中考数学总复习《图形的旋转》专项检测卷含答案

第第页中考数学总复习《图形的旋转》专项检测卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．解答题（共30小题）1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A、B、C．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）在x轴上是否存在一个点P使得PA+PC最小，若存在写出点P坐标，若不存在请说明理由．2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），点D为AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E，点P为x轴上一动点，点P关于DE的对称点为点Q，连接DP、DQ、AQ．（1）点B的坐标为；（2）若点P的坐标为（﹣2，0），延长PD交AQ于点F．当PF⊥AQ时，求点D的坐标；（3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以AP为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，AO＝BO，AB＝10．点C为AB的中点，点D为OB上一点．（1）如图（1），将线段AD绕点A逆时针旋转135°，得到线段AE．①求证：∠BAE＝∠BDA．②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接BE，AQ．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有AQ＝BE成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．（2）如图（2），过点C作CD的垂线，交y轴于点F．连接BF，DF．若∠OBF＝2∠ACF，请写出AF，FB，BD的数量关系，并证明．4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），a是36的算术平方根，将线段OA先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段CB，连接OC，AB．（1）求A、B、C的坐标；（2）如图1，点D是y轴上的一动点，且位于直线BC上方，当∠DCB＝152°时，求此时∠ODC的度数．（3）如图2，点M，N分别是x轴和线段BC上的两个动点，点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时，点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点匀速运动．设运动时间为t秒（0≤t≤12），在运动过程中，记三角形ACM的面积为S1，记三角形ABN的面积为S2，是否存在一段时间，使得S1＞S2，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．5．已知两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°），且点E，F不能同时落在直线AB和CD之间．（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，则∠FGC的度数为；（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，AB与EF相交于点M，且所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在∠FGC＝11∠DGE（∠DGE＜45°）？若存在，请求出射线GF与AB所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），且a，b满足|2a+5b−4|+3a−2b+13=0，现将线段AB先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到线段CD，其中点A的对应点为C，点B的对应点为D，连接AC，（1）请直接写出A，B两点的坐标．（2）如图2，M是线段AC上的一个动点，N是线段CD上的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段AC上移动时（不与点A，C重合），∠MNC+∠AOM∠OMN（3）在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b满足|a−4|+a−b+2（1）请直接填空：a＝，B点坐标为；（2）点C（x，y）是线段AB上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）；（3）如图2，将直线AB沿x轴向左平移，当平移后的直线DE经过点D（﹣2，0），点D是点A的对应点时，解决如下问题：①在直线DE上是否存在点P，使得三角形ADP的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；②已知Q（m，n）是直线DE上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形BOQ的面积不大于9，求n的取值范围．8．如图，已知∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s；P、Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t（s）．（1）当点P在MO上运动时，PO＝cm（用含t的代数式表示）；（2）当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的角平分线吗？如果是请说明理由．（3）在射线OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，请求出t的值并求出此时∠BOC的度数；若不存在，请说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，点D是BC的中点，直线l经过点A且在AC右侧．点C关于直线l的对称点为点E，∠BAE＜180°．连接BE交线段AD于点F，连接CF．（1）求证：BF＝CF；（2）若∠CBE＝30°，探究线段AF，DF，EF的数量关系；（3）在直线l绕点A旋转的过程中，是否存在CF⊥EF的情形？若存在，求此时∠ACE的度数；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，B（18，6），将矩形ABCO沿EF折叠，使点A与点C重合．（1）求点E的坐标；（2）点P从点O出发，沿折线OA﹣AE以每秒2个单位长度的速度运动，到达终点E时停止运动，设点P的运动时间为t（秒），△PCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AE上，且PA=32PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使得以点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点11．在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片ABCD进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为DE，请同学们在图1的基础上进行探究．【操作发现】（1）如图2，小明延长DF交射线AB于点G，连接CF，过点D作CF的垂线，交AB的延长线于点M，则线段DG与MG的数量关系是．【深入探究】（2）如图3，小华在图2的基础上延长CF，交DA的延长线于点H，在图3中是否存在一条线段与AH相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由．【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若正方形纸片ABCD的边长为4，当BG=14AB12．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图13.5.1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA，PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图1，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB．分析图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．（1）以上是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，请结合以上分析、利用图2写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）定理应用：如图3，在△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线交AB与点N，交AC于点M，连接MB，若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长；②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosA=45，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，（1）如图1，当点A′'落在AC的延长线上时，求AA′的长；（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；（3）如图3，连接AA′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最大值？若存在，直接写出DE的最大值；若不存在，请说明理由．14．如图，在△ABC中，点H为AB边上的一点，AH＝15，CH＝8，AC＝17，BH＝6．（1）试说明CH⊥AB；（2）求BC的长；（3）直线AB上是否存在一点E，使△BCE为等腰三角形．若存在，请直接写出此时线段HE的长度；若不存在，请说明理由；（4）如图1，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB方向运动，设运动时间为t秒（t＞0），现把△ACH沿着直线CP翻折，请直接写出当t为何值时，点H翻折后的对应点H′恰好落在直线AC上．15．九年级数学小组以“等腰直角三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．【提出问题】如图1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，连接CD、AE，通过探究得到AE、CD存在某种数量关系，具体探究过程如下：【探究问题】（1）将图1“特殊化”，如图2所示，当点D在BC的延长线上，请直接写出此时AE、CD数量的关系为．【解决问题】（2）将问题“一般化”，如图1所示，在探索中发现，将△BDE绕点B旋转过程中，AE、CD数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小组完成解答过程；【扩展应用】（3）如图3，△ABC和△BPM均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠BPM＝90°，AC=BC=2，点P在AC上，试问：MA+MB16．定义：在平面直角坐标系xOy中，将点P（x，y）变换为P′（kx+b，by+k）（k，b为常数），我们把这种变换称为“T变换”．（1）当k＝1，b＝2时，点P（1，2）经过“T变换”得到的点P′的坐标为；（2）已知点A（2，1），B（a﹣b，c+32a），C（6﹣2b，−c4−12)经过“T变化”的对应点分别是A′（4，3），B′（﹣2﹣2①求出B′、C′的坐标；②是否存在x轴上点Q，使得△AB′C′的面积是△QBC′面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；③已知M（2m，3﹣2m），N（n﹣1，﹣2n﹣3），MN⊥BC′且MN＝2BC′．直接写出点M、N的坐标．17．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数9，且a、b满足|a+3|+（b﹣1）2＝0；（1）a＝，b＝；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A、B、C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒后，AB＝BC，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．18．已知A（﹣1，0），B（a，b），C（1，4），其中(a−2)（1）求点B的坐标．（2）在x轴正半轴上找一点P，使以A，C，P三点为顶点的三角形的面积为10．（3）在（2）的条件下，连接PB，在直线PB上，是否存在点D，使得三角形ABD的面积是三角形ACP面积的2倍？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：可用坐标的平移来求点D的坐标）19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线AC运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）把△ABC沿着过点P的直线折叠，使点A与点B重合，请求出此时t的值；（2）是否存在t值，使得△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出结果；若不存在，请说明理由；（3）现把线段BC沿着直线BP翻折，当t为何值时点C恰好落在直线AB上．20．△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°）、把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝；（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．①连接AP，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②若BP＝8，CP＝t，连接CA′，并求出CA′的长．（用含t的式子表示）21．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，C的对应点分别为N，M．（1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，求BN的长；（2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°转得到△ANM，延长BC交AN于点D，连接BN并延长BN至点F，使得FN＝AD，连接DF，连接AF交MN于点H，猜想线段HN，MH，CD之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，连接BN，CM，直线CM交BN于点G，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，在旋转过程中，GR是否存在最小值？若存在，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由．22．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB＝6，AD＝4，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D为射线CA上一动点，连接BD，做BD的中垂线交边AB于E，作EF⊥AC交边AC于F，设BE＝x，DF＝y．（1）是否存在△ABC使得当点D为AC中点时点E为AB中点，若存在，请求出tanA，若不存在，请说明理由；（2）若tanA＝2，当点D与点C重合时，将△AEF绕点A顺时针旋转，点E，F的对应点分别为M，N；当点E落在射线BC上时，连接CN，求CN的长；（3）若tanA=3，当点D在边CA上时，求y关于x24．综合与实践[问题情境]为了探究图形旋转过程中蕴含的数学知识，老师让每位同学画了如图1所示的图形，△ABC，使∠A＝60°，AB＝AC＝3，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．[实践探究]老师让同学们探究：将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），探究在旋转的过程中，能有哪些发现？经过思考和讨论王聪和李倩向同学分享了自己的发现．（1）如图2，王聪发现：当0°＜α＜180°时，CE＝BD．请你判断王聪的发现是否正确，若正确给出证明，若不正确，说明理由．（2）如图3，李倩发现：当α＝60°时，延长CE交BD于点F，能求出∠DFC的度数．你是否同意李倩的发现，若同意，请求出∠DFC的度数，若不同意，说明理由．[拓展延伸]张强经过探究思考，提出一个问题：“在旋转的过程中，△BCE的面积的是否存在最大值或最小值．”请你思考张强的问题，若有，写出此时旋转角α的度数和面积的值，若没有，请说明理由．25．在七年级的平行线性质与判定的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题：初步感知：问题1：将上述三角板的直角顶点重合在一起，如图2所示，当CE∥AB时，则∠BCF＝°；问题2：如图3，当CA平分∠ECF时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由．深度探究：问题3：将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A、B在直线GH上，点D、F在直线MN上，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，且0≤t≤60，是否存在t的值，使边BC与另一块三角板DEF的一条直角边平行，若存在请求出t的值；若不存在请说明理由．问题4：将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，使点F在直线BC上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若∠BCF的度数最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝°．26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC，交A′B于点M，求BM的长；（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．27．如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上，点A（﹣4，0），点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置．（1）点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求△PCD的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，是否存在点P，使得△ACP的面积为492，若存在，求出点P28．如图1，直线MN分别交直线AB，CD于E，F两点，且∠AEF+∠NFD＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，已知∠FEG＝2∠BEG，∠EFG＝2∠DFG．EK，FK分别为∠AEF，∠CFE的角平分线．①求∠EKF∠EGF②已知∠MEB＝72°，射线KE绕点K以18°/s的速度逆时针方向旋转至KE'，同时射线KF绕点K以m°/s（0＜m＜17.5）的速度顺时针方向旋转至KF'，设旋转时间为ts，其中0＜t＜17，在旋转过程中，是否存在∠E'KF'的两边恰好分别平行于∠EGF的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．29．已知△ABC和△BDE都是等边三角形．（1）如图1，点D在AB边上，连接AE、CD．求证：△ABE≌△CBD；（2）如图2，将△BDE绕点B顺时针旋转，当点E落在∠BAC的平分线AP上（在△ABC的内部），连接CD，求此时∠BCD的度数；（3）如图3，F是AC的中点，若等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，△BDE绕点B旋转过程中是否存在某一时刻，使得线段DF的长度最小？若存在，求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．30．如图1，在矩形ABCD中，E是线段AD上一点，作EG⊥AD交对角线BD于点G，设AE＝x，DG＝y，若∠ADB＝30°，BD＝m，将△DGE沿BD折叠得到△DGF．（1）当m＝6时，求y关于x的表达式，并求出x的取值范围．（2）在（1）的条件下，矩形BC边上是否存在一点M，使得以B，G，F，M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，当F在∠CBD的角平分线上时，此时x−y2=参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A、B、C．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）在x轴上是否存在一个点P使得PA+PC最小，若存在写出点P坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）根据中心对称的性质，画出△A1B1C1，进而写出点C1的坐标即可；（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，A′C与x轴的交点即为点P，求出直线A′C的解析式，进而求出点P的坐标即可．．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，由图可知：C1（﹣2，﹣1）；（2）存在；作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，A′C与x轴的交点即为点P，则C（2，1），A′（5，﹣4），设直线A′C的解析式为y＝kx+b（k≠0），则2k+b=15k+b=−4解得k=−5∴直线A′C的解析式为y=−5∴当y＝0时，−5解得x=13∴P(13【点评】本题考查坐标与图形变换，中心对称和轴对称，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握中心对称和轴对称的性质是解题的关键．2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），点D为AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E，点P为x轴上一动点，点P关于DE的对称点为点Q，连接DP、DQ、AQ．（1）点B的坐标为（1，0）；（2）若点P的坐标为（﹣2，0），延长PD交AQ于点F．当PF⊥AQ时，求点D的坐标；（3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以AP为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）首先根据∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），得AC＝BC＝5，OC＝6，进而得OB＝OC﹣BC＝1，据此可得点B的坐标；（2）设PF于AC交于点H，先证∠DAQ＝∠ADQ，从而得AQ＝DQ＝PD，进而可证△ACQ和△PED全等，从而得AC＝PE＝5，然后根据点P（﹣2，0），点B（1，0），得OP＝2，OB＝1，则OE＝PE＝OP＝3，BE＝OE﹣OB＝2，最后证△BDE为等腰直角三角形，得DE＝BE＝2，据此可得点D的坐标；（3）过点A作AN⊥OM轴于点N，证△POM和△MNA全等，得OP＝MN，OM＝AN，再证四边形ACON为矩形，得AN＝6，ON＝5，由此可求出OP＝MN＝OM﹣ON＝1，据此可得点P的坐标．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），∴AC＝BC＝5，OC＝6，∴OB＝OC﹣BC＝6﹣5＝1，∴点B的坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．（2）设PF于AC交于点H，如图1所示：∵PF⊥AQ，∠ACB＝90°，∵∠CAQ+∠AHF＝90°，∠1+∠3＝90°，又∵∠AHF＝∠3，∴∠CAQ＝∠1，∵点P，Q关于DE对称，∴PD＝DQ，∴∠1＝∠2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAQ＝∠BAC+∠CAQ＝45°+∠1，∵∠ADQ＝∠ABC+∠2＝45°+∠1，∴∠DAQ＝∠ADQ，∴AQ＝DQ，∴AQ＝PD，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴∠QCA＝∠DEP＝90°，在△ACQ和△PED中，∠CAQ=∠1∠QCA=∠DEP=90°∴△ACQ≌△PED（AAS），∴AC＝PE＝5，∵点P（﹣2，0），点B（1，0），∴OP＝2，OB＝1，∴OE＝PE＝OP＝5﹣2＝3，∴BE＝OE﹣OB＝3﹣1＝2，∵DE⊥BC，∠ABC＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE＝BE＝2，∴点D的坐标为（3，2）；（3）存在．∵点M在y轴上，∴有以下两种情况讨论如：①当点M在y轴的正半轴上时，过点A作AN⊥OM轴于点N，如图2所示：∵△AMP是以AP为斜边的等腰直角三角形，∴PM＝AM，∠AMP＝90°，∴∠AMN+∠PMO＝90°，∵AN⊥OM，∴∠MAN+∠AMN＝90°，∴∠PMO＝∠MAN，∵AN⊥OM，PO⊥OM，∴∠POM＝∠MNA＝90°，在△POM和△MNA中，∠PMO=∠MAN∠POM=∠MNA=90°∴△POM≌△MNA（AAS），∴OP＝MN，OM＝AN，∵∠ACB＝90°，∠CON＝90°，AN⊥OM，∴四边形ACON为矩形，又∵点A（6，5），∴AN＝6，ON＝5，∴OM＝AN＝6，∴OP＝MN＝OM﹣ON＝6﹣5＝1，∴点P的坐标为（﹣1，0）．②当点M在y轴的正半轴上时，过点A作AN⊥OM轴于点N，如图3所示：同理可证：OM＝AN＝6，ON＝5，∴OP＝MN＝OM+ON＝6+5＝11，∴点P的坐标为（﹣11，0）．综上所述：点P的坐标为（﹣1，0）或（﹣11，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．3．在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，AO＝BO，AB＝10．点C为AB的中点，点D为OB上一点．（1）如图（1），将线段AD绕点A逆时针旋转135°，得到线段AE．①求证：∠BAE＝∠BDA．②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接BE，AQ．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有AQ＝BE成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．（2）如图（2），过点C作CD的垂线，交y轴于点F．连接BF，DF．若∠OBF＝2∠ACF，请写出AF，FB，BD的数量关系，并证明．【分析】（1）①证出∠BDA＝135°﹣∠BAD．∠BAE＝135°﹣∠BAD，则可得出结论；②作点D关于点O的对称点K，连接AK，证明△AKQ≌△EAB（SAS），得出AQ＝BE．则可得出结论；（2）连接OC，取点D关于y轴的对称点M，连接FM．证明△ACF≌△OCD（ASA），得出CF＝CD，AF＝OD，△DCF为等腰直角三角形．证出BM＝BF，则可得出结论．【解答】（1）①证明：∵AO＝BO，∠AOB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∵∠BAD+∠ADB+∠BDA＝180°，∴∠BDA＝135°﹣∠BAD．又∵∠DAE＝135°∴∠BAE＝135°﹣∠BAD，∴∠BAE＝∠BDA．②解：存在，P（﹣5，0）．如图，作点D关于点O的对称点K，连接AK，∴AK＝AD＝AE，DK＝2OD，∴∠ADK＝∠AKD，∴∠AKQ＝∠ADB＝∠BAE．∵点D关于点P的对称点为Q，∴DQ＝2DP，∴KQ＝DQ﹣DK＝2DP﹣2DO＝2（DP﹣DO）＝2OP＝10，∴KQ＝AB，∴△AKQ≌△EAB（SAS），∴AQ＝BE．（2）解：FB＝2AF+BD．证明：连接OC，取点D关于y轴的对称点M，连接FM．由C为AB的中点，∴△AOC和△BOC都为等腰直角三角形．OC＝AC，又CD⊥CF，∴∠CAF＝∠OCD，∠ACF＝∠OCD，∴△ACF≌△OCD（ASA），∴CF＝CD，AF＝OD，△DCF为等腰直角三角形．∴∠ACF＝∠OCD．∵∠FOC＝∠FDC＝45°．∴∠OCD＝∠OFD，∵点D关于点P对称的点为Q，∴∠OFD＝∠OFM，∠FDM＝∠FMD，OM＝OD，∴∠MFD＝2∠OFD＝2∠OCD＝2∠ACF＝∠OBF，∵∠MFB＝∠MFD+∠BFD，∠FMB＝∠FDM＝∠OBF+∠BFD，∴∠MFB＝∠FMB，∴BM＝BF，∵BM＝2OD+BD，∴FB＝2AF+BD．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），a是36的算术平方根，将线段OA先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段CB，连接OC，AB．（1）求A、B、C的坐标；（2）如图1，点D是y轴上的一动点，且位于直线BC上方，当∠DCB＝152°时，求此时∠ODC的度数．（3）如图2，点M，N分别是x轴和线段BC上的两个动点，点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时，点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点匀速运动．设运动时间为t秒（0≤t≤12），在运动过程中，记三角形ACM的面积为S1，记三角形ABN的面积为S2，是否存在一段时间，使得S1＞S2，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由a是36的算术平方根，得a＝6，点A（6，0），由将线段OA先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段CB，得点C（1，5），点B（7，5）．（2）延长BC交y轴于H，由将线段OA先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段CB，得OA∥BC，OA＝BC，∠DHC＝∠DOA＝90°，∠DCH+∠DCB＝180°，由∠DCB＝152°，得∠DCH＝28°，故∠HDC＝90°﹣28°＝62°．即∠ODC＝62°．（3）存在，由点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点运动，得BN＝0.5t，故CN＝6﹣0.5t，S2=12×5BN=54t，由点M从点0出发，以每秒2个单位长度向右运动，得OM＝2t，当0≤t≤3时，AM＝6﹣2t，S1=12×5（6﹣2t）＝15﹣5t，由S1＞S2，得15﹣5t【解答】解：（1）∵a是36的算术平方根，∴a＝6，点A（6，0），∵将线段OA先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段CB，又点O（0，0），点A（6，0），∴点C（1，5），点B（7，5），故点A（6，0），点C（1，5），点B（7，5）．（2）延长BC交y轴于H，∵将线段OA先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段CB，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠DHC＝∠DOA＝90°，∠DCH+∠DCB＝180°，∵∠DCB＝152°，∴∠DCH＝28°，∴∠HDC＝90°﹣28°＝62°．即∠ODC＝62°．（3）存在，∵点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点运动，∴BN＝0.5t，∴CN＝6﹣0.5t，∴S2=12×5BN∵点M从点0出发，以每秒2个单位长度向右运动，∴OM＝2t，当0≤t≤3时，AM＝6﹣2t，∴S1=12×5（6﹣2t∵S1＞S2，∴15﹣5t＞54∴0≤t＜12当3＜t≤12时，AM＝2t﹣6，∵S1=12×5（2t∵S1＞S2，∴5t﹣15＞54.∴t＞4，综上所述，当0≤t＜125或4＜t≤12时，使得S1＞S【点评】本题考查了几何变换综合题，掌握算术平方根的性质，线段平移的性质，在运动中表示出面积，是解题关键．5．已知两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°），且点E，F不能同时落在直线AB和CD之间．（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，则∠FGC的度数为105°；（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，AB与EF相交于点M，且所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在∠FGC＝11∠DGE（∠DGE＜45°）？若存在，请求出射线GF与AB所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）依据题意，根据平行线的性质可得∠BEG＝∠EGC，即可求解．（2）依据题意，先求出∠EGC的度数即可求解．（3）依据题意，分两种情况进行讨论，点E在CD上方和在CD下方两种情况求解即可．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGC＝150°，∵∠FGE＝45°，∴∠FGC＝150°﹣45°＝105°．故答案为：105°．（2）由题意，过点E作EH∥AB，如图，∴EH∥AB∥CD，∴∠BME＝∠FEH＝25°，∠DGE＝∠HEG．∴∠FEG＝∠FEH+∠GEH＝∠BME+∠DGE＝45°，∴∠DGE＝45°﹣25°＝20°，∴∠FGC＝180°﹣45°﹣20°＝115°；（3）存在，有两种情况；①当点E在CD上方时，如图；∵∠FGC＝11∠DGE，∴∠DGE+11∠DGE+45°＝180°，∴∠DGE＝11.25°，∴射线GF与AB所夹锐角的度数为45°+11.25°＝56.25°．②当点E在CD下方时，如图；∵∠FGC＝11∠DGE，∴∠FGC+∠FGD＝180°，即11∠DGE+45°﹣∠DGE＝180°，∴∠DGE＝13.5°．∴射线GF与AB所夹锐角＝∠FGD＝45°﹣13.5°＝31.5°．综上所述射线GF与AB所夹锐角的度数为56.25°或31.5°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和旋转的性质，熟练掌握性质是解题关键．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），且a，b满足|2a+5b−4|+3a−2b+13=0，现将线段AB先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到线段CD，其中点A的对应点为C，点B的对应点为D，连接AC，（1）请直接写出A，B两点的坐标．（2）如图2，M是线段AC上的一个动点，N是线段CD上的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段AC上移动时（不与点A，C重合），∠MNC+∠AOM∠OMN（3）在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由．【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，即可求出答案；（2）过点M作直线ME∥AB，则∠AOM＝∠OME，再判断出∠MNC＝∠NME，即可得出结论；（3）先求出△ABD的面积，再分点P在x轴和y轴上两种情况，建立方程求解，即可得出答案．【解答】解：（1）∵|2a+5b−4|+3a−2b+13∴2a+5b﹣4＝0＝0，3a﹣2b+13＝0，∴a＝﹣3，b＝2，∴A（﹣3，0），B（2，0）；（2）∠MNC+∠AOM∠OMN理由：如图2，过点M作直线ME∥AB，∴∠AOM＝∠OME，∵线段CD由线段AB平移得到，∴AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠MNC＝∠NME，∴∠OMN＝∠OME+∠NME＝∠AOM+∠MNC，∴∠MNC+∠AOM∠OMN（3）依题意可得A（﹣3，0），B（2，0），C（0，2），D（5，2），∴S△ABD=12AB•yD①当点P在x轴上时，设点P（m，0），则S△PBC=12×|m∵S△PBC＝S△ABD，∴|m﹣2|＝5，∴m＝7或﹣3，∴P（7，0）或P（﹣3，0）；②当点P在y轴上时，设点P（0，n），S△PBC=12×|n∵S△PBC＝S△ABD，∴|n﹣2|＝5，∴n＝7或﹣3，∴P（0，7）或（0，﹣3）．综上所述，存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等，点P的坐标为（7，0）或（﹣3，0）或（0，7）或（0，﹣3）．【点评】此题主要考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．7．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b满足|a−4|+a−b+2（1）请直接填空：a＝4，B点坐标为（0，6）；（2）点C（x，y）是线段AB上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）；（3）如图2，将直线AB沿x轴向左平移，当平移后的直线DE经过点D（﹣2，0），点D是点A的对应点时，解决如下问题：①在直线DE上是否存在点P，使得三角形ADP的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；②已知Q（m，n）是直线DE上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形BOQ的面积不大于9，求n的取值范围．【分析】（1）由|a−4|+a−b+2=0．得a＝4，b＝6，故（2）由△OAB面积＝△AOC面积+△BOC面积得12×6×4=12×6x+12（3）①设P纵坐标为a，由△ADP面积=12a×DE＝18，得a＝6．当P在第二象限时，点A向左平移6个长度单位到点D，故P（﹣6，6）．当P在第三象限时，点B向下平移6个长度单位，再向右平移4个长度单位，故②过P作PM⊥x轴，连BD．设△BOQ的面积＝9，得12×6=9，故m＝±3．当Q位于第二象限时，即m＝﹣3时，△ADP面积＝△BPD面积＝梯形PMOB面积﹣△PMD面积﹣△BDO面积，得12×6n=12（n+6）×3−12×1×n−12×2×6，故n=32．当Q'位于第四象限时，即m＝3时，由△ADQ'面积＝△BDQ'面积＝梯形DHGB面积+△BCQ'面积﹣△DHG面积，得12×6×（﹣n）=12（﹣n【解答】解：（1）∵|a−4|+a−b+2∴a＝4，b＝6，∴B（0，6）．故答案为：4，（0，6）．（2）∵△OAB面积＝△AOC面积+△BOC面积，∴12×6×4=12×6∴y=−32（3）①设P纵坐标为a，∴△ADP面积=12a×∴12a∴a＝6．当P在第二象限时，点A向左平移6个长度单位到点D，∴P（﹣6，6）．当P在第三象限时，点B向下平移6个长度单位，再向右平移4个长度单位，∴P（2，﹣6）．综上所述，P（﹣6，6）或（2，﹣6）．②过P作PM⊥x轴，连BD．设△BOQ的面积＝9，∴12×6∴m＝±3．当Q位于第二象限时，即m＝﹣3时，∵AB∥ED，∴△ADP面积＝△BPD面积＝梯形PMOB面积﹣△PMD面积﹣△BDO面积，∴12×6n=12（n+6）×3−∴n=3当Q'位于第四象限时，即m＝3时，∵△ADQ'面积＝△BDQ'面积＝梯形DHGB面积+△BCQ'面积﹣△DHG面积，∴12×6×（﹣n）=12（﹣n+6﹣n）×2+12（6﹣∴n=−15∴−152＜【点评】本题考查了几何变换综合题，在平面直角坐标系内利用面积求解，是解题关键．8．如图，已知∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s；P、Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t（s）．（1）当点P在MO上运动时，PO＝（18﹣2t）cm（用含t的代数式表示）；（2）当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的角平分线吗？如果是请说明理由．（3）在射线OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，请求出t的值并求出此时∠BOC的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出PM＝2t，即可得出结论；（2）先根据OP＝OQ建立方程求出t＝6，进而求出∠AOC＝30°，即可得出结论；（3）分P、Q相遇前相距2cm和相遇后2cm两种情况，建立方程求解，接口得出结论．【解答】解：（1）当点P在MO上运动时，由运动知，PM＝2t，∵OM＝18cm，∴PO＝OM﹣PM＝（18﹣2t）cm，故答案为：（18﹣2t）；（2）由（1）知，OP＝18﹣2t，当OP＝OQ时，则有18﹣2t＝t，∴t＝6即t＝6时，能使OP＝OQ，∵射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，∴∠AOC＝5°×6＝30°，∵∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°＝∠AOC，∴射线OC是∠AOB的角平分线，（3）分为两种情形．当P、Q相遇前相距2cm时，OQ﹣OP＝2∴t﹣（2t﹣18）＝2解这个方程，得t＝16，∴∠AOC＝5°×16＝80°∴∠BOC＝80°﹣60°＝20°，当P、Q相遇后相距2cm时，OP﹣OQ＝2∴（2t﹣18）﹣t＝2解这个方程，得t＝20，∴∠AOC＝5°×20＝100°∴∠BOC＝100°﹣60°＝40°，综合上述t＝16，∠BOC＝20°或t＝20，∠BOC＝40°．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义，旋转的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，点D是BC的中点，直线l经过点A且在AC右侧．点C关于直线l的对称点为点E，∠BAE＜180°．连接BE交线段AD于点F，连接CF．（1）求证：BF＝CF；（2）若∠CBE＝30°，探究线段AF，DF，EF的数量关系；（3）在直线l绕点A旋转的过程中，是否存在CF⊥EF的情形？若存在，求此时∠ACE的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，则可得出结论；（2）在FE上找一点P，使得AP＝AF，证明△AFP是等边三角形，得出∠APF＝60°，AF＝PF，证明△AFB≌△AFC（SSS），由全等三角形的性质得出∠ABF＝∠ACF，证明△PAE≌△FAC（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝FC，则可得出结论；（3）由三角形外角的性质及直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴BF＝CF；（2）解：EF＝AF+2DF；理由如下：在FE上找一点P，使得AP＝AF，在Rt△BDF中，∠CBE＝30°，∴BF＝2DF，∴CF＝2DF，由（1）得：AD⊥BC，∵∠CBE＝30°，∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝60°，∴∠AFP＝∠BFD＝60°，∵AP＝AF，∴△AFP是等边三角形，∴∠APF＝60°，AF＝PF，∴∠APE＝180°﹣∠APF＝120°，由（1）得：BF＝CF，∵FD⊥BC，BF＝CF，∴DF平分∠BFC，∴∠DFC＝∠BFD＝60°，∴∠AFC＝180°﹣∠DFC＝120°，∴∠APE＝∠AFC，在△AFB和△AFC中，AF=AFAB=AC∴△AFB≌△AFC（SSS），∴∠ABF＝∠ACF，∵点C关于直线l的对称点为点E，∴直线l垂直平分EC，∴AE＝AC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABF，∴∠AEB＝∠ACF，在△PAE和△FAC中，∠AEB=∠ACF∠AFC=∠APE∴△PAE≌△FAC（AAS），∴PE＝FC，∴PE＝FC＝2DF，∴EF＝FP+PE＝AF+2DF．（3）解：直线l绕点A旋转的过程中，存在CF⊥EF；理由如下：∵∠BFD＝∠BAF+∠ABF，∠CFD＝∠CAF+∠ACF，∴∠BFC＝∠BFD+∠CFD＝∠BAF+∠ABF+∠CAF+∠ACF＝∠BAC+2∠ABF，∵∠BAC为锐角，∠ABF也为锐角，∴0°＜∠BFC＜180°，∴直线l绕点A旋转的过程中，存在CF⊥EF．∵CF⊥EF，∴∠CFE＝90°，∵∠AEB＝∠ACF，∠AQE＝∠CQF，∴∠QAE＝∠CFE＝90°，∴当CF⊥EF时，总有∠CAE＝90°，∵点C，点E关于直线l的对称，∴AC＝AE，∴∠ACE＝45°．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，B（18，6），将矩形ABCO沿EF折叠，使点A与点C重合．（1）求点E的坐标；（2）点P从点O出发，沿折线OA﹣AE以每秒2个单位长度的速度运动，到达终点E时停止运动，设点P的运动时间为t（秒），△PCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AE上，且PA=32PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使得以点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点【分析】（1）设AE＝x，根据勾股定理列方程得：（18﹣x）2+62＝x2，解出可得结论；（2）分两种情况：P在OA或AE上，分别根据三角形面积列式即可；（3）先根据PA=32PE分别计算PA和PE的长，如图4，过G作GH⊥OC于H，设OF＝y，根据勾股定理列方程可得y的值，利用面积法计算GH的长，得G的坐标，根据平行四边形的性质和平移规律可得【解答】解：（1）如图1，矩形ABCO中，B（18，6），∴AB＝18，BC＝6，设AE＝x，则EC＝x，BE＝18﹣x，Rt△EBC中，由勾股定理得：EB2+BC2＝EC2，∴（18﹣x）2+62＝x2，x＝10，即AE＝10，∴E（10，6）；（2）分两种情况：①当P在OA上时，0≤t≤3，如图2，S＝S矩形OABC﹣S△PAE﹣S△BEC﹣S△OPC，＝18×6−12×10（6﹣2t＝﹣8t+54，②当P在AE上时，3＜t≤8，如图3，S=12PE⋅BC=12∴S与t之间的函数关系式为S=−8t+54(0≤t≤3)（3）存在，由PA=32PE可知：P在AE上，如图4，PE为边时，过G作GH⊥OC于∵AP+PE＝10，∴AP＝6，PE＝4，设OF＝y，则FG＝y，FC＝18﹣y，由折叠得：∠CGF＝∠AOF＝90°，由勾股定理得：FC2＝FG2+CG2，∴（18﹣y）2＝y2+62，y＝8，∴FG＝8，FC＝18﹣8＝10，1212GH＝4.8，由勾股定理得：FH=8−4．∴OH＝8+6.4＝14.4，∴G（14.4，﹣4.8），当PE为对角线时，∵P（6，6），E（10，6），G（14.4，﹣4.8），∴Q（1.6，16.8）；∵点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形，且PE＝4，∴Q（10.4，﹣4.8）或（18.4，﹣4.8）或（1.6，16.8）．【点评】本题属于几何综变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，全等三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题11．在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片ABCD进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为DE，请同学们在图1的基础上进行探究．【操作发现】（1）如图2，小明延长DF交射线AB于点G，连接CF，过点D作CF的垂线，交AB的延长线于点M，则线段DG与MG的数量关系是DG＝MG．【深入探究】（2）如图3，小华在图2的基础上延长CF，交DA的延长线于点H，在图3中是否存在一条线段与AH相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由．【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若正方形纸片ABCD的边长为4，当BG=14AB【分析】（1）由折叠的性质，得出DF＝DA，证出∠FDM＝∠M．则可得出结论；（2）证明△CDH≌△DAM（ASA）．得出DH＝AM．则可得出结论；（3）分两种情况讨论．①当点G在线段AB上时，②当点G在AB的延长线上时，则可得出结论．【解答】解：（1）DG＝MG．∵将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，∴DF＝DA，∵AD＝CD，∴DC＝DF．∵DM⊥CF，∴∠CDM＝∠FDM．∵CD∥AM，∴∠CDM＝∠M．∴∠FDM＝∠M．∴DG＝MG．故答案为：DG＝MG；（2）存在，BM＝AH．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝DA，∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠CDM+∠ADM＝90°，∵DM⊥CF，∴∠CDM+∠DCH＝90°，∴∠DCH＝∠ADM．在△CDH和△DAM中，∠DCH=∠ADMCD=DA∴△CDH≌△DAM（ASA）．∴DH＝AM．∵AB＝AD，∴DH﹣AD＝AM﹣AB，即AH＝BM．（3）4或41+1根据题意，分两种情况讨论．①当点G在线段AB上时，如图1所示．∵BG=14AB∴BG＝1，∴AG＝3，∴DG＝5．由（1）知DG＝GM＝BG+BM，∴BM＝4．由（2）知AH＝BM，∴AH＝4．②当点G在AB的延长线上时，如图2所示．同①可得AG＝5，∴DG=A∴GM=DG=41∴BM=GM+BG=41∴AH=41综上所述，线段AH的长为4或41+1【点评】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键．12．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图13.5.1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA，PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图1，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB．分析图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．（1）以上是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，请结合以上分析、利用图2写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）定理应用：如图3，在△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线交AB与点N，交AC于点M，连接MB，若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长；②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由．【分析】（1）证明△ACP≌△BCP（SAS）即可解决问题；（2）①根据线段垂直平分线的性质定理证明MB＝MA，根据△MBC的周长是18cm，即可求出BC的长；②当点P与点M重合时，PB+PC的值最小，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵MN⊥AB，∴∠ACP＝∠BCP＝90°，在△ACP和△BCP中，AC=BC∠ACP=∠BCP∴△ACP≌△BCP（SAS），∴PA＝PB；（2）解：①∵MN垂直平分AB，∴MB＝MA，∵△MBC的周长是18cm，∴MB+MC+BC＝AC+BC＝18cm，∵AC＝AB＝10cm，∴BC＝8cm；②当点P与点M重合时，PB+PC的值最小，即△PBC的周长最小，此时△PBC的周长是18cm．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称—最短路线问题，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosA=45，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，（1）如图1，当点A′'落在AC的延长线上时，求AA′的长；（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；（3）如图3，连接AA′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最大值？若存在，直接写出DE的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用余弦求出AC＝8，再利用旋转对称得到A′C＝AC＝8，进而可得AA'＝16；（2）过C作CF⊥AB于F，过C作CD⊥AB于D，过M作MN⊥C′B于N，利用勾股定理得到BC＝6，利用等面积法得到CF=AC⋅BCAB=4.8，再利用勾股定理求得FB＝3.6，于是C′F＝FB+BC′＝9.6，利用cos∠BMN=cosA=45，得到NM=45MB，BN=35BM以及C′N=6−35（3）过A作AP∥A'C'交C'C于P，连接A'C，证明△APD≌△A'C'D（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝A'D，由三角形中位线定理可得出DE=12A'C．要使DE最大，只需A'C最大，此时C，B，A'三点共线，A′C的最大值为A′B+BC＝AB+【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，cosA=4∴AC＝8，∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，∴A′C＝AC＝8，∵点A′落在AC的延长线上，∴AA′＝AC+A′C＝16；（2）过C作CF⊥AB于F，过M作MN⊥C′B于N，如图2：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝6，∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，∴∠A′BC＝∠ABC，BC′＝BC＝6，∵CF⊥AB，∴Rt△ABC中，S△ABC∴CF=AC⋅BCRt△CBF中，FB=C∴C′F＝FB+BC′＝9.6，由旋转性质可得：∠A′C′B＝90°，∠A′＝∠A，∵MN⊥AC′，∠A′C′B＝90°，∴A′C′∥MN，∴∠BMN＝∠A′，∴cos∠BMN=cosA=4∴MNBM∴NM=45MB∴C′N=6−3∵△C′MN∽△C′CF，∴C′NC′F即6−3∴BM=30（3）DE存在最大值8，理由如下：过A作AP∥A'C'交C'C于P，连接A'C，如图：∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，∴∠BCC'＝∠BC'C，∴∠APC＝180°﹣∠APD，∠ACP＝90°﹣∠BCC'＝90°﹣∠BC'C＝180°﹣∠A'C'D，∵AP∥A'C'，∴∠APD＝∠A'C'D，∴∠APC＝∠ACP，∴AP＝AC，∴AP＝A'C'，在△APD和△A'C'D中，∠P=∠A′C′D∠PDA=∠A′DC′∴△APD≌△A'C'D（AAS），∴AD＝A'D，即D是AA'中点，∵点E为AC的中点，∴DE是△AA'C的中位线，∴DE=12A'当A'C的值最大时，DE的值最大，∵A'C≤BC+BA'＝16，∴当C，B，A'三点共线时，DE存在最大值．∴DE＝8，即DE的最大值为8．【点评】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．14．如图，在△ABC中，点H为AB边上的一点，AH＝15，CH＝8，AC＝17，BH＝6．（1）试说明CH⊥AB；（2）求BC的长；（3）直线AB上是否存在一点E，使△BCE为等腰三角形．若存在，请直接写出此时线段HE的长度；若不存在，请说明理由；（4）如图1，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB方向运动，设运动时间为t秒（t＞0），现把△ACH沿着直线CP翻折，请直接写出当t为何值时，点H翻折后的对应点H′恰好落在直线AC上．【分析】（1）由AH＝15，CH＝8，AC＝17，得AH2+CH2＝AC2＝289，则△ACH是直角三角形，且∠AHC＝90°，所以CH⊥AB；（2）由∠BHC＝90°，BH＝6，CH＝8，根据勾股定理得BC=B（3）分四种情况讨论，一是BE＝BC＝10，且点E在线段AB上，则HE＝BE﹣BH＝4；二是BE＝BC＝10，且点E在线段AB的延长线上，则HE＝BE+BH＝16；三是EC＝BC，因为CH⊥BE，所以HE＝BH＝6；四是CE＝BE，则HE2+82＝（HE+6）2，求得HE=7（4）分两种情况讨论，一是点P在线段AB上，由翻折得PH′＝PH，∠PH′C＝∠PHC＝90°，则PH′⊥AC，由S△APC=12AP•CH=12AC•PH′，得12×8t=1217（15﹣t），求得t=515；二是点P在线段AB的延长线上，连接PH′，则PH′⊥AC，由S△APC=12AP•CH=12【解答】解：（1）∵AH＝15，CH＝8，AC＝17，∴AH2+CH2＝152+82＝289，AC2＝289，∴AH2+CH2＝AC2，∴△ACH是直角三角形，且∠AHC＝90°，∴CH⊥AB．（2）∵∠BHC＝90°，BH＝6，CH＝8，∴BC=B∴BC的长为10．（3）存在，线段HE的长度为4或16或6或73理由：当BE＝BC＝10，且点E在线段AB上时，则HE＝BE﹣BH＝10﹣6＝4；当BE＝BC＝10，且点E在线段AB的延长线上时，则HE＝BE+BH＝10+6＝16；当EC＝BC时，∵CH⊥BE，∴HE＝BH＝6；当CE＝BE时，如图A，∵HE2+CH2＝CE2，且CH＝8，CE＝BE＝HE+6，∴HE2+82＝（HE+6）2，∴HE=7综上所述，直线AB上存在一点E，使△BCE为等腰三角形，线段HE的长度为4或16或6或73（4）当t=515或t=853时，点H翻折后的对应点理由：如图1，点P在线段AB上，∵把△ACH沿着直线CP翻折，点H的对应点H′落在直线AC上，∴PH′＝PH，∠PH′C＝∠PHC＝90°，∴PH′⊥AC，∵AH＝15，AP＝1×t＝t，∴PH′＝PH＝AH﹣AP＝15﹣t，∵S△APC=12AP•CH=12∴12×8t=1解得t=51如图2，点P在线段AB的延长线上，连接PH′，∵把△ACH沿着直线CP翻折，点H的对应点H′落在直线AC上，∴PH′＝PH＝AP﹣AH＝t﹣15，∠PH′C＝∠PHC＝90°，∴PH′⊥AC，∵S△APC=12AP•CH=12∴12×8t=1解得t=85综上所述，当t=515或t=853时，点H翻折后的对应点【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定与性质、翻折变换的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．15．九年级数学小组以“等腰直角三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．【提出问题】如图1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，连接CD、AE，通过探究得到AE、CD存在某种数量关系，具体探究过程如下：【探究问题】（1）将图1“特殊化”，如图2所示，当点D在BC的延长线上，请直接写出此时AE、CD数量的关系为AE=2CD【解决问题】（2）将问题“一般化”，如图1所示，在探索中发现，将△BDE绕点B旋转过程中，AE、CD数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小组完成解答过程；【扩展应用】（3）如图3，△ABC和△BPM均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠BPM＝90°，AC=BC=2，点P在AC上，试问：MA+MB【分析】（1）先证明四边形ACDF是矩形，则AF＝CD，再根据等腰直角三角形的判定与性质证明Rt△AFE是等腰直角三角形，进而得到AE=2AF（2）先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABE＝∠CBD，ABBC=BEBD=（3）先由特殊位置得到点M的运动轨迹：当P与C重合时，等腰直角△BPM为等腰直角△BCM2，当点P与点A重合时，等腰直角△BPM为等腰直角△BAM1，连接M1M2，利用等腰直角三角形的性质推导出点M在与直线AC成45°的线段M1M2上运动，由于∠AM1M2＝90°，则延长AM1至A′，使得A′M1＝AM1，连接AM、A′B，则MA+MB＝MA′+MB≥A′B，当A′、M、B共线时取等号，此时，MA+MB的值最小，最小值为A′B的长，利用勾股定理求得A′B即可．【解答】解：（1）AE=2CD如图，过A作AF⊥DE于F，则四边形ACDF是矩形，∴AF＝CD，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠E＝∠B＝45°，∴AE=2AF∴AE=2CD故答案为：AE=2CD（2）AE=2CD∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠CBD＝45°﹣∠CBE，ABBC∴△ABE∽△CBD，∴AECD∴AE=2CD（3）如图，当P与C重合时，等腰直角△BPM为等腰直角△BCM2，当点P与点A重合时，等腰直角△BPM为等腰直角△BAM1，连接M1M2，∵△ABC和△BPM均为等腰直角三角形，AC＝BC=2∴∠BAC＝∠CAM1＝∠BM2C＝∠AM1B＝45°，AM1＝AB=A∵∠ACB＝90°，则点B、C、M1共线，∴CM1＝BC＝CM2，∠M1CM2＝90°，∴∠CM1M2＝∠CM2M1＝45°，∴点M在与直线AC成45°的线段M1M2上运动，∵∠AM1M2＝∠AM1C+∠CM1M2＝90°，延长AM1至A′，使得A′M1＝AM1，连接AM、A′B，则MA+MB＝MA′+MB≥A′B，当A′、M、B共线时取等号，此时，MA+MB的值最小，最小值为A′B的长，∴A′B=AB2故MA+MB的最小值为25．【点评】本题是几何变换综合题，考查等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、最短路径问题、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的性质寻找线段间的数量关系，找到点M的运动路线是解答的关键．16．定义：在平面直角坐标系xOy中，将点P（x，y）变换为P′（kx+b，by+k）（k，b为常数），我们把这种变换称为“T变换”．（1）当k＝1，b＝2时，点P（1，2）经过“T变换”得到的点P′的坐标为（3，5）；（2）已知点A（2，1），B（a﹣b，c+32a），C（6﹣2b，−c4−12)经过“T变化”的对应点分别是A′（4，3），B′（﹣2﹣2①求出B′、C′的坐标；②是否存在x轴上点Q，使得△AB′C′的面积是△QBC′面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；③已知M（2m，3﹣2m），N（n﹣1，﹣2n﹣3），MN⊥BC′且MN＝2BC′．直接写出点M、N的坐标．【分析】（1）根据新定义﹣“T变换”求得P′的坐标，即可求解；（2）①根据题意和“T变换”的定义，分别求得B，C，B'，C'的坐标；②根据题意可得：△ABC的面积是2时，当Q在x轴上时，△QBC的面积为2，故不存在；③根据MN⊥BC′且MN＝2BC′建立二元一次方程组求得m，n的值，即可求解．【解答】解：（1）∵P（1，2），当k＝1，b＝2时：kx+b＝1×1+2＝3，by+k＝2×2+1＝5，∴点P（1，2）经过“R变换”得到的点P'的坐标为P（3，5），故答案为：（3，5）；（2）①∵点A（2，1），经过“T变换”的对应点分别是A′（4，3），∴2k+b=4b+k=3解得：k=1b=2∴将点P（x，y）变换为P′（x+2，2y+1），∵B（a﹣b，c+32a），即经过“T变换”的对应点B'（﹣2﹣2c，9﹣2b+c），即B'（﹣2﹣2c，5+c），∴a−2+2=−2−2c2(c+解得：a=2c=−2∴a﹣2＝0，c+32a=1；﹣2﹣2c∴B（0，1），B'（2，3），∴C(6−2b，−c4−12)，即②如图所示，∵A（2，1），B'（2，3），C'（4，1），∴S△ABC∵BC'＝4，且B，C′的纵坐标为1，当Q在x轴上时，△QBC的面积为12∴不存在x轴上的点Q，使得△A'B'C'的面积是△QBC面积的2倍．③MN⊥BC'，B（0，1），C'（4，1），M（2m，3﹣2m），N（n﹣1，﹣2n﹣3），∴MN∥y轴，则M，N横坐标相等，即2m＝n﹣1①，∴BC'＝4，MN＝|3﹣2m+2n+3|＝|6﹣2m+2n|，∵MN＝2BC'，∴MN＝8，∴|6﹣2m+2n|＝8②，联立①②得：2m=n−16−2m+2n=8或2m=n−1解得：m=0n=1或m=−8∴M（0，3），N（0，﹣5）或M（﹣16，19）N（﹣16，27）．【点评】本题考查了坐标变换，二元一次方程组，坐标与图形，数形结合是解题的关键．17．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数9，且a、b满足|a+3|+（b﹣1）2＝0；（1）a＝﹣3，b＝1；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数5表示的点重合；（3）点A、B、C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒后，AB＝BC，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据非负性进行求解即可；（2）先求出对称中心，进而求出与点B重合的数即可；（3）①根据AB＝BC，列出方程进行求解即可；（2）求出mBC﹣2AB，根据mBC﹣2AB的值为定值，得到含t的项的系数为0，进行求解即可．【解答】解：（1）在数轴上A点表示数a，B点示数b，且a、b满足|a+3|+（b﹣1）2＝0，由题意得：a+3=0b−1=0解得：a=−3b=1故答案为：﹣3，1；（2）∵在数轴上A点表示数﹣3，C点表示数9，A点与C点重合，∴对称中心为−3+92∴与B重合的数为：3+（3﹣1）＝5，故答案为：5；（3）①由题意，得：点A表示的数为：﹣3﹣2t，点B表示的数为：1﹣t，点C表示的数为：9﹣4t，∴AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝t+4，BC＝|9﹣4t﹣1+t|＝|8﹣3t|，∴t+4＝|8﹣3t|，解得：t＝1或t＝6；②存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值；理由如下：当点C在B点右侧时，BC＝9﹣4t﹣1+t＝8﹣3t，∴mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（t+4）＝﹣（3m+2）t+8m﹣8，∵mBC﹣2AB的值为定值，则：3m+2＝0，∴m=−23，此时【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查数轴上的动点问题，整式的加减运算，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．18．已知A（﹣1，0），B（a，b），C（1，4），其中(a−2)（1）求点B的坐标．（2）在x轴正半轴上找一点P，使以A，C，P三点为顶点的三角形的面积为10．（3）在（2）的条件下，连接PB，在直线PB上，是否存在点D，使得三角形ABD的面积是三角形ACP面积的2倍？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：可用坐标的平移来求点D的坐标）【分析】（1）根据偶次方的非负性质和算术平方根的非负性，由非负数的性质求出a、b值即可求解；（2）设点P的坐标为（m，0），根据S△ACP（3）当点D在BP1上时，i）当点D在BP1延长线上时，ii）当点D在P1B延长线上时；当点D在BP2上时，分别求解即