辽宁省协作校2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题

辽宁省协作校2024届高三下学第一次模拟考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1,2,3,A．{1,2,C．{x|log2x>0}2．已知a，b∈R，a−3i=(A．a=1，b=−3 B．a=−1，b=3C．a=−1，b=−3 D．a=1，b=33．已知a,b∈R．则“a>0且b>0”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线C:y23−x2=1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与A．3 B．−3 C．103 D．5．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有12A．124 B．118 C．1126．若函数f(x)使得数列an=f(n)，n∈N*A．[ln3,+∞) B．(ln27．若tan2α=43A．−12或2 B．−2或12 C．28．已知函数f(x)=log2(4A．(−∞,−2] C．[−2,43二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10．已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<A．φ=−B．f(x)的图象关于直线x=πC．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点(5π11．已知不相等的实数a，b满足ab>0，则下列四个数a，b，a+b2，abA．可能是等差数列 B．不可能是等差数列C．可能是等比数列 D．不可能是等比数列12．设直线系M:xcosmθ+ysinnA．当m=1，n=1时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切B．存在m，n，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限C．当m=n时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为2D．当m=2，n=1时，若存在一点A(a，0)，使其到直线系M中所有直线的距离不小于1，则a≤0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y2=ax(a≠0)14．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a15．杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为．16．已知e1，e2是空间单位向量，⟨e1，e2⟩=105°，若空间向量a满足a⋅e四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为（1）求证：C=2B；（2）若△ABC为锐角三角形，求2sin18．已知Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=1（1）求证：当n≥5时，{a（2）求{an}的前n19．某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：数学成绩良好数学成绩不够良好语文成绩良好1210语文成绩不够良好85附：K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（1）能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)（2）从该班的学生中任选一人，A表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B表示事件“选到的学生语文成绩良好”，P(A|B)(i)证明：R=P(ii)利用该表中数据，给出P(B|A)，P(B|A)的估计值，并利用(i)的结果给出20．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥侧面PAB，F为BD中点，E是PA上点，PA=PD=2，PA⊥PD．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若二面角E−DF−A的余弦值为31111，求E到平面21．已知圆C1:x2+y2（1）圆C1:x2+（2）已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当a，b满足什么条件时，对C2上任意一点P，均存在以P为顶点与C1外切，与22．已知函数f(x)=blnx，g(x)=x2+ax（其中a（1）当a=−1时，f(x)≤g(x)恒成立，求b；（2）当b=2时，函数G(x)=f(x)−g(x)有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：ln5

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为A∩B=A，所以A⊂B，而{x|x2>1}={x|x>1或x<-1}，{x|log2x>0}={x|x>1}，

{x|2．【答案】A【解析】【解答】解：因为a−3i=(b−i)i=1+bi，所以a=1，b=−3.3．【答案】A【解析】【解答】解：当a>0且b>0时，ab+ba≥2ab·ba=2，当ab+ba≥2时，不一定a>0且b>0，

所以“4．【答案】D【解析】【解答】解：双曲线CC:y23−x2=1的下焦点和上焦点分别为F10，-2，F20,2，

联立y2=3x2+3y=x+m得2x2-2mx-m2+3=05．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，若甲独自获胜，分2种情况讨论：

①甲抽到自己的灯谜，而乙、丙都没有抽到自己的灯谜，

甲乙丙三人每人随机选一个球，有A33=6种抽取方法，若只有甲抽到自己的灯谜，有1种抽取方法，

所以只有甲抽到自己的灯谜的概率为16，则此时甲独自获胜的概率为P1=16×1-12×1-12=124，6．【答案】B【解析】【解答】解：因为数列an=f(n)，n∈N*为递减数列，所以f(n+1)<f(n)，n€N*，

即In(n+1)-a(n+1)<Inn-an，n€I*，所以a>In(n+1)-Inn=lnn+1n=ln1+1n，

又因为当n€N*时，y=ln(1+1n)单调递减，所以

所以ln(1+1n)≤ln(1+7．【答案】A【解析】【解答】解：因为tan2α=2tanα1-tan2α=43，解得tanα=8．【答案】C【解析】【解答】解：设g(x)=f(x+2)=log2(4x+2+16)-x-4,x∈R，

则g'x=4x+2ln4(4x+2+16)ln2-1=4x+2-164x+2+16=0，解得x=0，

当x>0时，g'x>0,g(x)单调递增，当x<0时，g'x<0,g(x)单调递减，

因为g(-x)=log2(9．【答案】B,D【解析】【解答】解：由题意，对于A，并甲数据在1.5,7.5之间，故甲的极差小于等于7.5-1.5=6，

乙数据在2.5,8.5之间，故乙的极差小于等于8.5-2.5=6，故甲、乙极差有可能相等，故A错误；

对于B，甲的众数落在[2.5,5.5)之间，乙的众数落在[5.5,6.5)之间：

所以乙的众数一定大于甲的众数，故B正确；

对于C，从频率分布直方图上可以观察出甲数据较乙数据平均，即甲组数据分布较为集中，乙组数据较分散，由方差越大，数据越分散，可知样本乙的方差一定大于样本甲的方差，故C错误；

对于D，甲各组数据的频率分别为0.15,0.2,0.2,0.2,0.15,0.1，

且0.15+0.2+0.2=0.55>0.5,0.15+0.2<0.5，

所以甲的中位数落在[3.5,4.5)之间，乙数据前四组频率和为0.05+0.10+0.15+0.5>0.5，

乙数据前三组频率和为0.05+0.10+0.15<0.5，所以乙的中位数落在[5.5,6.5)，

故甲的中位数小于乙的中位数，故D正确.

故答案为：BD.

【分析】利用频率分布直方图的性质，以及极差、众数、中位数和方差的定义，分析甲、乙两组数据的极差、众数、中位数和方差，逐项判定即可.10．【答案】B,D【解析】【解答】A.当φ=−π3时，f(x)=sin(2x−π3)，由x∈(B.若f(x)的图象关于直线x=π6对称，则2×π6+φ=kπ+π2由x∈(π6，π3)，得C.若f(x)是奇函数，则φ=kπ，k∈Z，取φ=0，则f(x)=sin2x，由x∈(π6，π3D.若f(x)的图象关于点(5π6，0)对称，则2×5π6+φ=kπ，k∈Z，解得由x∈(π6，π3)，得故答案为：BD

【分析】根据题意分别将选项代入解析式，确定f(x)的单调区间，再利用充分必要条件定义进行判断，由此对选项逐一判断即可得出答案。11．【答案】A,D【解析】【解答】解：因为不相等的实数a，b满足ab>0，

设a>b，当a>b>0时，则a>a+b2>ab>b，

若构成等差数列，则有a+b=a+b2+ab⇒a+b2=ab⇒a=b，

这与a>b矛盾，因此不能构成等差数列，

若能构成等比数列，则有ab=a+b2×ab⇒a+b2=12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，当m=1，n=1时，直线系方程为xcosθ+ysinθ=1，原点到直线的距离d=1sin2θ+cos2θ=1，

此时圆x2+y2=1与直线系M中所有直线都相切，故A正确.

对于B，当m=n=2时，直线系方程为xcos2θ+ysin2θ=1，直线经过定点(1，1)，

当θ≠0，θ≠π，θ≠2π时，直线方程化为xcos2θ+ysin2θ=1，此时，-cos2θsin2θ<0，1sin2θ>0，

所以直线不过第三象限，当0或π或2π，直线x=1也不过第三象限.

所以直线不过第三象限，故B正确：13．【答案】5【解析】【解答】解：因为在抛物线y2=ax(a≠0)上，所以16=-4ax(-1)，解得a=4，

所以抛物线的标准方程为y2=-16x，所以抛物线准线方程为x=4，所以点P-1,4

到其准线的距离为5.14．【答案】−4【解析】【解答】解：f'(x)=3x2+2ax+b，因为函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，

所以f'(-1)=3-2a+b=0，且f(-1)=-1+a-b+a2=8，解得a=-2b=7或a=3b=3，

当a=-2,b=-7时，f(x)=x3-2x2-7x+4,f'(x)=3x2-4x-7=3x-7x+1，

令f'(x)=0得x=73或-1，所以在(-∞，-1)上f'x>0，f(x)单调递增，

在(-1,73)上f'x<0，f(x)单调递减，在(73,+∞)上f'x>0，f(x)单调递增，

所以在x=-1处取得极大值，且f(-1)=8，符合题意，

当a=3,b=315．【答案】722π【解析】【解答】解：该组合体的体积为：V=V圆柱1+V圆台16．【答案】5【解析】【解答】解：因为⟨e1，e2⟩=105°且两者均为单位向量，

所以e1→·e2→=e1→e2→cos<e1→·e2→>=cos105°=cos(45°+60°)

=cos45°cos60°-sin45°sin60°=2-64

又因为对于任意的x，y∈R，都有|a−(x17．【答案】（1）因为b(b+a)=c2，即c2得到ab=a2−2ab所以sinB=又sinA=sin所以sinB=又B,C∈(0,π)（2）由（1）知C=2B，所以2sin令t=cos又因为△ABC为锐角三角形，所以0<C=2B<π20<C<所以π4−B∈(所以t∈(0,所以2sin所以当t=14时，2sin【解析】【分析】(1)先利用余弦定理得b=a-2bcosC，再由正弦定理结合两角和的正弦函数公式得sinB=sin(C-B)，即可证得.

(2)利用△ABC为锐角三角形，确定π618．【答案】（1）∵Sn∴2Sn=两式相减，得2a即(a当n≥5时，an>0，∴∴当n≥5时，{a（2）由a1=12a又a1∴由(1)得an+1+a而a5>0，∴a1∴an∴Sn【解析】【分析】（1）根据Sn+1-Sn=an+1转化为(an+1+an)(an+1−an−1)=019．【答案】（1）由已知K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=（2）(i)∵R=P(A∣B)P(A∣B)⋅P(A/B)P(A∣B)=P(AB)P(B)⋅【解析】【分析】(1)根据K2=n(ad−bc)2(a+b)(20．【答案】（1）∵平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB=PA，PA⊥PD，PD⊂平面PAD，∴PD⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PD⊥AB；∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD，∵PD∩AD=D，PD,AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面∵AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.（2）取AD中点O，连接OP,∵PA=PD，O为AD中点，∴OP⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥平面ABCD，∵O,F分别为AD,BD中点，∴OF//AB，又以O为坐标原点，OA,OF,∵PA=PD=2，PA⊥PD，∴AD=22，OP=∴D(−2,0,0)，A(2,0,∴DF=(2,2,0)，PB设AE=λAP(0≤λ≤1)∴DE设平面DEF的法向量n=(x则DE⋅n=(22−2λ)x+2λz=0∵z轴⊥平面ADF，∴平面ADF的一个法向量m=(0∴|cosm,n|=∴AE=(−2设平面PBC的法向量t=(a则PB⋅t=2a+22b−2c=0∴点E到平面PBC的距离d=|【解析】【分析】(1)由面面垂直和线面垂直的性质可得PD⊥AB，结合AB⊥AD，由线面垂直判定得AB⊥平面PAD，再由面面垂直的判定即可证得证明平面PAD⊥平面ABCD.

(2)取AD中点O，结合面面垂直性质可知OP⊥AD，OP两两互相垂直，则以〇为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出所需点坐标，面DEF、平面ADF、平面PBC的法向量，利用空间向量法求出E到平面PBC的距离.21．【答案】（1）由题知，B1所以直线A2B1的方程为x因为圆C1:x所以，圆心O(0,0)到直线A2整理得a2所以a2由题意可知，b2所以1b当且仅当1b2−1所以，a2（2）当a2+b2=a2b2如图，设P(x当x1=0或当x1x2所以，点M，N关于原点对称，记直线PM,由对称性和切线性质可知，|PS|=|PT|,|MS|=|NT|，所以又O为MN的中点，所以OP⊥OM，即y1设S(m,n)，则直线PM的方程为代入椭圆方程得x2整理得(1由韦达定理可得y1y