以x=y.=(x-3,y+1).又,即(x-3,y+1)=λ(0,2),所以由x=y得,y=3,所以λ=2.答案:28.(2021·东营模拟)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为.【解析】由|a+b|=|a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以(a+b)·a=a2+a·b=|a|2.故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为cosθ==.又0≤θ≤π,所以θ=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知平面对量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值.(2)若a∥b,求|a-b|.【解析】(1)由a⊥b得,2x+3-x2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得x=3或x=-1.(2)由a∥b,则2x2+3x+x=0,即2x2+4x=0,得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0).此时|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),则a-b=(2,-4).故|a-b|=10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+(1)求a与b的夹角θ.(2)求|a+b|.(3)若=a,=b,求△ABC的面积.【解析】(1)由于(2a-3b)·(2a+所以4|a|2-4a·b-3|b|2又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b所以a·b=-6,所以cosθ=又0≤θ≤π,所以θ=π.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)由于的夹角θ=π,所以∠ABC=又||=|a|=4,||=|b|=3,所以(20分钟40分)1.(5分)在△ABC中,AB=4,AC=3,=1,则BC=()【解题提示】利用已知条件,求得夹角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】选D.设∠A=θ,由于,AB=4,AC=3,所以2.(5分)(2021·太原模拟)在△ABC中,设那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【解析】选C.假设BC的中点是O,则即所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【加固训练】(2021·兰州模拟)若△ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且=0,则△ABC确定是()A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形C.等边三角形 D.钝角三角形【解析】选C.由于所以=0,即,又A,B,C度数成等差数列,故2B=A+C,又A+B+C=π,所以2B=π-B,所以3B=π,B=,故△ABC是等边三角形.3.(5分)(2021·日照模拟)已知a=(2,-1),b=12,λ,则“向量a,b的夹角为锐角”是“λ<1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若向量a,b的夹角是锐角,则a·b=1-λ>0,且a与b不共线同向,即λ<1且λ≠-14故“向量a,b的夹角为锐角”⇒“λ<1”,反之不成立.所以选A.4.(12分)已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).(1)若的值.(2)若=1,其中O为坐标原点,求sinθ·cosθ的值.【解析】由于A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ),所以=(2sinθ-1,cosθ),=(2sinθ,cosθ-1).(1)所以化简得2sinθ=cosθ,所以tanθ=,所以(2)=(2sinθ,cosθ),所以=(1,2),由于=1,所以2sinθ+2cosθ=1.所以(sinθ+cosθ)2=,所以sinθ·cosθ=-.5.(13分)(力气挑战题)已知平面对量a,b满足|a|=,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.(2)若对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角.【解析】(1)由于|a|=,|b|=1,|a-b|=2.所以|a-b|2=4,即a2-2a·b+b2=4,2-2a·b+1=4,所以a·b=-.设a与b的夹角为θ(2)令a与b的夹角为θ.由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0,由于|a|=,|b|=1,所以(x2-1)+(2x-2)cosθ≥0,当x=1时,式子明显成立;【一题多解】本题(2)