【创新设计】2022届-数学一轮(理科)-人教A版-课时作业-第八章-立体几何-3-

第3讲直线、平面平行的判定与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线ɑ平行于平面α，则下列结论错误的是 ()A．ɑ平行于α内的全部直线B．α内有很多条直线与ɑ平行C．直线ɑ上的点到平面α的距离相等D．α内存在很多条直线与ɑ成90°角解析若直线ɑ平行于平面α，则α内既存在很多条直线与ɑ平行，也存在很多条直线与ɑ异面且垂直，所以A不正确，B，D正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．答案A2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是 ()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性明显成立．答案D3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是 ()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故D项错．故选B.答案B4．(2021·吉林九校联考)已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是 ()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析对于选项A，m∥α，n∥α，则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故A错误；对于选项B，由线面垂直的性质定理知，m∥n，故B正确；对于选项C，n可以平行β，也可以在β内，故C错；对于选项D，α与β可以相交，因此D错．故选B.答案B5.在四周体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是 ()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析由于截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A、B正确．又由于BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．答案C二、填空题6．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为eq\f(9,2).答案eq\f(9,2)7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析由于直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝eq\f(1,2)AC，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).答案eq\r(2)8．(2022·金丽衢十二校联考)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.假如命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把全部正确的序号填上)．解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案①或③三、解答题9．(2022·洛阳模拟)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)由于N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.10．(2022·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2eq\r(2)，∠CBF＝eq\f(π,2).(1)证明取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥AB∥EF，且NG∩MG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)取DE的中点H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AH⊂平面ADE，∴AH⊥平面CDEF.∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝eq\r(2).S矩形CDEF＝DE·EF＝4eq\r(2)，∴棱锥A－CDEF的体积为V＝eq\f(1,3)·S矩形CDEF·AH＝eq\f(1,3)×4eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(8,3).力量提升题组(建议用时：25分钟)11．(2021·广东七校联考)设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是 ()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．答案D12．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 ()A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②，③都不行以，故选C.答案C13．(2022·承德模拟)如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件)．解析如图，连接FH，HN，FN，由题意知HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1.且HN∩FH＝H，∴面NHF∥面B1BDD1.∴当M在线段HF上运动时，有MN∥面B1BDD1.答案M∈线段HF14．(2022·南昌模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2eq\r(6).(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，请说明理由．解(1)连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H.∵四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，∴H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，又A′H∩CH＝H，所以EF⊥平面A′HC，且EF⊂平面ABCD，从而平面A′HC⊥平面ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD，由于正方形ABCD的边长为6，AE＝AF＝4，故A′H＝2eq\r(2)，CH＝4eq\r(2)，所以cos∠A′HC＝eq\f(A′H2＋CH2－A′C2,2A′H·CH)＝eq\f(8＋32－24,2×2\r(2)×4\r(2))＝eq\f(1,2)，所以HO＝A′H·cos∠A′HC＝eq\r(2)，则A′O＝eq\r(6)，所以五棱锥A′－BCDFE的体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(62－\f(1,2)×4×4))×eq\r(6)＝eq\f(28\r(6),3).(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，此时A′M＝eq\f(\r(6),2).证