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【新课教学过程设计(一)】其次章 空间点、直线、平面之间的位置关系第2.1.1节 平面提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系?④直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?直线与平面至少有几个公共点才能推断直线在平面内?⑤依据自己的生活阅历,几个点能确定一个平面?⑥假如两个不重合的平面有一个公共点,它们的位置关系如何?请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?⑧自己总结三个公理的有关内容.活动:让同学先思考或争辩,然后再回答,经老师提示、点拨,对回答正确的同学准时表扬,对回答不精确 的同学提示引导考虑问题的思路.对有困难的同学可提示如下:①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念),如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形?表示平面和表示点、直线一样,通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外;点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点?⑤引导同学观看教室的门由几个点确定.⑥两个平面不行能仅有一个公共点,由于平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.争辩结果:①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念),只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定义它,由于它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性,很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何肯定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形,因此平面通常画成平行四边形,有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面,如图2.平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.假如一个平面被另一个平面遮拦住,为了增加它的立体感,我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图3.图2图3平面的表示法有如下几种:(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字,如平面α、平面β、平面γ等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4);(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD(图5);(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC(图5).图4图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:点A在直线a上(或直线a经过点A)A∈a元素与集合间的关系点A在直线a外(或直线a不经过点A)Aa点A在平面α内(或平面α经过点A)A∈α点A在平面α外(或平面α不经过点A)Aα④直线上有一个点在平面内,直线没有全部落在平面内(图7),直线上有两个点在平面内,则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内.公理1:假如一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上全部的点都在这个平面内.这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图6)描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示:若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.图6图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图(图7).⑤在生活中,我们经常可以看到这样的现象:三脚架可以坚固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的阅历可以归纳为下面的公理.公理2:经过不在同始终线上的三点,有且只有一个平面.如图(图8).图8公理2刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?不是,由于平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,由于直线是无限延长的,假如平面是有限的,那么无限延长的直线又怎么能在有限的平面内呢?所以平面具有无限延展的特征.现在我们依据平面的无限延展性来观看一个现象(课件演示给同学看).问:两个平面会不会只有一个公共点?不会,由于平面是无限延展的,应当有很多公共点.正由于平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有很多个公共点.那么这很多个公共点在什么位置呢?可见,这很多个公共点在一条直线上.这说明,假如两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3.如图(图9),用符号语言表示为:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.图9公理3告知我们,假如两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面肯定相交,且其交线肯定过这个公共点.也就是说,假如两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据,还告知我们全部交点在同一条直线上,并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结:名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据应用示例例1如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动:同学自己思考或争辩,再写出(最好用实物投影仪呈现写的正确的答案).老师在同学中巡察,发觉问题准时订正,并准时评价.解:在(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在(2)中,α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系:(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解:如图11.图112.依据下列条件,画出图形.(1)平面α∩平面β=l,直线ABα,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,Fl;(2)平面α∩平面β=a,△ABC的三个顶点满足条件:A∈a,B∈α,Ba,C∈β,Ca.答案:如图12.图12点评:图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型:(1)依据图形,先推断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来.(2)依据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来.例2已知直线a和直线b相交于点A.求证:过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明:如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B,b上取一点C,依据公理2经过不在同始终线上的三点A、B、C有一个平面α,由于A、B在平面α内,依据公理1,直线a在平面α内,同理直线b在平面α内,即平面α是经过直线a和直线b的平面.又由于A、B在a上,A、C在b上,所以经过直线a和直线b的平面肯定经过点A、B、C.于是依据公理2,经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个,所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明:如图14,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α,即a,bα.∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c,C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面内.点评:在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题,除公理2外,确定平面的依据还有
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