【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-空间几何体的三视图、表面积与体积

第11讲空间几何体的三视图、表面积与体积1．(2022·江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()【解析】由三视图的学问得B正确．【答案】B2．(2022·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3【解析】由题中三视图知，该几何体由一个长方体与一个三棱柱组成，体积V＝3×4×6＋eq\f(1,2)×3×4×3＝90(cm3)，故选B.【答案】B3．(2022·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π【解析】∵圆柱侧面开放图为矩形，底面圆半径为1，S侧＝2πr·l＝2π×1×1＝2π，故选C.【答案】C4．(2022·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54B．60C．66D．72【解析】S表＝S底＋S上＋S左＋S前＋前＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×3×5＋5×3＋eq\f(1,2)×(2＋5)×4＋eq\f(1,2)×(2＋5)×5＝60.【答案】B5．(2022·全国大纲高考)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)【解析】易知SO′＝4O′D＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22)＝eq\r(2)设球的半径为R，则(4－R)2＋eq\r(2)2＝R2∴R＝eq\f(9,4)，∴S球＝4πR2＝eq\f(81π,4).【答案】A从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．空间几何体的三视图及确定应用①此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合，主要考查同学的空间想象力量，是每年的必考内容之一．②试题多以选择题的形式消灭，属基础题．2．计算空间几何体的表面积与体积①该考向主要以三视图为载体，通常是给出某几何风光积或体积，作为新课标教材的新增内容，日益成为了高考中新的增加点和亮点．主要考查同学的计算力量和空间想象力量及识图力量．②试题多以选择题、填空题为主，多属于中档题．3．多面体与球的切、接问题①该考向命题背景宽，以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接的形式消灭，也是高考中的一大热点．主要考查同学的空间想象力量和计算力量．②试题多以选择题、填空题的形式消灭，属于中档题.eq\a\vs4\al(空间几何体的三视图及应用)【例1】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(2)(2022·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四周体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四周体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【解析】(1)直观图为：(2)在空间直角坐标系O－xyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四周体，如图所示，由图可知，该四周体的正视图为④，俯视图为②.【答案】(1)B(2)D【规律方法】识与画三视图的关键点：(1)要牢记三视图的观看方向和长、宽、高的关系．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廊线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．正视图反映物体的主要外形特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正视图对正，画在正视图的正下方；侧视图要画在正视图的正右方，高度要与正视图平齐．(2)要生疏各种基本几何体的三视图．[创新猜测]1．(1)(2022·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(2022·昆明调研)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形．若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系0xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为()A．(1,1,1)B．(1,1，eq\r(2))C．(1,1，eq\r(3))D．(2,2，eq\r(3))【解析】(1)由已知得选项A、B、C与俯视图不符，故选D.(2)由于正视图和侧视图是等边三角形，俯视图是正方形，所以该几何体是正四棱锥，还原几何体并结合其中四个顶点的坐标，建立空间直角坐标系，设O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五个顶点的坐标为S(1,1，z)，正视图为等边三角形，且边长为2，故其高为eq\r(4－1)＝eq\r(3)，又正四棱锥的高与正视图的高相等，故z＝±eq\r(3)，故第五个顶点的坐标可能为(1,1，eq\r(3))．【答案】(1)D(2)Ceq\a\vs4\al(空间几何体的表面积与体积)【例2】(1)(2022·山东高考)一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)(2022·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.(3)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋eq\r(3)B．18＋eq\r(3)C．21D．18【解析】(1)设棱锥的高为h，∵V＝2eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)×S底·h＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×22×h＝2eq\r(3).∴h＝1，由勾股定理知：侧棱长为eq\r(22＋1)＝eq\r(5).∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为eq\r(\r(5)2－12)＝2，∴S侧＝eq\f(1,2)×2×2×6＝12.(2)由几何体的三视图知，该几何体由两部分组成，一部分是底面半径为1m，高为4m的圆柱，另一部分是底面半径为2m，高为2m的圆锥．∴V＝V柱＋V锥＝π×12×4＋eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(20π,3)(m3)．(3)依据几何体的三视图画出其直观图，依据直观图特征求其表面积．由几何体的三视图如题图可知，则几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)))＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).故选A.【答案】(1)12(2)eq\f(20π,3)(3)A【规律方法】1.求解几何体的表面积及体积的技巧：(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规章几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规章几何体转化为规章几何体以易于求解．2．依据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤：(1)依据给出的三视图推断该几何体的外形．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[创新猜测]2．(1)(2022·全国新课标Ⅰ高考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．6eq\r(2)B．4eq\r(2)C．6D．4(2)(2022·辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－eq\f(π,4)B．8－eq\f(π,2)C．8－πD．8－2π【解析】(1)还原为直观图放在正方体中如图所示三棱锥D－ABC.AB＝BC＝4，AC＝4eq\r(2)，DB＝DC＝2eq\r(5)，DA＝eq\r(4\r(2)2＋4)＝6.故最长的棱长为6.故选C.(2)该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V＝23－eq\f(1,2)×2π＝8－π，故选C.【答案】(1)C(2)Ceq\a\vs4\al(多面体与球的切、接问题)【例3】(1)(2022·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(32π,3)B．4πC．2πD.eq\f(4π,3)(2)(2022·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)连接AC，BD相交于O1，连接A1C1，B1D1，相交于O2并连接O1O2，则线段O1O2的中点为球心．∴半径R＝|OB|＝eq\r(|OO1|2＋|O1B|2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，故选D.(2)由题意知，几何体为三棱柱，设最大球的半径为R.∴2R＝(6＋8)－10＝4，∴R＝2.【答案】(1)D(2)B【规律方法】多面体与球接、切问题的求解策略：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何学问查找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两相互垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．[创新猜测]3．(1)(2021·辽宁高考)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)(2)(2021·全国课标Ⅱ高考)已知正四棱锥O­ABCD的体积为eq\f(3\r(2),2)，底面边长为eq\r(3)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．【解析】(1)依据球的内接三棱柱的性质求解．由于直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝eq\r(122＋52)＝13，即R＝eq\f(13,2).(2)本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V四棱锥O­ABCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)h＝eq\f(3\r(2),2)，得h＝eq\f(3\r(2),2)，∴OA2＝h2＋(eq\f(AC,2))2＝eq\f(18,4)＋eq\f(6,4)＝6.∴S球＝4πOA2＝24π.【答案】(1)C(2)24π[总结提升]通过本节课的学习，需把握如下三点：失分盲点1．(1)台体的构成：台体可以看成是由锥体截得的，但肯定强调截面与底面平行．(2)三视图的不唯一性：空间几何体的不同放置位置对三视图会有影响．(3)三视图轮廓线的虚实：正确确定三视图的轮廓线，可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线为虚线．(4)元素与位置的变与不变：几何体的开放与折叠问题，精确     确定前后两个图形间的联系及元素与位置之间的变化与稳定．2．(1)球的外切四棱锥与内接四棱锥是不一样的，两者不能混淆．(2)球的体积公式与锥体的体积公式的系数不一样，两者不能混淆．答题指导1．(1)看到三视图，想到几何体的直观图．(2)看到三棱锥的体积，想到定底定高．(3)看到求几何体的表面积、体积，想到几何体的表面积、体积公式．2．(1)看到球的表面积、体积问题，想到球的表面积、体积公式．(2)看到球的组合体问题，想到查找一个合适的轴截面．(3)看到球的截面，想到球的截面性质．方法规律1．(1)画三视图的规章：长对正，高平齐，宽相等．(2)转化思想的应用：将空间问题转化为平面问题．(3)几何体体积：留意割补法(将不规章的几何体通过分割或补形转化为规章的几何体求解)．(4)几何体表面上最短距离问题：经常利用几何体的表面开放图解决．2．(1)球的直径：球的直径等于它的内接正方体的对角线长，等于它的外切正方体的棱长．(2)与球有关的接切问题：要留意球心的位置以及球