中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题06 一元二次方程及其应用（解析版）

专题06一元二次方程及其应用中考命题解读中考命题解读一元二次方程是历年中考的必考内容，在中考中一般为2-3道题，分值为10-16分，常见直接单独考查其解法，也会与不等式、函数等知识结合在一起考查根的判别式及简单的根与系数关系运用等，这部分内容常与直角三角形、菱形、垂径定理等融会，利用一元二次方程解决实际问题是历年中考的高频考点。考标要求考标要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．3．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．4．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．考点精讲考点精讲考点1：一元二次方程（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。考点2：一元二次方程的解法（1）直接开平方法：①当方程的一次项位0时，即方程ax²+c=0(a≠0，ac＜0）②形如（x+m)²=n,(n≥0）的方根（2）配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．（3）公式法：用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。考点3：一元二次方程的判别式：①时，方程有两个不相等的实数根；②时，方程有两个相等的实数根；③时，方程无实数根，反之亦成立考点4：一元二次方程的根与系数：根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如考点5：一元二次方程的应用（1）变化率问题：设基准数为a，两次增长（或下降）后为b；增长率（下降率）为x，第一次增长（或下降）后为；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为²=b。（2）传染、分裂问题有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?设每轮传染中平均一个人传染了x个人：（3）握手、比赛问题握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。（4）销售利润问题：①常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；②每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为（5）几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则（6）动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.母题精讲母题精讲【典例1】（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1【答案】D【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．【典例2】（2020•黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人．【答案】10【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．依题意，得1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．答：每轮传染中平均每人传染了10人．【典例3】（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．【答案】（11﹣2x）（7﹣2x）＝21【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21 【典例4】（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【典例5】（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：，解得：，故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）；（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【典例6】（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形绿地面积为1500m2．【典例7】（2022•南岸区自主招生）北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量．【解答】解：（1）依题意得：第二周每个纪念品的销售利润为（10﹣m﹣6）＝（4﹣m）元，销售量为（200+50m）个，∴这批纪念品第二周的销售利润为（4﹣m）（200+50m）元．（2）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）＝1400，整理得：m2﹣4＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣2（不符合题意，舍去），∴10﹣m＝10﹣2＝8．答：第二周每个纪念品的售价为8元．（3）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）+[（10﹣m）×（1﹣20%）﹣6][600﹣200﹣（200+50m）]＝1730，整理得：m2+26m﹣27＝0，解得：m1＝1，m2＝﹣27（不符合题意，舍去），∴600﹣200﹣（200+50m）＝600﹣200﹣（200+50×1）＝150．答：这批纪念品第三周的销售数量为150个．真题精选真题精选命题1命题1一元二次方程的解法1．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故选：B．2．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．【答案】x1＝2，x2＝﹣7【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，x﹣2＝0或x+7＝0，x1＝2，x2＝﹣7，故答案为：x1＝2，x2＝﹣7．3．（2021•兰州）解方程：x2+4x﹣1＝0．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0∴x2+4x＝1∴x2+4x+4＝1+4∴（x+2）2＝5∴x＝﹣2±∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．命题2命题2一元二次方程根的判别式4．（2022•郴州）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【解答】解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：A．5．（2022•兰州）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，解得k＝﹣1．故选：B．6．（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【答案】B【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．命题3命题3一元二次方程的实际应用7．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（）A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50【答案】A【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，由题意得，30（1+x）2＝50．故选：A．8．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：B．9．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【答案】A【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，故选：A．10．（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【答案】D【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故选：D．11．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？【解答】解：设增加了x行，则增加的列数为x列，根据题意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，整理，得：x2+14x﹣51＝0，解得x1＝3，x2＝﹣17（舍），答：增加了3行3列．12．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧