【高考聚焦】2021届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：1.2命题及其关系

第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．[对应同学用书P4]【梳理自测】一、命题用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题，其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．二、四种命题及其关系设a，b是向量，针对下列四种命题，填空并判定真假：A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”，其逆命题为______，______(真假)，其否命题为______，________(真假)，其逆否命题为________，________(真假)．答案：D假A假C真◆此题主要考查了下列内容：1．四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若，则；逆否命题是若，则．2．四种命题间的关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．三、充分条件，必要条件，充要条件1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．(2022·温州适应性测试)设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2022·高考北京卷)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：1.A2.C3.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)假如既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．【教导迷津】1．否命题和命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若，则”；命题的否定为“若p，则”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．推断p与q之间的关系时，要留意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如：a＝0是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．[对应同学用书P5]考向一四种命题及其关系(1)(2022·潍坊市三模)命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是()A．若a＞b，则2a≤2bB．若2a＞2bC．若a≤b，则2a≤2bD．若2a≤2b(2)(2022·高考浙江卷)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＞bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＜bC．若ea－2a＝eb－3b，则a＞bD．若ea－2a＝eb－3b，则a＜b【审题视点】(1)依据否命题的定义改写．(2)利用逆否命题真假关系判定．【典例精讲】(1)否命题为“若a≤b，则2a≤2b”(2)通过逆否命题推断真假．当0＜a≤b时，明显ea≤eb，且2a≤2b＜3b，∴ea＋2a＜eb＋3b，即ea＋2a≠eb＋3b成立，所以它的逆否命题：若ea＋2a＝eb＋3b，则a＞b成立，故A正确，B错误；当0＜a≤b时，由ea≤eb，2a＜3b，知ea－2a与eb－3b的大小关系不确定，故C错误；同理，D错误．【答案】(1)C(2)A【类题通法】在依据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；④“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把全部真命题的序号填在横线上)．解析：①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，明显该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易推断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠答案：②③⑤考向二充分条件与必要条件的判定(1)(2022·济南市高考模拟)设x∈R，则“x2－3x＞0”是“x＞4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2022·福建省一般高三质量检查)已知向量a＝(m2，4)，b＝(1，1)，则“m＝－2”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【审题视点】(1)从解不等式x2－3x＞0入手，求x的取值，查找推导关系．(2)从推断a∥b的条件入手，查找推导关系．【典例精讲】(1)由x2－3x＞0，得x＞3或x＜0，此时得不出x＞4，但当x＞4时，不等式x2－3x＞0恒成立，所以正确选项为B.(2)依题意，当m＝－2时，a＝(4，4)，b＝(1，1)，所以a＝4b，a∥b，即由m＝－2可以推出a∥b；当a∥b时，m2＝4，得m＝±2，所以不能推得m＝－2，即“m＝－2”是“a∥b”【答案】(1)B(2)A【类题通法】命题的充要关系的推断方法(1)定义法：直接推断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系推断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．2．(2022·高考上海卷)对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.分别推断条件的充分性、必要性是否成立．∵mn＞0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞0，,n＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,n＜0，))当m＞0，n＞0且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，但m＜0，n＜0时，方程mx2＋ny2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时有mn＞0，所以“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．考向三充分、必要、充要条件的应用已知条件p：eq\f(4,x－1)≤－1，条件q：x2＋x＜a2－a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C．[－1，2]D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))∪[2，＋∞)【审题视点】的充分不必要条件是，等价于p是q的必要不充分条件，化简p和q后，借助集合间的包含关系即可求得a的范围．【典例精讲】由eq\f(4,x－1)≤－1，即eq\f(4,x－1)＋1≤0，化简，得eq\f(x＋3,x－1)≤0，解得－3≤x＜1；由x2＋x＜a2－a，得x2＋x－a2＋a＜0，由的一个充分不必要条件是，可知是的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．设f(x)＝x2＋x－a2＋a，如图，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－3）＝－a2＋a＋6＞0,f（1）＝－a2＋a＋2≥0))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＜a＜3,－1≤a≤2))，∴－1≤a≤2，故选C.【答案】C【类题通法】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)留意利用转化的方法理解充分必要条件：若是的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．3．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为()A．－1＜a＜6B．－1≤a≤6C．a＜－1或a＞6D．a≤－1或a≥6解析：选B.设q，p表示的范围分别为集合A，B，则A＝(2，3)，B＝(a－4，a＋4)．由于q是p的充分条件，则有A⊆B，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3，))所以－1≤a≤6.故选B.

[对应同学用书P6]充分、必要条件的判定方法(2021·高考陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【正解】①弄清题目中谁是条件，谁是结论：条件是“|a·b|”＝|a||b|，结论是“a∥b”．解题目标是什么？判定|a·b|＝|a||b|⇒a∥b还是a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.②探究转化关系一方面：由|a·b|＝|a||b|，争辩零向量与非零向量，结合数量积定义探究a与b的关系．另一方面：由a∥b，计算|a·b|解答过程若|a·b|＝|a||b|，若a，b中有零向量，明显a∥b；若a，b均不为零向量，则|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，∴|cos〈a，b〉|＝1，∴〈a，b〉＝π或0，∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|⇒a∥b.若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，其中，若a，b有零向量也成立，即a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．【答案】C【回归反思】①此题在推导过程中易忽视零向量的存在，导致解答不全面．②此类题务必要从两方面探究关系：即探究|a·b|＝|a|·|b|⇒a∥b后，还要探究a∥b⇒|a·b|＝|a||b|，结合充要条件的概念，才能正确作答．1．(2021·高考湖南卷)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.利用集合间的关系转化．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜2}，∴AB，即当x0∈A时，有x0∈B，反之不肯定成立．因此“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．2．(2021·高考天津卷)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的eq\f(1,2)，则其体积缩小到原来的eq\f(1,8)；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝eq\f(1,2)相切．其中真命题的序号是()A．①②③B．①②C．①③D．②③解析：选C.对各个命题逐一进行推断，得出结论．对于命题①，设球的半径为R，则eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)·eq\f(4,3)·πR3，故体积缩小到原来的eq\f(1,8)，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不肯定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝eq\f(1,2)的圆心(0，0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．3．(2021·高考山东卷)给定两个命题p，q.若是q的必要而不充分条件，则p是的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件